典型例題【例1】如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6cm和8[思路與技巧]這里知道了直角三角形的兩條邊的長度，應用勾股定理可求出第三條邊的長度，再求周長．但題中未指明已知的兩條邊是兩條直角邊還是一直角邊一斜邊，因此要分兩種情況討論．[解答]分兩種情況：（1）當兩條直角邊是6cm和8斜邊長所以周長＝6＋8＋10＝24(cm)面積(2)當斜邊為8cm，一直角邊為6根據(jù)勾股定理得另一直角邊所以周長面積

【例2】如圖1是一只圓柱形的封閉易拉罐，它的底面半徑為4cm，高為15圖1[思路與技巧]攪拌棒在易拉罐中的位置可以有多種情形，如圖中的、，但它們都不是最長的，根據(jù)實際經(jīng)驗，當攪拌棒的一個端點在B點，另一個端點在A點時最長，此時可以把線段AB放在Rt△ABC中，其中BC為底面直徑．[解答]如圖1，當攪拌棒在AB位置時最長，過B畫底面直徑BC，則在Rt△ABC中，AC＝15cm，BC＝4×2＝根據(jù)勾股定理得所以可放的最長攪拌棒為17cm 【例3】已知直角三角形的一直角邊為9，另兩邊的長為整數(shù)，求三角形的周長．[思路與技巧]根據(jù)勾股定理，知道直角三角形一直角邊可以得出斜邊和另一直角邊之間的關系，再由這兩邊的長為整數(shù)可以推出兩邊的長，當然這里不需要分別求出，只要求出另兩邊的和就可以了．[解答]設斜邊為c，另一直角邊為a，由勾股定理得．即(c＋a)(c－a)＝81．又因為c、a為正整數(shù)，所以c＋a，c－a也是正整數(shù)，且c＋a＞c－a.因為81＝81×l＝27×3所以c＋a＝81或c＋a＝27(c－a＝1或c－a＝3)所以a＋b＋c＝81＋9＝90或27＋9＝36．即三角形的周長為90或36．

【例4】已知單位長度為“1”，畫一條線段，使它的長為．[思路與技巧]是無理數(shù)，用以前的方法不易準確畫出表示長為的線段，但由勾股定理可知，兩直角邊分別為5、2的直角三角形的斜邊長為.[解答]畫直角三角形ABC，使∠ACB＝90°，AC＝2(單位長度)，BC＝5(單位長度)．則(單位長度)．如圖2． 圖2【例5】小明想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了lm，當他把繩子的下端拉開5m[思路與技巧]由題意可知繩子比旗桿多l(xiāng)m，把下端拉開5m后，下端剛好接觸地面，這時，旗桿AB、繩子AC、旗桿底點B與繩接觸地面的點C所連結的線段BC構成直角三角形．如圖3如果設旗桿AB＝m，則繩長AC＝(x＋1)m圖3[解答]設旗桿高為xm，則繩子長(x＋1)m在Rt△ABC中，AB＝x，AC＝x＋l，BC＝5根據(jù)勾股定理得即所以旗桿的高度為12m【例6】如圖4，已知CB＝9，AB＝17，AC＝10，AD⊥BC于D．求AD的長．圖4[思路與技巧]無論把AD放在直角△ADC還是在直角△ADB中，都不易直接利用勾股定理計算AD，必須先求出CD的長才能解決問題，要求CD的長，可設CD＝x，設法找到關于x的方程，通過解方程的方法求出未知的CD長．題中的AD可作為“橋梁”列出方程．[解答]如圖4，設CD＝x，在直角△ADC中，在直角△ABD中，所以解x＝6所以．

【例7】如圖5分別以直角三角形的三邊為邊長向外作正三角形，試探索三個正三角形面積間的關系．圖5[思路與技巧]首先應探索出正三角形的面積與正三角形的邊長之間的關系，然后可設出△ABC的各邊長，分別計算SⅠSⅡSⅢ,再進行比較.[解答]設正三角形DEF的邊長為m，如圖6．過D作DH⊥EF于H，則(三線合一)．在直角△DEH中，．所以．即等邊三角形的面積等于邊長的平方．圖6因此可設直角△ABC的三邊AB＝c，AC＝b，BC＝a所以、、．又因為a，b，c為直角三角形的三邊，故所以即

【例8】如圖7是一只長方形的火柴盒ABCD，把它推倒后到的位置，試用這一圖形的變化探索勾股定理的正確性．圖7[思路與技巧]火柴盒由ABCD的位置推倒后到的位置，可以看做是長方形ABCD繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后到達的，所以，如圖19—17．[解答]設火柴盒ABCD的兩邊長分別為