離散小波變換與框架第一頁，共25頁。其卷積型定義有：(式3-4)即：對于二進(jìn)小波，令a0=2，b0=1．則有：(式3-5)(式3-6)對于a0、b0的選取，依賴于小波母函數(shù)。第二頁，共25頁。我們最為關(guān)切的問題：1.能否由離散小波系數(shù)完全穩(wěn)定地重構(gòu)f(t)?2.對于任意f(t)∈L2(R)，是否能表示為基函數(shù)ψj,k(t)的線性組合？上述兩個問題實質(zhì)上是一個問題的兩個方面，即能否用離散小波系數(shù)將f(t)完全“特征化”。若用數(shù)學(xué)語言來描述，就是能否這樣定義線性變換：使得其正反變換連續(xù)。首先．正變換是連續(xù)的，表明線性變換有界：即：其次．由反變換是連續(xù)的，可得：即：(式3-8)(式3-7)以上兩式表明，將f(t)完全“特征化”意味著ψj,k(t)應(yīng)滿足：(式3-9)由此便引出了L2(R)空間的“框架”概念。第三頁，共25頁。二、框架1、框架定義

定義3.1設(shè),若對于一切，存在常數(shù)0﹤A≤B﹤∞,使得：則稱函數(shù)序列為空間的一個框架。B、A分別稱為此框架的上、下界．A＝B時稱為緊框架。(式3-10)若A=B=1,則為的正交基，則有：(式3-10)也稱為穩(wěn)定性條件。第四頁，共25頁。例3-1：設(shè)，則對于H中的任意向量，有：即：表明是R2空間的緊框架，但不是正交基，因為：線性相關(guān)。第五頁，共25頁。

2、框架算子為便于討論框架，引入框架算子。定義3.2：如果為H空間的一個框架，那么框架算子F定義為H空間向空間的映射，即：(式3-11)因為內(nèi)積運算為線性運算，所以F為線性算子。由框架定義，可知F為有界線性算子，并且有逆算子存在。

記F的伴隨算子(共軛算子)為F*。則按伴隨算子的定義：，，則有：(式3-12)(式3-13)第六頁，共25頁。由F的定義可得：(式3-14)(式3-10)可寫成：令I(lǐng)d為H到H的單位算子，即：Idf=f，上式可寫成：(式3-15)F*F為由H到H的有界線性算子，必有逆算子存在，記逆算子為(F*F)-1它必滿足：(式3-16)因為：按伴隨算子的定義，(F*F)應(yīng)為自伴隨算子，由此可得其逆算子(F*F)-1也為自伴隨算子.證明：第七頁，共25頁。3、對偶框架(1)定義３.3:對于H空間中的一個框架，其算子為F，則定義：稱為的對偶框架(共扼框架)。(式3-17)(2)對偶框架算子定理3.1設(shè)為H空間的一個上、下界為B和A的框架，其框架算子為F，為其對偶框架,則也構(gòu)成H空間的一個框架，其上、下界分別為A-1和B-1，其框架算子滿足：(式3-18a)(式3-18b)(式3-18c)(式3-18d)第八頁，共25頁。證明：由于(F*F)-1是自伴隨算子，以上兩式相等，有：(式3-18a)得證。由內(nèi)積定義：(由伴隨算子定義)第九頁，共25頁。利用式3-16，有：將以上兩式合并，有：上式表明，是H空間的一個框架。記的伴隨算子為：，則由：可得：則定理中(式3-18b)、(式3-18c)、(式3-18d)既可得證。(式3-19)(式3-20)第十頁，共25頁。由(式3-13)：同理：(式3-21)(式3-22)以上兩式就是f的重構(gòu)公式，由<f,φj>重構(gòu)f需要求出框架φj的對偶：

第十一頁，共25頁。需要說明的是：正如前面所述，框架的各元素之間可能是線性相關(guān)的。這樣重構(gòu)f的公式將不惟一。但當(dāng)A＝B＝1時，，可以證明，這時的框架就構(gòu)成一組正交基。則有：(式3-23)(3)對偶框架的計算重構(gòu)f需要求出對偶框架，困難在于：必須計算(F*F)-1的值。在A＝B的緊框架條件下，容易得到：而在一般情況下，卻只能采用近似計算或迭代計算的方法。令：(式3-24)第十二頁，共25頁。則：(式3-25)再由(式3-15)、(式3-15)可知：(式3-26)(式3-27)若B充分接近A，則r<<1，所以||R||充分接近于0。(式3-25)中可忽略Rf項，則有近似公式：(式3-28)第十三頁，共25頁。當(dāng)r不滿足還遠(yuǎn)小于1的條件時，由于||R||<1l，仍可導(dǎo)出一個具有指數(shù)收斂于f的重構(gòu)算法。由(式3-24)可得：則：(式3-29)第十四頁，共25頁。(式3-29)中級數(shù)取N項，有：（將R表達(dá)式代入）(式3-30)最后得到迭代公式(式3-31)第十五頁，共25頁。三、小波框架（本節(jié)定理證明參見《小波十講》）現(xiàn)在我們再回到利用離散小波系數(shù)重構(gòu)原函數(shù)f(t)的問題上來。由框架理論可知，只要尺度和平移參數(shù)皆離散化的分析小波(即式3-2)構(gòu)成L2(R)空間中的一個框架，則由(式3-3)得到的離散小波系數(shù)就可以完全穩(wěn)定地重構(gòu)f(t)。這時我們稱為由母小波生成的小波框架。為使構(gòu)成L2(R)空間的一個框架，框架界為A和B，母小波需滿足以下必要條件和充分條件。(1)必要條件(式3-32)第十六頁，共25頁。(2)充分條件如果選擇和a0，使：(式3-33)并且使：至少像一樣快地衰減，那么存在b*>0,使得對于所有，構(gòu)成一個框架，這時，框架界為：第十七頁，共25頁。(式3-34)上述關(guān)于小波框架對母小波的約束條件，在實際計算中往往很簡單。只要選擇的母小波在時域和頻域上都有適當(dāng)?shù)乃p，那么一定存在a0和b0的某個取值范圍，使構(gòu)成小波框架。事實上，只要：則充分條件的要求將得到滿足。(式3-35)第十八頁，共25頁。按框架理論，由離散小波系數(shù)重構(gòu)f(t)必須利用小波框架的對偶框架，即:(式3-37)(式3-36)因為現(xiàn)在小波框架為二維序列，所以計算量是很大的。在實際計算中經(jīng)常用的方法之一是：通過a0、b0的選取使的框架上、下界B、A盡量接近，這樣就可以按下式重構(gòu):(式3-38)其重構(gòu)誤差決定于B/A，也決定于a0,b0。第十九頁，共25頁。四、Riesz基利用小波框架，可以實現(xiàn)離散小波變換的反變換，只要求出小波框架的對偶框架。在A=B=1時，變?yōu)橐唤M正交基，這時小波系數(shù)間是不相關(guān)的。但在一般情況下，小波系數(shù)間仍保存相關(guān)性。則：(式3-39)上式說明，只要與正交，即：(式3-40)第二十頁，共25頁。Cj,k就是線性無關(guān)的，這時，小波框架也是線性無關(guān)的，否則，Cj,k就是線性相關(guān)的，小波框架也是線性相關(guān)的，小波系數(shù)之間的相關(guān)性增加了計算的負(fù)擔(dān)．滿足(式3-40)的小波與構(gòu)成雙正交小波，使用雙正交小波，不但使小波系數(shù)之間無相關(guān)性，而且還可以使對偶框架可以由一個與對偶的母函數(shù)經(jīng)伸縮、平移變換而生成，從而避免了計算時的選代計算。L2(R)空間中線性無關(guān)的小波框架，就是Riesz基Riesz基定義：

稱{φj}為H空間的Riesz基，如果{φj}滿足以下條件：(1)對于任何f∈H，有唯一aj，使得：(2)存在常數(shù)0<A<B,使得對于任意aj，有：第二十一頁，共25頁。(1)Riesz函數(shù)與Riesz基定義3.4一個母小波φ(t)∈L2(R)稱為一個Riesz函數(shù)(簡稱R-函數(shù))，如果由公式：(式3-41)定義的在下述意義上是L2(R)的一個Riesz基：的線性張成在L2(R)中是稠密的，并且存在正常數(shù)A、B，0<A≤B<∞,使得：(式3-42)對于所有二維雙無限平方可和序列cj,k∈l2(z)成立。第二十二頁，共25頁。定義中“稠密”的等價敘述為L2(R)中的任意函數(shù)f(t)都可以由的線性組合來表示，即：(式3-43)定理3.2是L2(R)中的一組Riesz基的等效條件是構(gòu)成L2(R)中的一個線性無關(guān)小波框架，框架界就是Riesz界。由此定理知，Riesz基等價于線性獨立框架。第二十三頁，共25頁。(2)Riesz小波定義3.5若對于Riesz函數(shù)，存在另一函數(shù)使得按(式3-41)生成的小波是