SSSSDCSSSSDC平面向量馳定理與三形四心已知

O

是

內(nèi)的一點(diǎn)，

,,AOB

的面積分別為

S

A

，

S

B

，

C

，求證：S

A

?

S

B

?

S

?

OC

0A

如圖延OA與邊相交于點(diǎn)D則OBC

SBDABDBODACDCODBO

圖1A

ODOCOBCSCBCB

D

C

SOAS

SBODCODBODCODSCOAB

C圖2

OD

OA

OA

OCSBC

S

A

?

S

B

?

S

?

OC

0推論是內(nèi)的一點(diǎn)，且

x??OB?OC

，則

BOC

:

:COAAOB

::

有此定理可得三角形四心向量式O

是

ABC

的重心

:

:AOB

OAOBO是內(nèi)心

BOC

:

a::cAOB

a

?

OA?

?

0O

是

ABC

的外心

:

:Ssin2:sinB:sinCOA

2?OA2?OBC?OC

O

是

ABC

的垂心

:

:SAOB

tanAtanC

A?OA?C?OC

D

證明：如圖

為三角形的垂心，

tan

CD,tanB

:BDB:

BOC

:

COA

:AD

:

tanAtanB同理得:tan:tanC，:SA:tanCAOB

:

:

tan:B:C奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一

4.2角形“心”的相關(guān)量問(wèn)題一．知梳理：四心的概念介紹：(1)重：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成21；(2)垂：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直；(3)內(nèi)：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；(4)外：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。與重”關(guān)向問(wèn)已是ABC在平面上的一點(diǎn)

GAG是(．A．重點(diǎn)

B．外心

．內(nèi)心

D垂心如圖⑴

PA'

G

O

圖⑴已是平上一定點(diǎn)，

，，C

圖⑵是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足OAABAC)

，

，則

P

的軌跡一定通過(guò)

的).A．重點(diǎn)

B．外心C．內(nèi)心

D垂心【解析】由題意

AP)

，當(dāng)

時(shí)，由于

(ABAC)表邊的中線所在直線的向量，所以動(dòng)點(diǎn)軌跡一定通過(guò)ABC的心，如圖⑵.O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足∈（0，+∞點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（）

（λA．內(nèi)心

B．重心

．外心

D垂心

ABABACABABAC解：作出如圖的圖形AD⊥，由于

sinB=

sinC=AD，∴

=由加法法則知，P在三角形的中線上故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的重心故選：B．與垂”關(guān)向問(wèn)

P

是

所在平面上一點(diǎn)，若PBPC，則

P

是

的)A．重點(diǎn)

B．外心

．內(nèi)心

D垂心【解析

PAPB

PC)

以

⊥

理可證

⊥AB

，

PA⊥

．∴

P

是

的垂心．如圖⑶.CA

MB

C

P

A

P

H

F

B圖⑶已是平面上一定，

，，C

O圖⑷是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足OP

BAC

動(dòng)點(diǎn)

P

的軌跡一定通過(guò)

的)．A．重點(diǎn)

B．外心

．內(nèi)心

D垂心【解析】由題意

AP

ABcosBACcosC

，

ABABcosBcosC22ABABcosBcosC22由于

，即

ABACABcosBC

,所以AP表垂直于BC向量

P

點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)

A

且垂直于

的直線上，所以動(dòng)點(diǎn)

P

的軌跡一定通過(guò)

的垂心，如圖⑷若H

為

所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且BCHBHCAB

則點(diǎn)H是

的)A．重點(diǎn)

B．外心

．內(nèi)心

D垂心證明

HAHBCABC

AHB)?CA)?BA得

(HBCB)?

H即()?BAAB同理AC,BC，

B

圖

C故H的心與內(nèi)”關(guān)向問(wèn)已知I為所在平面上的一點(diǎn)，且，AC，bIB，則I是ABC的)

．若．．重點(diǎn)．外心

．內(nèi)心

D垂心

COI

A

B

ABAB圖⑸

圖⑹【解析】∵

IBIA

，

ICIA

，則由題意得

()IAbAB

，∵

bABcACACAB

ABACABAC

，∴

AI

bc

ABACABAC

．∵

AB與分為AB和AC方向上的單位向量，AB∴

AI

與

∠

平分線共線，即

平分

．同理可證：

平分

，

CI

平分

．從而

I

是

的內(nèi)心，如圖⑸7已知

是平面上一定點(diǎn)，

，，C

是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)

P

滿足OP

OA

，

，則動(dòng)點(diǎn)

P

的軌跡一定通過(guò)

的()．A．重點(diǎn)

B．外心

．內(nèi)心

D垂心【解析】由題意得

AP

AB

，∴當(dāng)

AP示

的平分線所在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)

P

的軌跡一定通過(guò)

的內(nèi)心，如圖⑹8

若

O

在△

ABC

所

在

的

平

面

內(nèi)：=

，則O是△ABC的（）A．垂心

B．重心

．內(nèi)心

D外心解：∵向量

的模等于1，因而向量

是單位向量

22222OBOCAC22222OBOCAC∴向量、

和

等都是單位向量∴由向量、

為鄰邊構(gòu)成的四邊形是菱形，∵可得AO在∠BAC的平分線上同理可得OB平分∠ABC，平分∠，∴O是△ABC的內(nèi)心．故選：．與外”關(guān)向問(wèn)已知O是所在面上一點(diǎn)，若

A2

OB

2

OC

2

，則O是ABC的)A．重點(diǎn)

B．外心C

．內(nèi)心

D垂心A

O

B

M

O

圖⑺

圖⑻【解析】若

OC，則OAOC，∴OAOBOC，O是

的外心，如圖⑺。

已知

O

是平面上的一定點(diǎn)，

，，C

是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)

P

滿足OPcosBcosC

，

，則動(dòng)點(diǎn)

P

的軌跡一定通過(guò)

ABAC1ABAC1

的)。A．重點(diǎn)

B．外心

．內(nèi)心

D垂心OBOC【解析由過(guò)的點(diǎn)當(dāng)2

時(shí)，

ABcosBACC

表示垂直于

BC

的向量（注意：理由見(jiàn)二條釋

P

在

BC

垂直平分線上，動(dòng)點(diǎn)

P的軌跡一定通過(guò)ABC的心如圖⑻四的互系1.三角外與心向量系應(yīng)設(shè)△ABC的心為O，點(diǎn)H為ABC的心的充要條件是OBOC。2.三角外與心向量系應(yīng)設(shè)ABC外心為O，點(diǎn)G為△ABC的心的充要條是

(OBOC33.三角的心重、垂的量系應(yīng)設(shè)ABC外心、重心、垂心分別為、、H，O、G、H三共線（、、H三點(diǎn)連線稱為歐拉線OGGH。相題10．設(shè)△ABC外心為O，重心為G．取點(diǎn)H