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第5章萬有引力定律及其應(yīng)用

章末總結(jié)

一、天體(衛(wèi)星)運(yùn)動(dòng)問題的處理

分析處理天體運(yùn)動(dòng)問題，要抓住“一個(gè)模型”“兩個(gè)思路”，區(qū)分“三個(gè)不同”。

1.一個(gè)模型：無論是自然天體(如行星等)，還是人造天體(如人造衛(wèi)星、空間站等)，只要天

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體的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓形，就可將其簡化為質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

2.兩個(gè)思路

(1)所有做圓周運(yùn)動(dòng)的天體，所需的向心力都來自萬有引力。因此，向心力等于萬有引力，

據(jù)此所列方程是研究天體運(yùn)動(dòng)的基本關(guān)系式，即

Mmv24π2

G＝m＝mω2r＝mr＝ma。

r2rT2

(2)不考慮地球或其他天體自轉(zhuǎn)影響時(shí)，物體在地球或其他天體表面受到的萬有引力約等于

Mm

物體的重力，即G＝mg，變形得GM＝gR2。

R2

3.三個(gè)不同

mm

(1)不同公式中r的含義不同。在萬有引力定律公式(F＝G12)中，r的含義是兩質(zhì)點(diǎn)間的距

r2

v2

Fmm2rr

離；在向心力公式(＝r＝ω)中，的含義是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。當(dāng)一個(gè)天體繞另一

個(gè)天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩式中的r相等。

(2)運(yùn)行速度、發(fā)射速度和宇宙速度的含義不同。

(3)衛(wèi)星的向心加速度a、地球表面的重力加速度g、在地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓

周運(yùn)動(dòng)的向心加速度a′的含義不同。

[例1]土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運(yùn)動(dòng)可視為圓周運(yùn)動(dòng)，其中有兩

個(gè)巖石顆粒A和B與土星中心的距離分別為r＝8.0×104km和r＝1.2×105km。忽略所有

AB

巖石顆粒間的相互作用(結(jié)果可用根式表示)。

(1)求巖石顆粒A和B的線速度之比；

(2)求巖石顆粒A和B的周期之比；

(3)土星探測器上有一物體，在地球上重為10N，推算出它距土星中心3.2×105km處受到

土星的引力為0.38N。已知地球半徑為6.4×103km，請估算土星質(zhì)量是地球質(zhì)量的多少倍？

解析(1)設(shè)土星質(zhì)量為M，巖石顆粒質(zhì)量為m，距土星中心距離為r，線速度為v，根據(jù)牛

0

Mmmv2GM

頓第二定律和萬有引力定律可得G0＝，解得v＝0。

r2rr

GMGMv6

對于A、B兩顆粒分別有v＝0和v＝0，得A＝。

ArBrv2

ABB

r3r3

(2)設(shè)顆粒繞土星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，由開普勒第三定律A＝B

T2T2

AB

T26

得A＝。

T9

B

(3)設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為r，地球上物體的重力可視為等于萬有引力，探測器上物體質(zhì)

0

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量為m，在地球表面重力為G，跟土星中心相距r′＝3.2×105km處的引力為G′，根據(jù)

0000

萬有引力定律得

GMmGMmM

G0＝0，G′＝00，解得0＝95。

r20r′2M

00

626

答案(1)(2)(3)95倍

29

[針對訓(xùn)練1]“靜止”在赤道上空的地球同步氣象衛(wèi)星將氣象數(shù)據(jù)發(fā)回地面，為天氣預(yù)報(bào)

提供準(zhǔn)確、全面和及時(shí)的氣象資料。設(shè)地球同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍，下列說

法中正確的是()

1

A.同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度是第一宇宙速度的n

1

B.同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度是地球赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)獲得的速度的n

1

C.同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度是第一宇宙速度的n

1

D.同步衛(wèi)星的向心加速度是地球表面重力加速度的n

Mmv24π2

解析同步衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力，則G＝ma＝m＝mω2r＝m

r2rT2

GMGMvR1

r，得同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度v＝，又第一宇宙速度v＝，所以＝＝，

r1Rvrn

1

GMGMaR21

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，C正確；a＝，g＝，所以＝＝，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；同步衛(wèi)星與地球自

r2R2gr2n2

vr

轉(zhuǎn)的角速度相同，則v＝ωr，v＝ωR，所以＝＝n，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤。

自vR

自

答案C

二、人造衛(wèi)星的發(fā)射、變軌與對接

1.發(fā)射問題

要發(fā)射人造衛(wèi)星，動(dòng)力裝置在地面處要給衛(wèi)星以很大的發(fā)射初速度，且發(fā)射速度v＞v＝7.9

1

km/s，人造衛(wèi)星做離開地球的運(yùn)動(dòng)；當(dāng)人造衛(wèi)星進(jìn)入預(yù)定軌道區(qū)域后，再調(diào)整速度，使F

引

Mmv2

＝F，即G＝m，從而使衛(wèi)星進(jìn)入預(yù)定軌道。

向r2r

2.變軌問題

發(fā)射過程：如圖1所示，一般先把衛(wèi)星發(fā)射到較低軌道1上，然后在P點(diǎn)點(diǎn)火，使衛(wèi)星加速，

讓衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入軌道2，到達(dá)Q點(diǎn)后，再使衛(wèi)星加速，進(jìn)入預(yù)定軌道3。

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圖1

回收過程：與發(fā)射過程相反，當(dāng)衛(wèi)星到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，使衛(wèi)星減速，衛(wèi)星由軌道3進(jìn)入軌道2，

當(dāng)?shù)竭_(dá)P點(diǎn)時(shí)，再讓衛(wèi)星減速進(jìn)入軌道1，再減速到達(dá)地面。

3.對接問題

如圖2所示，飛船首先在比空間站低的軌道運(yùn)行，當(dāng)運(yùn)行到適當(dāng)位置時(shí)，再加速運(yùn)行到一個(gè)

橢圓軌道。通過控制使飛船跟空間站恰好同時(shí)運(yùn)行到兩軌道的相切點(diǎn)，便可實(shí)現(xiàn)對接。

圖2

[例2](多選)2016年中國將發(fā)射“天宮二號”空間實(shí)驗(yàn)室，并發(fā)射“神舟十一號”載人飛

船和“天舟一號”貨運(yùn)飛船，與“天宮二號”交會對接?！疤鞂m二號”預(yù)計(jì)由“長征二號

F”改進(jìn)型無人運(yùn)載火箭或“長征七號”運(yùn)載火箭從酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，由長征運(yùn)

載火箭將飛船送入近地點(diǎn)為A、遠(yuǎn)地點(diǎn)為B的橢圓軌道上，B點(diǎn)距離地面的高度為h，地球

的中心位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上?！疤鞂m二號”飛行幾周后進(jìn)行變軌進(jìn)入預(yù)定圓軌道，如圖3

所示。已知“天宮二號”在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時(shí)間為t，引力常量為G，地球半徑

為R。則下列說法正確的是()

圖3

A.“天宮二號”從B點(diǎn)沿橢圓軌道向A點(diǎn)運(yùn)行的過程中，引力為動(dòng)力

B.“天宮二號”在橢圓軌道的B點(diǎn)的加速度大于在預(yù)定圓軌道上B點(diǎn)的向心加速度

C.“天宮二號”在橢圓軌道的B點(diǎn)的速度大于在預(yù)定圓軌道上的B點(diǎn)的速度

D.根據(jù)題目所給信息，可以計(jì)算出地球質(zhì)量

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解析“天宮二號”從B點(diǎn)沿橢圓軌道向A點(diǎn)運(yùn)行的過程中，速度在變大，故受到的地球引

力為動(dòng)力，所以A正確；在B點(diǎn)“天宮二號”的加速度都是由萬有引力產(chǎn)生的，因?yàn)橥贐

點(diǎn)萬有引力大小相等，故不管在哪個(gè)軌道上運(yùn)動(dòng)，在B點(diǎn)時(shí)萬有引力產(chǎn)生的加速度大小相等，

故B錯(cuò)誤；“天宮二號”在橢圓軌道的B點(diǎn)加速后做離心運(yùn)動(dòng)才能進(jìn)入預(yù)定圓軌道，故“天

宮二號”在橢圓軌道的B點(diǎn)的速度小于在預(yù)定圓軌道的B點(diǎn)的速度，故C錯(cuò)誤；“天宮二號”

tMm

在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時(shí)間為t，故周期為T＝，根據(jù)萬有引力提供向心力G

n（R＋h）2

4π2（R＋h）4π2（R＋h）34π2n2（R＋h）3

＝m，得地球的質(zhì)量M＝＝，故D正確。

T2GT2Gt2

答案AD

衛(wèi)星變軌問題的分析技巧

1.根據(jù)引力與需要的向心力的關(guān)系分析，當(dāng)由于某原因速度v突然改變時(shí)，若速度v減小，

v2v2

FmvFm

則引力＞r，衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng)，軌跡為橢圓；若速度增大，則引力＜r，衛(wèi)星將做

離心運(yùn)動(dòng)，軌跡為橢圓，此時(shí)可用開普勒三定律分析其運(yùn)動(dòng)。

2.衛(wèi)星到達(dá)橢圓軌道與圓軌道的切點(diǎn)時(shí)，衛(wèi)星受到的萬有引力相同，所以加速度相同。

[針對訓(xùn)練2](多選)如圖4所示，發(fā)射同步衛(wèi)星的一般程序是：先讓衛(wèi)星進(jìn)入一個(gè)近地的

圓軌道，然后在P點(diǎn)變軌，進(jìn)入橢圓形轉(zhuǎn)移軌道(該橢圓軌道的近地點(diǎn)為近地圓軌道上的P，

遠(yuǎn)地點(diǎn)為同步圓軌道上的Q)，到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)Q時(shí)再次變軌，進(jìn)入同步軌道。設(shè)衛(wèi)星在近地圓

軌道上運(yùn)行的速率為v，在橢圓形轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn)P的速率為v，沿轉(zhuǎn)移軌道剛到達(dá)遠(yuǎn)地

12

點(diǎn)Q時(shí)的速率為v，在同步軌道上的速率為v，三個(gè)軌道上運(yùn)動(dòng)的周期分別為T、T、T，

34123

則下列說法正確的是()

圖4

A.在P點(diǎn)變軌時(shí)需要加速，Q點(diǎn)變軌時(shí)要減速

B.在P點(diǎn)變軌時(shí)需要減速，Q點(diǎn)變軌時(shí)要加速

C.T＜T＜T

123

D.v＞v＞v＞v

2143

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解析衛(wèi)星在橢圓形轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn)P時(shí)做離心運(yùn)動(dòng)，所受的萬有引力小于所需要的向心

Mmv2Mmv2

力，即G＜m2，而在圓軌道時(shí)萬有引力等于向心力，即G＝m1，所以v＞v；同理，由

R2RR2R21

1111

GM

于衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道上Q點(diǎn)加速，則v＜v。又由人造衛(wèi)星的線速度v＝可知v＞v，由

34r14

r3

以上所述可知選項(xiàng)D正確，A、B錯(cuò)誤，由于軌道半長軸R＜R＜R，由開普勒第三定律著＝

123T2

k(k為常量)得T＜T＜T，故選項(xiàng)C正確。

123

答案CD

三、雙星模型在天體運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

1.雙星：兩個(gè)離得比較近的天體，在彼此間的引力作用下繞兩者連線上的一點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，

這樣的兩顆星組成的系統(tǒng)稱為雙星。

圖5

2.雙星問題的特點(diǎn)

(1)兩星的運(yùn)動(dòng)軌道為同心圓，圓心在它們之間的連線上。

(2)兩星的向心力大小相等，由它們間的萬有引力提供。

(3)兩星的運(yùn)動(dòng)周期、角速度相同。

(4)兩星的軌道半徑之和等于兩星之間的距離，即r＋r＝L。

12

mm

3.雙星問題的處理方法：雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即G12＝

L2

mω2r＝mω2r。

1122

由此得出：

rm

12

(1)軌道半徑之比與雙星質(zhì)量之比相反：r＝m。

21

vm

12

(2)線速度之比與質(zhì)量之比相反：v＝m。

21

2π4π2L3

(3)由于ω＝，r＋r＝L，所以兩恒星的質(zhì)量之和m＋m＝。

T1212GT2

[例3](多選)冥王星與其附近的星體卡戎可視為雙星系統(tǒng)，質(zhì)量之比約為7∶1，同時(shí)繞它

們連線上某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。由此可知卡戎繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的()

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圖6

A.角速度大小約為冥王星的7倍

1

B.向心力大小約為冥王星的

7

C.軌道半徑約為冥王星的7倍

D.周期大小與冥王星周期相同

解析由題圖可知，冥王星與卡戎繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)每轉(zhuǎn)一圈所用的時(shí)間相同，故D正確，A錯(cuò)

Mm

誤；冥王星與卡戎繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)萬有引力提供向心力，即G冥卡

（r＋r）2

冥卡

rM7

＝Mω2r＝mω2r，故卡＝冥＝，B錯(cuò)誤，C正確。

冥冥卡卡rm1

冥卡

答案CD

[針對訓(xùn)練3]雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上

的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距

離和周期均可能發(fā)生變化。若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過一段時(shí)間演化

后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?/p>