2018年海南高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

注意事項：

1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2．作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。

3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的．

12i

1．

12i

43433434

A．iB．iC．iD．i

55555555

2．已知集合Ax，yx2y2≤3，xZ，yZ，則A中元素的個數(shù)為

A．9B．8C．5D．4

exex

3．函數(shù)fx的圖像大致為

x2

4．已知向量a，b滿足|a|1，ab1，則a(2ab)

A．4B．3C．2D．0

x2y2

5．雙曲線1(a0,b0)的離心率為3，則其漸近線方程為

a2b2

23

A．y2xB．y3xC．yxD．yx

22

C5

6．在△ABC中，cos，BC1，AC5，則AB

25

A．42B．30C．29D．25

11111

7．為計算S1…，設(shè)計了右側(cè)的程序框圖，開始

23499100

則在空白框中應(yīng)填入N0,T0

A．ii1i1

是否

B．ii2i100

C．ii3

1

NNSNT

D．ii4i

1

TT輸出S

i1

結(jié)束

8．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每

個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30723．在不超過30的素數(shù)中，隨

機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是

1111

A．B．C．D．

12141518

9．在長方體ABCDABCD中，ABBC1，AA3，則異面直線AD與DB所成角

1111111

的余弦值為

1552

A．B．C．D．

5652

10．若f(x)cosxsinx在[a,a]是減函數(shù)，則a的最大值是

ππ3π

A．B．C．D．π

424

11．已知f(x)是定義域為(,)的奇函數(shù)，滿足f(1x)f(1x)．若f(1)2，則

f(1)f(2)f(3)…f(50)

A．50B．0C．2D．50

x2y2

12．已知F，F(xiàn)是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在

12a2b2

3

過A且斜率為的直線上，△PFF為等腰三角形，F(xiàn)FP120，則C的離心率為

61212

2111

A．B．C．D．

3234

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．曲線y2ln(x1)在點(0,0)處的切線方程為__________．

x2y50，

14．若x,y滿足約束條件x2y30，則zxy的最大值為__________．

x50，

15．已知sinαcosβ1，cosαsinβ0，則sin(αβ)__________．

7

16．已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，

8

若△SAB的面積為515，則該圓錐的側(cè)面積為__________．

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，

每個試題考生都必須作答．第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答．

（一）必考題：共60分。

17．（12分）

記S為等差數(shù)列{a}的前n項和，已知a7，S15．

nn13

（1）求{a}的通項公式；

n

（2）求S，并求S的最小值．

nn

18．（12分）

下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖．

為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回

歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1，2，…，17）建立模型

①：y?30.413.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1，，2…，7）

建立模型②：y?9917.5t．

（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；

（2）你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由．

19．（12分）

設(shè)拋物線C：y24x的焦點為F，過F且斜率為k(k0)的直線l與C交于A，B兩點，

|AB|8．

（1）求l的方程

（2）求過點A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．

20．（12分）

如圖，在三棱錐PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O為AC的中

點．

（1）證明：PO平面ABC；

（2）若點M在棱BC上，且二面角MPAC為30，求PC與平面PAM所成角的正

弦值．

P

O

AC

M

B

21．（12分）

已知函數(shù)f(x)exax2．

（1）若a1，證明：當(dāng)x0時，f(x)1；

（2）若f(x)在(0,)只有一個零點，求a．

（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

一題計分．

22．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

x2cosθ，

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)

y4sinθ

方程為

x1tcosα，

（t為參數(shù)）．

y2tsinα

（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線C截直線l所得線段的中點坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率．

23．[選修4－5：不等式選講]（10分）

設(shè)函數(shù)f(x)5|xa||x2|．

（1）當(dāng)a1時，求不等式f(x)0的解集；

（2）若f(x)1，求a的取值范圍．

絕密★啟用前

2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)試題參考答案

一、選擇題

1．D2．A3．B4．B5．A6．A

7．B8．C9．C10．A11．C12．D

二、填空題

1

13．y2x14．915．16．402π

2

三、解答題

17．解：

（1）設(shè){a}的公差為d，由題意得3a3d15．

n1

由a7得d=2．

1

所以{a}的通項公式為a2n9．

nn

（2）由（1）得Sn28n(n4)216．

n

所以當(dāng)n=4時，S取得最小值，最小值為16．

n

18．解：

（1）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為

y?30.413.519226.1(億元)．

利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為

y?9917.59256.5(億元)．

（2）利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．

理由如下：

（?。恼劬€圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機(jī)散布在直線

y30.413.5t上下．這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很

好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢．2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額

有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近，這說明從2010

年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)

建立的線性模型y9917.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的

變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．

（ⅱ）從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到

的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理．說

明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．

以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．

19．解：

（1）由題意得F(1,0)，l的方程為yk(x1)(k0)．

設(shè)A(x,y),B(x,y)，

1122

yk(x1),

由得k2x2(2k24)xk20．

y24x

2k24

16k2160，故xx．

12k2

4k24

所以|AB||AF||BF|(x1)(x1)．

12k2

4k24

由題設(shè)知8，解得k1（舍去），k1．

k2

因此l的方程為yx1．

（2）由（1）得AB的中點坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，

即yx5．

設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x,y)，則

00

yx5,

00x3,x11,

00

(yx1)2解得或

(x1)20016.y2y6.

0200

因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144．

20．解：

（1）因為APCPAC4，O為AC的中點，所以O(shè)PAC，且OP23．

2

連結(jié)OB．因為ABBCAC，所以△ABC為等腰直角三角形，

2

1

且OBAC，OBAC2．

2

由OP2OB2PB2知POOB．

由OPOB,OPAC知PO平面ABC．

uuur

（2）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz．

uuur

由已知得取平面PAC的法向量OB(2,0,0)．

uuur

設(shè)M(a,2a,0)(0a2)，則AM(a,4a,0)．

設(shè)平面PAM的法向量為n(x,y,z)．

uuuruuur2y23z0

由APn0,AMn0得，可取n(3(a4),3a,a)，

ax(4a)y0

uuur23(a4)

所以cosOB,n．

23(a4)23a2a2

uuur3

由已知可得|cosOB,n|．

2

23|a4|34

所以=．解得a4（舍去），a．

23(a4)23a2a223

83434

所以n(,,)．

333

uuuruuur3

又PC(0,2,23)，所以cosPC,n．

4

3

所以PC與平面PAM所成角的正弦值為．

4

21．解：

（1）當(dāng)a1時，f(x)1等價于(x21)ex10．

設(shè)函數(shù)g(x)(x21)ex1，則g'(x)(x22x1)ex(x1)2ex．

當(dāng)x1時，g'(x)0，所以g(x)在(0,)單調(diào)遞減．

而g(0)0，故當(dāng)x0時，g(x)0，即f(x)1．

（2）設(shè)函數(shù)h(x)1ax2ex．

f(x)在(0,)只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,)只有一個零點．

（i）當(dāng)a0時，h(x)0，h(x)沒有零點；

（ii）當(dāng)a0時，h'(x)ax(x2)ex．

當(dāng)x(0,2)時，h'(x)0；當(dāng)x(2,)時，h'(x)0．

所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,)單調(diào)遞增．

4a

故h(2)1是h(x)在[0,)的最小值．

e2

e2

①若h(2)0，即a，h(x)在(0,)沒有零點；

4

e2

②若h(2)0，即a，h(x)在(0,)只有一個零點；

4

e2

③若h(2)0，即a，由于h(0)1，所以h(x)在(0,2)有一個零點，

4

由（1）知，當(dāng)x0時，exx2，所以

16a316a316a31

h(4a)11110．

e4a(e2a)2(2a)4a

故h(x)在(2,4a)有一個零點，因此