初等數(shù)論第二章課件第1頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日對(duì)于高于二次的多元不定方程，人們知道得不多。

另一方面，不定方程與數(shù)學(xué)的其他分支如代數(shù)數(shù)論、

代數(shù)幾何、組合數(shù)學(xué)等有著緊密的聯(lián)系，

在有限群論在有限群論和最優(yōu)設(shè)計(jì)中也常常提出不定方程的問(wèn)題，

這就使得不定方程這一古老的分支繼續(xù)吸引著許多數(shù)學(xué)家的注意，成為數(shù)論中重要的研究課題之一。第2頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第一節(jié)二元一次不定方程研究不定方程一般需要要解決以下三個(gè)問(wèn)題：②有解時(shí)決定解的個(gè)數(shù)。①判斷何時(shí)有解。③求出所有的解。本節(jié)討論能直接利用整除理論來(lái)判定是否有解，以及有解時(shí)求出其全部解的最簡(jiǎn)單的不定方程———二元一次不定方程。第3頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第4頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第5頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日注：定理的證明過(guò)程實(shí)際給出求解方程（1）的方法：第6頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第7頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第8頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第9頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日注：利用輾轉(zhuǎn)相除法求（a,b)時(shí)，前提為a,b為正整數(shù)，且a大于b，因此求解此方程時(shí)可以考慮用變量替換。第10頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第11頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3、下面通過(guò)具體例子介紹一種判定方程是否有解，及其求出其解的直接算法——整數(shù)分離法第12頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第13頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第14頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日或先求出原方程的一個(gè)特解，再給出一切整數(shù)解。注：這種解不定方程的算法實(shí)際上是對(duì)整個(gè)不定方程用輾轉(zhuǎn)相除法，依次化為等價(jià)的不定方程，直至得到一個(gè)變量的系數(shù)為正負(fù)1的方程為止。這樣的不定方程第15頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日可以直接解出。再依次反推上去，就得到原方程的通解。為了減少運(yùn)算次數(shù)，在用帶余除法時(shí)，總?cè)〗^對(duì)值最小余數(shù)。下面我們來(lái)討論當(dāng)二元一次不定方程（1）可解時(shí)，它的非負(fù)解和正解問(wèn)題。由通解公式知這可歸結(jié)為去確定參數(shù)t的值，使x,y均為非負(fù)或正。顯見(jiàn)，當(dāng)a,b異號(hào)時(shí)，不定方程（1）可解時(shí)總有無(wú)窮多組非負(fù)解或正解，理由是：第16頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日所以下面只討論a,b均為正整數(shù)的情形，先來(lái)討論非負(fù)解：第17頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日下面討論正整數(shù)解：第18頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例7、求方程5x+3y=52的全部正整數(shù)解解：x=8,y=4是一組特解，方程的全部解為：x=8+3t,y=4-5t正整數(shù)解滿(mǎn)足8+3t>0,4-5t>0第19頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日注：若只求方程正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，可考慮以下不等式的整數(shù)解個(gè)數(shù)：第20頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第二節(jié)多元一次不定方程第21頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第22頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日注：定理1的證明給出了n元一次不定方程的解法過(guò)程：即求解方程組（由n-1個(gè)方程組成）第23頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第24頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第25頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第26頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：原方程化為：第27頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第28頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日進(jìn)一步可求非負(fù)整數(shù)解：由通解公式給出非負(fù)整數(shù)解中m,k應(yīng)滿(mǎn)足第29頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第30頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第三節(jié)勾股數(shù)第31頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第32頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第33頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第34頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日②再證滿(mǎn)足條件（2）的解都可以表成（3）的形式。第35頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第36頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第37頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第38頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例1、求一個(gè)邊長(zhǎng)為整數(shù)的直角三角形，它的面積在數(shù)值上等于它的周長(zhǎng)。第39頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第40頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例2、求不定方程（*）的滿(mǎn)足條件0<z<26的全部互素的解。baxyz12345235121314158173472425第41頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例3、求z=65的滿(mǎn)足方程（*）的全部正整數(shù)解。第42頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第43頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例5、假定(x,y,z)是(*)的解，并且(x,y)=1，那么在x,y中有一個(gè)是3的倍數(shù)，有一個(gè)是4的倍數(shù)，在x,y,z中有一個(gè)是5的倍數(shù)。第44頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第45頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日注意：定理中所說(shuō)的在x,y中有一個(gè)是3的倍數(shù)，有一個(gè)是4的倍數(shù)，并不是說(shuō)在x,y中一個(gè)是3的倍數(shù)，另一個(gè)是4的倍數(shù)，很可能3的倍數(shù)與4的倍數(shù)是同一個(gè)數(shù)。如（5,12,13），又如（11,60,61）第46頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第47頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第48頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第49頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3、無(wú)窮遞降法1659年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬寫(xiě)信給他的一位朋友卡爾卡維，稱(chēng)自己創(chuàng)造了一種新的數(shù)學(xué)方法.

由于費(fèi)馬的信并沒(méi)有發(fā)表，

人們一直無(wú)從了解他的這一方法.

直到

1879年，人們?cè)诤商m萊頓大學(xué)圖書(shū)館惠更斯的手稿中發(fā)現(xiàn)了一篇論文，才知道這種方法就是無(wú)窮遞降法.無(wú)窮遞降法是證明某些不定方程無(wú)解時(shí)常用的一種方法.其證明模式大致是:先假設(shè)方程存在一個(gè)最小正整數(shù)解，

第50頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期日然后在這個(gè)最小正整數(shù)解的基礎(chǔ)上找到一個(gè)更小的構(gòu)造某種無(wú)窮遞降的過(guò)程，再結(jié)合最小數(shù)原理得到矛盾，從而證明命題.

無(wú)窮遞降法在解決問(wèn)題過(guò)程中主要有兩種表現(xiàn)形式:其一，由一組解出發(fā)通過(guò)構(gòu)造得到另一組解，并且將這一過(guò)程遞降下去，從而得出矛盾;其二，假定方程有正整數(shù)解，且存在最小的正

整數(shù)解，設(shè)法構(gòu)造出方程的另一組解(比最小正整數(shù)解還要小