二次函數(shù)中的存在性問題二次函數(shù)中的存在性問題1.如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=4，OC=3，若拋物線的頂點(diǎn)在BC邊上，且拋物線經(jīng)過(guò)O，A兩點(diǎn)，直線AC交拋物線于點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，是否存在以A，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4：解：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為E，根據(jù)題意OA=4，OC=3，得：E（2，3），設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+3，將A（4，0）坐標(biāo)代入得：0=4a+3，即a=﹣，則拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+3=﹣②當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，如答圖2所示：過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥x軸于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥x軸于點(diǎn)P，可得△ADQ≌△NMP，∴MP=DQ=，NP=AQ=3，將yM=﹣代入拋物線解析式得：﹣=﹣x2+3x，解得：xM=2﹣或xM=2+，∴xN=xM﹣3=﹣﹣1或﹣1，∴N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N有四個(gè)：N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．2．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C（1）求拋物線的函數(shù)解析式．（2）設(shè)點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（3）P是拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），將點(diǎn)A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：，解得：．故函數(shù)解析式為：y=x2+2x．（2）當(dāng)AO為平行四邊形的邊時(shí)，DE∥AO，DE=AO，由A（﹣2，0）知：DE=AO=2，若D在對(duì)稱軸直線x=﹣1左側(cè)，則D橫坐標(biāo)為﹣3，代入拋物線解析式得D1（﹣3，3），若D在對(duì)稱軸直線x=﹣1右側(cè)，則D橫坐標(biāo)為1，代入拋物線解析式得D2（1，3）．綜上可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（﹣3，3）或（1，3）．（3）存在．如圖：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根據(jù)勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，∵BO2+CO2=BC2，∴△BOC是直角三角形，假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，設(shè)P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，①若△AMP∽△BOC，則=，即x+2=3（x2+2x），得：x1=，x2=﹣2（舍去）．當(dāng)x=時(shí)，y=，即P（，），②若△PMA∽△BOC，則=，即：x2+2x=3（x+2），得：x1=3，x2=﹣2（舍去）當(dāng)x=3時(shí)，y=15，即P（3，15）．故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別是P（，）或（3，15）．3.如圖，直線y=2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B的拋物線y=﹣x2+bx+c與直線BC交于點(diǎn)D（3，﹣4）．（1）求直線BD和拋物線的解析式；（2）在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在疑點(diǎn)M，作MN垂直于x軸，垂足為點(diǎn)N，使得以M、O、N為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在直線BD上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PH垂直于x軸，交直線BD于點(diǎn)H，當(dāng)四邊形BOHP是平行四邊形時(shí)，試求動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．8、解答： 解：（1）∵y=2x+2，∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴B（0，2）．當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣1，∴A（﹣1，0）．∵拋物線y=﹣x2+bx+c過(guò)點(diǎn)B（0，2），D（3，﹣4），∴解得：，∴y=﹣x2+x+2；設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，由題意，得，解得：，∴直線BD的解析式為：y=﹣2x+2；（2）存在．如圖1，設(shè)M（a，﹣a2+a+2）．∵M(jìn)N垂直于x軸，∴MN=﹣a2+a+2，ON=a．∵y=﹣2x+2，∴y=0時(shí)，x=1，∴C（1，0），∴OC=1．∵B（0，2），∴OB=2．當(dāng)△BOC∽△MON時(shí)，∴，∴，解得：a1=1，a2=﹣2M（1，2）或（﹣2，﹣4）；如圖2，當(dāng)△BOC∽△ONM時(shí)，，∴，∴a=或，∴M（，）或（，）．∵M(jìn)在第一象限，∴符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），（，）；（3）設(shè)P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）．如圖3，∵四邊形BOHP是平行四邊形，∴BO=PH=2．∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b．∴2=﹣b2+3b∴b1=1，b2=2．當(dāng)b=1時(shí)，P（1，2），當(dāng)b=2時(shí)，P（2，0）∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）或（2，0）．4．如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題；分類討論．分析：首先根據(jù)OA的旋轉(zhuǎn)條件確定B點(diǎn)位置，然后過(guò)B做x軸的垂線，通過(guò)構(gòu)建直角三角形和OB的長(zhǎng)（即OA長(zhǎng)）確定B點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）已知O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．（3）根據(jù)（2）的拋物線解析式，可得到拋物線的對(duì)稱軸，然后先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，而O、B坐標(biāo)已知，可先表示出△OPB三邊的邊長(zhǎng)表達(dá)式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三種情況分類討論，然后分辨是否存在符合條件的P點(diǎn)．解答：解：（1）如圖，過(guò)B點(diǎn)作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×=2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；（2）∵拋物線過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A、B，∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，將A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此拋物線的解析式為y=﹣x2+x（3）存在，如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2，直線x=2與x軸的交點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，y），①若OB=OP，則22+|y|2=42，解得y=±2，當(dāng)y=2時(shí)，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三點(diǎn)在同一直線上，∴y=2不符合題意，舍去，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣2）②若OB=PB，則42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣2），③若OP=BP，則22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣2），綜上所述，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，其坐標(biāo)為（2，﹣2），5．如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣3.0）、C（0，4），點(diǎn)B在拋物線上，CB∥x軸，且AB平分∠CAO．（1）求拋物線的解析式；（2）線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值；（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．10、解答：解：（1）如圖1，∵A（﹣3，0），C（0，4），∴OA=3，OC=4．∵∠AOC=90°，∴AC=5．∵BC∥AO，AB平分∠CAO，∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．∴BC=AC．∴BC=5．∵BC∥AO，BC=5，OC=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，4）．∵A（﹣3.0）、C（0，4）、B（5，4）在拋物線y=ax2+bx+c上，∴解得：∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4．（2）如圖2，設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直線AB上，∴解得：∴直線AB的解析式為y=x+．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（﹣3≤t≤5），則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)也為t．∴yP=t+，yQ=﹣t2+t+4．∴PQ=yQ﹣yP=﹣t2+t+4﹣（t+）=﹣t2+t+4﹣t﹣=﹣t2++=﹣（t2﹣2t﹣15）=﹣[（t﹣1）2﹣16]=﹣（t﹣1）2+．∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，∴當(dāng)t=1時(shí)，PQ取到最大值，最大值為．∴線段PQ的最大值為．（3）①當(dāng)∠BAM=90°時(shí)，如圖3所示．拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣=﹣=．∴xH=xG=xM=．∴yG=×+=．∴GH=．∵∠GHA=∠GAM=90°，∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，∴△AHG∽△MHA．∴．∴=．解得：MH=11．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣11）．②當(dāng)∠ABM=90°時(shí)，如圖4所示．∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，∴BG===．同理：AG=．∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，∴△AGH∽△MGB．∴=．∴=．解得：MG=．∴MH=MG+GH=+=9．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，9）．綜上所述：符合要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，9）和（，﹣11）．角形類6．（2009?崇左）在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（﹣1，0），如圖所示：拋物線y=ax2+ax﹣2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．21教育網(wǎng)（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D；根據(jù)角的互余的關(guān)系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標(biāo)；【來(lái)源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】（2）根據(jù)拋物線過(guò)B點(diǎn)的坐標(biāo)，可得a的值，進(jìn)而可得其解析式；（3）首先假設(shè)存在，分A、C是直角頂點(diǎn)兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案．解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，1）；（4分）（2）拋物線y=ax2+ax﹣2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（﹣3，1），則得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以拋物線的解析式為y=x2+x﹣2；（7分）（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）過(guò)點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得點(diǎn)P1（1，﹣1）；（11分）②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；則過(guò)點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）過(guò)點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得點(diǎn)P2（2，1），（14分）經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P1（1，﹣1）與點(diǎn)P2（2，1）都在拋物線y=x2+x﹣2上．（16分）練習(xí)：1.如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,0），經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)D（-2，-3）.（1）求拋物線的解析式和直線BD解析式；（2）過(guò)x軸上點(diǎn)E（a，0）（E點(diǎn)在B點(diǎn)的右側(cè)）作直線EF∥BD,交拋物線于點(diǎn)F,是否存在實(shí)數(shù)a使四邊形BDFE是平行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2．已知拋物線經(jīng)過(guò)A（2，0）．設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．（1）求b的值，求出點(diǎn)P、點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖，在直線y=x上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；APBxyO（第2題圖）（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)MAPBxyO（第2題圖）4.如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋3與x軸交于點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)A，P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞3），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線PM，交直線AB于點(diǎn)M．（1）求拋物線的解析式；（2）若以AB為直徑的⊙N與直線PM相切，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△APM能否為等腰三角形？若能，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；OAOABxyPM3.已知：如圖一次函數(shù)y＝x＋1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與一次函數(shù)y＝x＋1的圖象交于B、C兩點(diǎn)，