橢圓、雙曲線知識(shí)、方法、題型小結(jié)整理人：鄭州七中何小龍(待完善中)解析幾何部分的常用知識(shí)：過(guò)點(diǎn)P(X,y)的直線1的方程：00設(shè)法一：當(dāng)1丄x軸時(shí)，1:x二x；否則，1:y—y二k(x—x)；000設(shè)法二：當(dāng)1丄y軸時(shí)，1:y二y；否則，1:m(y—y)二x—x。000具體選擇哪種設(shè)法要結(jié)合題意來(lái)判斷，大多情況下用第一種方式來(lái)設(shè)直線IAx+By+CI點(diǎn)P(x,y)到直線1:Ax+By+C=0的距離d二 0 000 <A2+B23?點(diǎn)J,人)分有向線段AB的比為為，其中A"人),Bq，叮，x+九x則定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：x0y0則定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：x0y04.若A(x1,y1),B(x2,y2)1+九y+九y=T 21+九O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OA丄OBoxx+yy二0。12125.設(shè)定點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，動(dòng)點(diǎn)P(x,y),若PA丄PB總成立，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓(除A,B兩點(diǎn))。遇到求曲線方程或者軌跡方程的問(wèn)題時(shí)，如果背景條件是三角形的話，要注意考慮是否需要挖去三點(diǎn)共線的情況。一、橢圓1.熟悉橢圓的定義(兩種定義的表達(dá)方式都要清楚，特別注意第一定義中的IPFI+IPFI二2a>IFFI)、標(biāo)準(zhǔn)方程，熟練掌握常用基本方法的同時(shí)，要注意揣摩解1212題過(guò)程所使用的數(shù)學(xué)思想方法，以達(dá)到優(yōu)化解題思維，簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的，旦切忌只想不算，形成解題思路后，一定要?jiǎng)邮钟?jì)算，不形成結(jié)論就不應(yīng)該停手。2?要特別注意焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上對(duì)應(yīng)的橢圓方程的區(qū)別和聯(lián)系。x2 y2 2例：橢圓W+-=1的離心率為3'則m= 求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法是待定系數(shù)法和軌跡方程法：x2y2待定系數(shù)法：設(shè)方程為一+[=1(a>b>0)(或另一種形式，什么情況，怎么設(shè)？),a2b2然后根據(jù)題目中的條件求解得a,b的值，要特別注意a2二b2+c2及當(dāng)離心率e已知時(shí)實(shí)際上已經(jīng)知道了a,b,c三者之間的一種關(guān)系；或者在遇到已知橢圓過(guò)兩定點(diǎn)M,N(坐標(biāo)已知)時(shí)，設(shè)橢圓方程為：mx2+ny2二1(m>0,n>0,m豐n)，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)求解。軌跡方程法：主要是根據(jù)橢圓的第一定義(特別注意利用圖形的幾何意義做題)和第二定義利用求曲線方程的方法求解。例：已知圓C：(x+2)2+y2=25，點(diǎn)AQ0 ，Q是圓上一動(dòng)點(diǎn)，AQ的垂直平分線交CQ于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡方程為 。直線與橢圓的位置關(guān)系，可以通過(guò)討論橢圓方程與直線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來(lái)確定。通常利用聯(lián)立消元后關(guān)于x(或y)的一元二次方程的判別式來(lái)判定，則有：>0,o直線與橢圓相交，即有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；△二0,o直線與橢圓相切，即有兩個(gè)相同(一個(gè))公共點(diǎn)；<0,o直線與橢圓相離，即沒(méi)有公共點(diǎn)。直線與橢圓相交時(shí)，被橢圓截得的弦長(zhǎng)公式：IAB1=\：'(1+k2)[(x+x)2-4xx]或IAB1=；(1+亠)[(y+y)2-4yy](為什么？)7 1 2 12 計(jì)k2 1 2 12直線和橢圓相交時(shí)的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)或弦中點(diǎn)的軌跡方程通常用韋達(dá)定理來(lái)解決，設(shè)點(diǎn)而不求點(diǎn)是解析幾何中最重要的解題方法。利用直線、弦長(zhǎng)、圓錐曲線三者間的關(guān)系組成的各類試題是解析幾何中長(zhǎng)盛不衰的主題，其中利用直線方程(以點(diǎn)斜式方程y-y=k(x-x)居多，要特別注意單獨(dú)討論斜率00不存在時(shí)的特殊情況)、直線和橢圓相交后的弦去求橢圓方程是各類試題中最難的試題，也是高考的熱點(diǎn)試題之一。x2y2點(diǎn)P(x,y)和橢圓的關(guān)系：點(diǎn)P(x,y)在橢圓內(nèi)0—1+A<1;點(diǎn)P(x,y)在橢圓00 00 a2b2 00x2y2 x2y2上0—1+1=1;點(diǎn)P(x,y)在橢圓外0—1+1>1a2b2 00 a2b2焦半徑公式：F,F分別是橢圓的左(下)、右(上)焦點(diǎn)，IPFI=r,IPFI=r，貝I」：121122x2y2⑴一+——=1(a>b>0),r=a+ex,r=a-exTOC\o"1-5"\h\za2b2 1 02 0y2 x2=a+ey,r02=a-ey0(2)=a+ey,r02=a-ey0a2 b2 1焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x,y)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形厶PFF，稱作橢圓的焦點(diǎn)三0012角形，設(shè)ZFPF ,IPFI二r,1PFI二r。121122a⑴焦點(diǎn)三角形的面積S二b2tan二cIyI(想一想推導(dǎo)過(guò)程是什么？)20當(dāng)IyI二b，即P點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)，焦點(diǎn)三角形的面積最大，最大值為be；02b2⑵cosa— —1，當(dāng)r—r，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，角a最大。rr1212x2y2&焦點(diǎn)弦(即過(guò)焦點(diǎn)的弦)：AB為橢圓——+廠=1(a>b>0)的焦點(diǎn)弦，其中點(diǎn)a2b2A(x,y),B(x,y)，弦的中點(diǎn)M(x,y)，則弦長(zhǎng)d—2a土e(x+x)—2a土2ex；焦點(diǎn)1122001202b2弦中通徑(垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦)最短，即d— (怎么得到的？)。mina9.AB為橢圓—+二—1(a>b>0)的弦(與上一條知識(shí)有什么不同？)，其中點(diǎn)a2 b2A(xi,人),B(x2,y2)，弦的中點(diǎn)M(x0,y0)。⑴弦長(zhǎng)IABI-叮(1+k2)[(xi+x2)2-4xix2]或IABI—W+匸)[(yi+y2)2-4yiy2]；b2x⑵k——亠(為什么？如何推導(dǎo)？)；AB a2y0⑶直線AB的方程為：y-y—k(x-x)；0AB 0⑷直線AB的垂直平分線方程為：y-廿—?(x-x。)。AB10.橢圓上存在兩點(diǎn)A(x,y),B(x,y)，關(guān)于直線l:y—kx+b對(duì)稱的問(wèn)題，通常的解題思11221路為：設(shè)直線AB:y--〒x+m，將橢圓方程和直線AB方程聯(lián)立消元后，利用弦AB的kx+xy+y中點(diǎn)(亠22，亠2^)在直線l:y—kx+b上來(lái)解決。二、雙曲線雙曲線和橢圓一樣，都是解析幾何的重要組成部分，是高考命題的熱點(diǎn)之一，雙曲線既保留了橢圓的定義及方程的特性，又與之有所區(qū)別，因此，對(duì)雙曲線的考查更能體現(xiàn)對(duì)基礎(chǔ)能力的認(rèn)識(shí)，其難度要高于橢圓。在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨(dú)特的一種性質(zhì)，也是考查的重點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)充分利用雙曲線的漸近線方程，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。熟悉雙曲線的定義(兩種定義的表達(dá)方式都要清楚，特別注意第一定義中的IIPFI-IPFII二2ae(0,1FFI))、標(biāo)準(zhǔn)方程，熟練掌握常用基本方法的同時(shí)，要注意揣1212摩解題過(guò)程所使用的數(shù)學(xué)思想方法，以達(dá)到優(yōu)化解題思維，簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的，但切忌只想不算，形成解題思路后，一定要?jiǎng)邮钟?jì)算，不形成結(jié)論就不應(yīng)該停手。2?要特別注意焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上對(duì)應(yīng)的雙曲線方程的區(qū)別和聯(lián)系。3.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法是待定系數(shù)法和軌跡方程法：x2y2待定系數(shù)法：設(shè)方程為一-]=1(a>0,b>0)(或另一種形式，什么情況，怎么設(shè)？)a2b2然后根據(jù)題目中的條件求解得a,b的值，要特別注意c2二a2+b2及當(dāng)離心率e已知時(shí)實(shí)際上已經(jīng)知道了a,b,c三者之間的一種關(guān)系；或者在遇到已知雙曲線過(guò)兩定點(diǎn)M,N(坐標(biāo)已知)時(shí)，設(shè)雙曲線方程為：mx2+ny2二1(mn<0)，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)求解；或者已知共x2y2漸近線的雙曲線方程設(shè)之為—-一=入(入豐0)等。a2b2軌跡方程法：主要是根據(jù)雙曲線的第一定義(特別注意利用圖形的幾何意義做題)和第二定義利用求曲線方程的方法求解。例：已知圓C：(x+3)2+y2=25，點(diǎn)A3)，Q是圓上一動(dòng)點(diǎn)，AQ的垂直平分線交CQ于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡方程為 。3?直線與雙曲線的位置關(guān)系，可以通過(guò)討論雙曲線方程與直線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來(lái)確定。通常利用聯(lián)立消元后關(guān)于x(或y)的一元二次方程的判別式來(lái)判定，則有：當(dāng)消元后方程的二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，直線和雙曲線的漸近線平行，與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)消元后方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)>0,o直線與雙曲線相交，即有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；△二0,o直線與雙曲線相切，即有兩個(gè)相同(一個(gè))公共點(diǎn)；<0,o直線與雙曲線相離，即沒(méi)有公共點(diǎn)。要注意區(qū)分當(dāng)弦的兩個(gè)端點(diǎn)在雙曲線同一支上時(shí)，和兩個(gè)端點(diǎn)分別在雙曲線兩支上的情況，要會(huì)討論這兩種情況時(shí)的離心率范圍或直線斜率的范圍。直線與雙曲線相交時(shí)，被雙曲線截得的弦長(zhǎng)公式： I1IABI=也1+k2)[(x+x)2-4xx]或IABI=：(1+)[(y+y)2-4yy](為什么？)‘ 1 2 12 Vk2 1 2 12直線和雙曲線相交時(shí)的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)或弦中點(diǎn)的軌跡方程通常用韋達(dá)定理來(lái)解決，設(shè)點(diǎn)而不求點(diǎn)是解析幾何中最重要的解題方法。利用直線、弦長(zhǎng)、圓錐曲線三者間的關(guān)系組成的各類試題是解析幾何中長(zhǎng)盛不衰的主題，其中利用直線方程(以點(diǎn)斜式方程y-y=k(x-x)居多，要特別注意單獨(dú)討論斜率00不存在時(shí)的特殊情況)、直線和雙曲線相交后的弦去求雙曲線方程是各類試題中最難的試題也是高考的熱點(diǎn)試題之一。點(diǎn)P(x,y)和雙曲線的關(guān)系：點(diǎn)P(x,y)在雙曲線外(不包含焦點(diǎn)的區(qū)域)0000x2y2 x2y20亠——<1；點(diǎn)P(x,y)在雙曲線上o———a=1；點(diǎn)P(x,y)在雙曲線內(nèi)(包TOC\o"1-5"\h\za2 b2 00a2b2 00x2y2含焦點(diǎn)的區(qū)域)。亠——>1a2 b2焦半徑公式：F,F分別是雙曲線的左(下)、右(上)焦點(diǎn)，IPF\=r,1PF\=r，則:121122x2y2⑴一—廠=1(a>0,b>0),若點(diǎn)P在雙曲線的右支上，r二ex+a,r=ex—a；若點(diǎn)Pa2b2 1 0 2 0在雙曲線的左支上，r二—ex—a,r二—ex+a；1020y2x2⑵二—廠=1(a>0,b>0),若點(diǎn)P在雙曲線的上支上，r二ey+a,r二ey—a；若點(diǎn)Pa2b2 1 0 2 0在雙曲線的下支上，ri=-ey0-a，r2=-ey0+a7?焦點(diǎn)三角形：雙曲線上的點(diǎn)P(x0,y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形厶勺F2，稱作雙曲線的焦點(diǎn)三角形，設(shè)ZFPF ，\PF\二r,\PF\二r。121122a⑴焦點(diǎn)三角形的面積S二b2cot二c\y\(想一想推導(dǎo)過(guò)程是什么？)202b2(2)COSa二1— —0rr12x2y2&焦點(diǎn)弦(即過(guò)焦點(diǎn)的弦)：AB為雙曲線一—廠=1(a>0,b>0)的焦點(diǎn)弦，其中點(diǎn)a2b2A(x1,y1),B(x2,y2)，焦點(diǎn)弦中通徑(垂直于實(shí)軸的焦點(diǎn)弦)或?qū)嵼S最短，即2b2d=mm{2a, }（怎么得到的？）min a9.AB為雙曲線—-學(xué)=1(a>0,b>0)的弦(與上一條知識(shí)有什么不同？)，其中點(diǎn)a2b2A(x,y),B(x,y)，弦的中點(diǎn)M(x,y)。112200⑴弦長(zhǎng)IAB\=(1+k2)[(x+x)2—4xx]或IAB1=(1+)[(y+y)2-4yy]；“ 1 2 12 \ k2 1 2 12b2x⑵k=亠(為什么？如何推導(dǎo)？)；ABa2y0⑶直線AB的方程為：y-y=k(x-x)；0AB 0⑷直線AB的垂直平分線方程為：y-y=-丄(x-x)。0k 0AB雙曲線上存在兩點(diǎn)A(x,y),B(x,y),關(guān)于直線l:y=kx+b對(duì)稱的問(wèn)題，通常的解題11221思路為：設(shè)直線AB:y=-〒x+m,將雙曲線方程和直線AB方程聯(lián)立消元后，利用弦ABkx+xy+y的中點(diǎn)(-匕缶，巧缶)在直線l:y=kx+b上來(lái)解決。等軸雙曲線：方程為x2-y2=±a2(a>0)，離心率e=邁，兩條漸近線互相垂直，以上結(jié)論反之亦成立。x2y2 x2y2與雙曲線——一=1(a>0,b>0)有共同漸近線的雙曲線方程為——一=九(九豐0)a2b2 a2b2xy x2y2(何時(shí)為九〉0,九<0?);以一±〒=0為漸近線的雙曲線方程為—=九(九H0)(何ab a2b2時(shí)為九〉0,X<0?)。在解決直線和雙曲線位置關(guān)系等問(wèn)題時(shí)，要注意消元后的方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，并檢驗(yàn)判別式是否大于零。三、拋物線本部分考查的主要知識(shí)點(diǎn)有：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)(坐標(biāo)，、準(zhǔn)線(方程，以及拋物線的幾何性質(zhì)。1.重視定義在解題中的靈活應(yīng)用，靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離的相等轉(zhuǎn)化；注意確定四種標(biāo)準(zhǔn)方程的條件，明確拋物線的焦準(zhǔn)距、焦頂距、通徑與拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中系數(shù)的關(guān)系(能全部回答出來(lái)嗎？，；注意數(shù)形結(jié)合，提倡畫(huà)出合理草圖。頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線，可設(shè)為y2=mx或x2=my(m豐0)，此時(shí)m不具有焦參數(shù)p的幾何意義。當(dāng)問(wèn)題中涉及直線與拋物線位置關(guān)系（如弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、三角形面積）等問(wèn)題時(shí)，要注意利用韋達(dá)定理，這樣可以避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算。但同時(shí)要注意在拋物線背景下y2的問(wèn)題中，消元時(shí)可以利用拋物線方程進(jìn)行（如x 等），在設(shè)直線方程時(shí)，如果斜2p率不存在的直線符合題意，但斜率為0的直線不符合題意時(shí)，可以利用直線方程的點(diǎn)斜式的變形式：X-x二m（y-y）來(lái)表示直線，但必須注意的是，在m豐0時(shí)，該直線001的斜率為一，在m二0時(shí)，該直線的斜率不存在。m直線與拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題常利用消元后的方程來(lái)研究，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)：>0o直線與拋物線相交于兩點(diǎn)；△二0o直線與拋物線相切；<0o直線與拋物線相離。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為零時(shí)，直線與拋物線的軸平行或重合，這時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)（非相切）。在考試中常遇到這樣的題型：給出拋物線方程及一個(gè)點(diǎn)P（x,y），讓判斷過(guò)給出的點(diǎn)00P可以做出幾條和拋物線僅有一個(gè)公共的直線。本類題型通常按下列步驟進(jìn)行：首先判斷點(diǎn)P（x,y）和拋物線（如y2二2px（p>0））的位置關(guān)系，P在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)的區(qū)域）00oy2<2px，P在拋物線外（不含焦點(diǎn)的區(qū)域） oy2>2px，P在拋物線上0000oy02二2px0；如果點(diǎn)P在拋物線內(nèi)，僅有一條平行于軸的直線符合題意；如果點(diǎn)P在拋物線上，僅有一條平行于軸的直線和一條切線（共兩條）符合題意；如果點(diǎn)P在拋物線外,有一條平行于軸的直線及兩條切線（共三條）符合題意。（能否自己總結(jié)出其它三種標(biāo)準(zhǔn)方程在此類題目中的解題步驟?）直線和拋物線相交形成的弦長(zhǎng)計(jì)算公式同橢圓、雙曲線部分完全相同。（能默寫(xiě)嗎？）焦半徑公式：拋物線上的點(diǎn)P（x,y）與焦點(diǎn)F之間線段的長(zhǎng)度稱作拋物線的焦半徑，00p記作IPFI二r，貝I」：y2二2px(p>0),r二x+ ；02py2=一2px(p>0),r二一x+02px2=2py(p>0),r=y+02px2一刀皿>0），r一y0+I（這四個(gè)公式是怎么來(lái)的？）焦點(diǎn)弦：過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦，設(shè)AB為拋物線y2二2px（p0）的焦點(diǎn)弦,A(xi,人),B(x2,y2)，弦AB的中點(diǎn)M(x0,y0)，則:

xx= ,yy=-p2（為什么？如何推導(dǎo)？）12412焦點(diǎn)弦長(zhǎng)l二x+x+p,/>2Qxx+p=2p，等號(hào)成立時(shí)，即焦點(diǎn)弦與拋物線的1212軸垂直時(shí)（此時(shí)的焦點(diǎn)弦又叫拋物線的通徑），即最短的焦點(diǎn)弦是通徑，最小值是2p焦點(diǎn)弦長(zhǎng)l==弓Q為弦AB的傾斜角）（能否自己推導(dǎo)一下呢？）sm2a8.設(shè)AB為拋物線y2=2px（p>0）的弦（注意和上條知識(shí)的不同之處），Axi，y1）恥哆）2 ，弦AB的中點(diǎn)"（xo,y0），則:弦長(zhǎng)l=\：1+k2|x-x1='1+ Iy-yI（k豐0）1 2計(jì)k2 1 2k=—（為什么？提示：用點(diǎn)差法進(jìn)行推導(dǎo)）ABy0直線AB的方程：y-y=p（x-x）或x-x=蠱（y-y）0y00p00y直線AB的垂直