材料力學第十二章壓桿穩(wěn)定第1頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一

第十二章壓桿穩(wěn)定§12–1壓桿穩(wěn)定的概念§12–3臨界應力·歐拉公式的適用范圍§12–2壓桿臨界力的歐拉公式§12–4超過比例極限的臨界應力§12–5壓桿穩(wěn)定的實用計算第2頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一§12–1壓桿穩(wěn)定的概念受壓桿件除了要滿足必要的強度條件之外，還必須能維持原有的平衡狀態(tài)，這就是穩(wěn)定性問題，桿件維持原有的平衡狀態(tài)的能力稱其為穩(wěn)定性。軸向受壓的等截面直桿稱為理想壓桿。干擾力圖示為兩端鉸支的理想壓桿。干擾力去掉后，桿件由微小彎曲回到直線位置，恢復原有的平衡狀態(tài)，稱壓桿直線狀態(tài)的平衡是穩(wěn)定平衡。第3頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一干擾力干擾力去掉后，桿件不能回到直線位置，而繼續(xù)彎曲失去承載能力，稱壓桿直線狀態(tài)的平衡是不穩(wěn)定平衡。干擾力去掉后，桿件在干擾力作用下的微彎位置保持平衡，不再回到直線位置，稱壓桿是隨遇平衡。干擾力第4頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一壓桿于直線狀態(tài)由穩(wěn)定平衡過度到不穩(wěn)定平衡稱為失去穩(wěn)定，或簡稱失穩(wěn)。壓桿處于穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡的臨界狀態(tài)時，其軸向壓力稱為壓桿的臨界力，用Pcr表示之。壓桿工作時決不允許失穩(wěn)。第5頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一§12–2壓桿臨界力的歐拉公式xyl由平衡方程得：（a）撓曲線近似微分方程為（b）將式（a）代入式（b）得（c）令，得微分方程：第6頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一l通解為：由x=0，y=0；得B=0，于是由x=l，y=0；得:若A=0，則y≡0，撓曲線為直線，無意義，只能于是得：由式得：第7頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一此解最小者為壓桿的臨界力，但n=0，Pcr=0，無意義，故取n=1。即這就是兩端鉸支壓桿臨界力的歐拉公式。其它支承壓桿臨界力的歐拉公式與此類似，寫成統(tǒng)一形式：其中

稱為桿的長度系數(shù)。第8頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一桿的長度系數(shù)與桿端約束情況有關，常見桿端約束的長度系數(shù)如下表。ll兩端鉸支一端固定一端自由一端固定一端鉸支兩端固定ll約束情況長度系數(shù)壓桿形狀第9頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一l1.3l1.7l2l（a）（b）（c）【例12-1】直徑、材料相同，而約束不同的圓截面細長壓桿，哪個臨界力最大。解：（d）桿臨界力最大。第10頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一§12–3臨界應力·歐拉公式的適用范圍臨界力除以壓桿橫截面面積，所得應力稱為臨界應力。令，i為截面對中性軸的慣性半徑。引入記號：稱為壓桿的柔度（或長細比）。（a）式改寫為：一、臨界應力第11頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一二、歐拉公式的適用范圍上式為計算壓桿臨界應力的歐拉公式。歐拉公式是根據(jù)撓曲線近似微分方程得到的，而撓曲線近似微分方程是在材料線彈性基礎上建立的，因此歐拉公式中的臨界應力不得超過材料的比例極限，即取cr=P時的柔度值為P，則有第12頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一因此，歐拉公式的適用范圍為式中P是判斷歐拉公式是否適用時柔度的界限值，稱為判別柔度。≥P的壓桿稱為大柔度桿，或細長桿。只有大柔度桿才能用歐拉公式求解。第13頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一【例12-2】圖示壓桿的E=70GPa，P=175MPa。此壓桿是否適用歐拉公式，若能用，臨界力為多少。1.5mPyz10040【解】因≥P，此壓桿為大柔度桿，歐拉公式適用，臨界力為：第14頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一【例12-3】圖示圓截面壓桿，d=100mm，E=200GPa，P=200MPa。試求可用歐拉公式計算臨界力時桿的長度。lPd【解】第15頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一【例12-4】圖示矩形截面壓桿，其約束性質為：在xoz平面內(nèi)為兩端固定；在xoy平面內(nèi)為一端固定，一端自由。已知材料的E=200GPa，P=200MPa。試求此壓桿的臨界力。1mzy2060Pzxo【解】第16頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一1mzy2060Pzxo壓桿將在xoy平面內(nèi)失穩(wěn)，歐拉公式適用。壓桿臨界力為第17頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一§12–4超過比例極限的臨界應力一、超過比例極限后壓桿的臨界應力當≥P時，可用歐拉公式計算壓桿的臨界力和臨界應力，當﹤P時，壓桿的臨界力和臨界應力的計算，目前尚沒有嚴密的理論公式。對于此類壓桿，各國多采用經(jīng)驗公式計算壓桿的臨界力和臨界應力，這里僅介紹比較簡單的直線經(jīng)驗公式。即式中a，b是與材料性質有關的常數(shù)，例如A3鋼，a=304MPa，b=1.12MPa。第18頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一臨界應力必須小于屈服極限，即cr﹤s，當cr=s時，壓桿發(fā)生屈服破壞，屬強度問題。若以s表示對應于cr=s時的柔度，則有二、臨界應力總圖壓桿的臨界應力與柔度的關系曲線，即cr－曲線，稱為臨界應力總圖。第19頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一臨界應力總圖第20頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一§12–5壓桿穩(wěn)定的實用計算可與建立壓桿強度條件類似建立壓桿的穩(wěn)定條件：式中nw為穩(wěn)定安全系數(shù)。將代入上式，得當給出穩(wěn)定安全系數(shù)時，可用上式進行穩(wěn)定計算。若給出壓桿容許應力[]，則第21頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一即或式中稱為穩(wěn)定系數(shù)，或折減系數(shù)。穩(wěn)定系數(shù)與壓桿的材料、柔度有關。各種材料的穩(wěn)定系數(shù)可查表獲得。第22頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一【例12-5】兩端鉸支壓桿，尺寸如圖所示。已知材料的E=200GPa，P=200MPa。直線經(jīng)驗公式為cr=304-1.12(MPa)。若取穩(wěn)定安全系數(shù)nw=3，試確定容許壓力。600P3020zy【解】因﹥P，歐拉公式適用。第23頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一【例12-6】圖示為型號22a的工字鋼壓桿，材料A3鋼。已知壓力P=280kN，容許應力[]=160MPa，試校核壓桿的穩(wěn)定性。4.2mPyz【解】由型鋼表查得22a工字鋼的查表：插分：∴安全第24頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一【例12-7