上海市重點中學(xué)2022學(xué)年第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷2023．04一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分．1．已知，則________．2．已知，，且，則________．3．已知一個隨機(jī)變量的方差，則________．4．從0，1，2，，9這10個自然數(shù)中任取2個不同的數(shù)，它們的積是奇數(shù)的概率為________．5．某校共有師生2400人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為180的樣本，已知從學(xué)生中抽取的人數(shù)為165，則該學(xué)校的教師人數(shù)是________．6．當(dāng)，化簡：________．7．甲、乙兩人向同一目標(biāo)各射擊1次，已知甲命中目標(biāo)的概率為，乙命中目標(biāo)的概率為，則該目標(biāo)至少被命中一次的概率為________．8．把一顆質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，記事件為“所得點數(shù)之和是偶數(shù)”，記事件為“至少有一次點數(shù)是4”，則________．9．某活動小組有4男3女共7名學(xué)生在博物館參觀后排隊合影留念．若這7人排成一排，且3名女生互不相鄰，則共有________種不同的排法．10．已知除顏色外完全相同的10個小球，其中3個白色，3個紅色，4個黑色．現(xiàn)將它們從左至右隨機(jī)排成一排，則3個紅球恰好排在一起的概率是________．11．某班共有40名學(xué)生，其中23名男生的身高平均數(shù)為，方差為28；17名女生的身高平均數(shù)為；若全班學(xué)生的身高方差為62，則該班級女生身高的方差為________．12．將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲次，以表示沒有出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率．已知，則________．二、選擇題（本大題共有4小題，滿分18分）每小題給出四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，13、14題每個空格填對得4分，15、16題每個空格填對得5分，否則得0分．13．下列命題中假命題是（）A．任意給定統(tǒng)計數(shù)據(jù)，都可以繪制散點圖；B．一組數(shù)據(jù)的極差可以表示這組數(shù)據(jù)的波動范圍大小；C．莖葉圖既可以用于呈現(xiàn)單組數(shù)據(jù)，也可以用于對兩組同類數(shù)據(jù)的比較分析；D．一組數(shù)據(jù)中的百分位數(shù)既可能是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)，也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)．14．設(shè)，分別是平面，的法向量，直線的方向向量為，以下結(jié)論錯誤的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則或，重合15．已知集合，，從集合中任取2個不同的元素，其中最小的元素用表示，從集合中任取3個不同的元素，其中最大的元素用表示，記，則（）A． B． C． D．16．將110表示成3的非負(fù)整數(shù)冪的和的形式，其中加數(shù)的不同排列視作同一種表示方法，共有（）種不同的方法．A．247 B．402 C．485 D．508三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17．（本題滿分12分，第1小題6分，第2小題6分）已知四棱錐的底面是矩形，平面，，．點是線段的中點，求：（1）異面直線和所成角的大??；（2）直線與平面所成角的大小．18．（本題滿分14分，第1小題4分，第2小題4分，第3小題6分）已知的二項展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和等于512．求：（1）的值；（2）展開式中的常數(shù)項；（3）展開式中系數(shù)最大的項．19．（本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）為了解某校高二年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階段性表現(xiàn)，年級組織了一次階段測試．已知此次考試共有450名學(xué)生參加，考試成績的頻率分布直方圖如下．450名高二學(xué)生數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖（1）求的值；（2）估計這次數(shù)學(xué)考試的平均成績；（3）求這次數(shù)學(xué)考試的及格率（不低于60分視作及格）．20．（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）一個袋子中有大小、質(zhì)地都相同僅顏色不同的8個小球，其中5個是紅球，3個是黃球．規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分．現(xiàn)隨機(jī)從袋中摸出3個球，記這三個球的得分之和為隨機(jī)變量．求：（1）的所有可能的取值（直接列出，不需要說明理由）；（2）的分布；（3）的期望和方差（結(jié)果保留三位小數(shù)）．21．（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題8分，第3小題6分）甲、乙、丙三人同時對飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為，，．飛機(jī)恰被一人擊中而擊落的概率為，恰被兩人擊中而擊落的概率為，若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落．（1）求飛機(jī)恰被一人擊中的概率；（2）求飛機(jī)被擊落的概率；（3）已知飛機(jī)被擊落，求三人都擊中飛機(jī)的概率．高二數(shù)學(xué)試卷參考答案2023．04一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分．1．【答案】6【解析】因為，所以，所以（舍）或，所以2．【答案】2【解析】由已知可得，解得3．【答案】4【解析】4．【答案】【解析】根據(jù)題意，記取出的兩個數(shù)的積為奇數(shù)為事件，從6個數(shù)中任取2個數(shù)相乘，有種情況，若取出的兩個數(shù)全部為奇數(shù)，有，則5．【答案】200【解析】從所有師生中抽取一個容量為180的樣本，已知從學(xué)生中抽取的人數(shù)為165，則老師抽取人，則該學(xué)校的教師人數(shù)人6．【答案】0【解析】因為，兩邊對求導(dǎo)數(shù)，得，令，代入上式，即得：7．【答案】【解析】設(shè)目標(biāo)至少被命中一次的概率為，則8．【答案】【解析】事件有下列可能：，，，，，，，，，，，，，，，，，共18種；滿足條件有：，，，，，共5種，所以9．【答案】1440【解析】先把四個男生排成一排有種排法，在每一排列中有五個空檔（包括兩端），再把三個女孩插入空檔中有種方法，所以共有種不同方法10．【答案】【解析】10個小球隨機(jī)排列，有種情況，把3個紅球看成一個整體，那么在這個整體中這3個人任意排列有種情況，然后把這個整體放到其他小球中，有種情況，那么3個紅球恰好排在一起的概率是：11．【答案】（或）【解析】由題意可知，所有學(xué)生的平均身高為：，設(shè)班級女生身高的方差為，因為，所以，即該班級女生身高的方差為（或）12．【答案】【解析】要求，即拋擲次沒有出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率，分類進(jìn)行討論，若第次反面向上，前次未出現(xiàn)連續(xù)3此正面即可；若第次正面向上，則需要對第進(jìn)行討論，依次類推，得到下表：第次次次概率反面正面反面正面正面反面所以，．二、選擇題（本大題共有4小題，滿分18分）每小題給出四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，13、14題每個空格填對得4分，15、16題每個空格填對得5分，否則得0分．13．【答案】A【解析】對于A，散點圖是表示兩個變量之間關(guān)系的圖形，并不是任意給定統(tǒng)計數(shù)據(jù)，都可以繪制散點圖，選項A錯誤；對于B，一組數(shù)據(jù)的極差是這組數(shù)據(jù)中最大與最小值的差，它可以粗略表示這組數(shù)據(jù)的波動范圍大小，選項B正確；對于C，莖葉圖可以用于呈現(xiàn)單組數(shù)據(jù)，也可以用于對兩組同類數(shù)據(jù)的比較分析，選項C正確；對于D，和中位數(shù)相同，一組數(shù)據(jù)中的百分位數(shù)既可能是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)，也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)，選項D正確，故選A14．【答案】B【解析】A項，若，由法向量的性質(zhì)知，法向量垂直，平面垂直，故A正確；B項，若，可知與平面平行或在平面內(nèi)，故B錯誤；C項，若，由法向量的性質(zhì)知，該向量垂直于平面，故C正確；D項，若，可從題目，分別是平面，的法向量知，法向量平行，所以平面平行或重合，故D正確；故選B15．【答案】C【解析】從集合中任取2個不同的元素，有6種可能，分別為：，，，，，，其中最小的元素的取值分別為1，2，3，從集合中任取3個不同的元素，有10種可能，分別為：，，，，，，，，，，其中最大的元素取值分別為3，4，5，所以，故選C16．【答案】D【解析】設(shè)，（1）若，則，設(shè)則，方程①的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)為，方程②的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)為．的非負(fù)整數(shù)解有：，，，，，，，，，，，，故方程的解的個數(shù)為：；（2）當(dāng)，則，類似地有方程的解的個數(shù)為：，綜上，共有種不同的方法，故選D三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17．【答案】（1）；（2）（或）【解析】（1）取中點為，靠的四等分點為，連接，取，連接，，，因為，分別是，的四等分點，所以，因為，分別是，的中點，所以，因為，，所以，，．．所以，所以，即異面直線和所成角的大小為（2）取、中點為、，連接，，，，所以，所以，解得所以，所以（或）．即直線與平面所成的大為（或）18．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）；（2）通項，令，所以常數(shù)項為．（3）設(shè)第的系數(shù)為，則，令，所以系數(shù)最大的項是．19．【答案】（1）；（2）；（3）70%【解析】（1），解得（2）這次數(shù)學(xué)考試的平均成績?yōu)椋海?）20．