2021-2022學(xué)年山東省青島市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出復(fù)數(shù)及，再利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求解作答.【詳解】依題意，，則，所以.故選：A2．已知圓錐的側(cè)面積（單位：）為，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：cm）是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】利用扇形的面積公式及弧長(zhǎng)公式，結(jié)合圓的周長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面積（單位：）為，所以，解得.所以側(cè)面展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)為.設(shè)圓錐的底面半徑為，則，解得.所以這個(gè)圓錐的底面半徑是.故選：B.3．函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)的處的函數(shù)值的符號(hào)可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，故，故為偶函?shù)，故排除AC.而，故排除D，故選：B.4．已知球與一正方體的各條棱相切，同時(shí)該正方體內(nèi)接于球，則球與球的表面積之比為（

）A．2：3 B．3：2 C． D．【答案】A【分析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，分別求出與正方體的各條棱相切的球的半徑以及正方體外接球的半徑，再求其表面積之比.【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，因?yàn)榍蚺c正方體的各條棱相切，所以球的直徑大小為正方體的面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度，即半徑；正方體內(nèi)接于球，則球的直徑大小為正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度，即半徑；所以球與球的表面積之比為.故選：A.5．在中，已知是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)根，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用韋達(dá)定理，兩角和的正切公式，求得的值，可得的值，從而求得的值．【詳解】由得：或，故，由題有，而，∴，又，∴.故選：C.6．三棱臺(tái)中，，則三棱錐、三棱錐、三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形相似可得出，結(jié)合錐體體積公式可求得，再利用臺(tái)體體積公式可求得結(jié)果.【詳解】在三棱臺(tái)中，，，因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，所以，，因此，，故選：B.7．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式及二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)給定等式，再借助余弦值求角及正弦定理求解作答.【詳解】在中，由得：，整理得，則或，當(dāng)時(shí)，，，是直角三角形，當(dāng)時(shí)，由正弦定理得，因此是等腰三角形，所以是等腰三角形或直角三角形.故選：D8．分別以一個(gè)直角三角形的斜邊、兩條直角邊所在直線(xiàn)為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的三個(gè)幾何體體積分別記為、、，則它們之間一定滿(mǎn)足（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】在直角三角形中，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，利用等面積法可得出，再利用錐體的體積公式計(jì)算可得出、、所滿(mǎn)足的關(guān)系式.【詳解】在直角三角形中，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，如下圖所示：以為直線(xiàn)為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的幾何體的體積記為，以為直線(xiàn)為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的幾何體的體積記為，以為直線(xiàn)為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的幾何體的體積記為，則，，因?yàn)?，則，，所以，，故選：D.二、多選題9．歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天驕，依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B．為純虛數(shù)C． D．復(fù)數(shù)的模為【答案】BD【分析】利用歐拉公式逐項(xiàng)計(jì)算出對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，再判斷作答.【詳解】對(duì)于A(yíng)，，而，因此復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因此為純虛數(shù)，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以復(fù)數(shù)的模為，D正確.故選：BD10．有下列說(shuō)法，其中正確的說(shuō)法為（

）A．若，，則B．兩個(gè)非零向量和，若，則與垂直C．已知，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)或D．已知向量，，若在上的投影向量為（為與向量同向的單位向量），則【答案】BCD【分析】取，可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；設(shè)與垂直的單位向量為，根據(jù)已知條件求出的坐標(biāo)，可判斷C選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，取，則，，則、不一定共線(xiàn)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，兩個(gè)非零向量和，若，則，整理可得，故與垂直，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)與垂直的單位向量為，由題意可得，解得或，所以，與垂直的單位向量的坐標(biāo)或，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，已知向量，，則在上的投影向量為，所以，，解得，D對(duì).故選：BCD.11．已知空間中的平面，直線(xiàn)、、以及點(diǎn)、、、，則以下四個(gè)命題中，不正確的命題是（

）A．在空間中，四邊形滿(mǎn)足，則四邊形是菱形B．若，，則C．若和是異面直線(xiàn)，和是平行直線(xiàn)，則和是異面直線(xiàn)D．若，，，，，，則【答案】ABC【分析】直接判斷四邊形的形狀，可判斷A選項(xiàng)；利用空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，在空間中，四邊形滿(mǎn)足，則四邊形是菱形或空間四邊形，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，，則或，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若和是異面直線(xiàn)，和是平行直線(xiàn)，則、相交或異面，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，，，，則，，又因?yàn)?，，所以，D對(duì).故選：ABC.12．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B．為偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ACD【分析】根據(jù)給定的圖象依次求出，得函數(shù)的解析式，結(jié)合圖象變換求出函數(shù)，再逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】觀(guān)察圖象知，，，則，而，于是，A正確；函數(shù)的周期滿(mǎn)足：，即，解得，又，即有，而，于是，因此，，，，顯然函數(shù)不是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，C正確；當(dāng)時(shí)，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，D正確.故選：ACD三、填空題13．已知向量滿(mǎn)足，且，則與的夾角為_(kāi)________．【答案】##【分析】利用向量垂直的條件及向量的夾角公式即可求解.【詳解】由，得，解得，設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)椋?所以與的夾角為.故答案為：.14．已知，，,，則________．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出角與的范圍，再借助角的變換及差角的正弦公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，因,，則，而，，則，．故答案為：15．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于O點(diǎn)，線(xiàn)段OD上有點(diǎn)M滿(mǎn)足，線(xiàn)段CO上有點(diǎn)N滿(mǎn)足，設(shè)，已知，則_________．【答案】3【分析】由，根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)，用基底表示，由，可得，進(jìn)而用表示，根據(jù)向量基本定理，建立等量關(guān)系，即可求解.【詳解】，，，，，由平面向量基本定理，得，解得，故答案為：3.四、雙空題16．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則周長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)_______，面積的最大值為_(kāi)________．【答案】

【分析】根據(jù)已知條件及正弦定理邊角化，利用兩角和的正弦公式及輔助角公式，然后再利用余弦定理及基本不等式，結(jié)合三角形的周長(zhǎng)公式及三角形的面積公式即可求解.【詳解】由及正弦定理，得,所以,,因?yàn)?，所以，所以，即，于是有，因?yàn)?，所以，所以，?由余弦定理，得,即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以周長(zhǎng)的取值范圍為.因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，,所以當(dāng)時(shí)，面積的最大值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是利用正弦定理邊角化及基本不等式求最值即可.五、解答題17．已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．(1)若∥，求的值；(2)若⊥（＋2），求實(shí)數(shù)k的值；(3)若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)3；(2)k＝；(3)k＜且k≠－6.【分析】（1）解方程1×k－2×＝0即得解；（2）解方程1×＋2×＝0即得解；（3）解不等式1×＋2×k＜0且k≠－6，即得解.【詳解】（1）解：因?yàn)橄蛄浚剑?，2），＝（－3，k），且∥，所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，所以＝＝3．（2）解：因?yàn)椋?＝，且⊥，所以1×＋2×＝0，解得k＝．（3）解：因?yàn)榕c的夾角是鈍角，則＜0且與不共線(xiàn)．即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．18．已知復(fù)數(shù)，其中a是實(shí)數(shù)．(1)若，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若是純虛數(shù)，求【答案】(1)1；(2).【分析】（1）根據(jù)給定的條件，利用復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等求出a的值.（2）利用復(fù)數(shù)除法結(jié)合純虛數(shù)的定義，求出，再利用乘方的周期性求解作答.【詳解】（1）復(fù)數(shù)，則，又a是實(shí)數(shù)，因此，解得，所以實(shí)數(shù)a的值是1.（2）復(fù)數(shù)，，則，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，于是，解得，因此，又，則，即有，所以.19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；(2)若，求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最值作答.（2）將代入求出，再利用二倍角的余弦求解作答.【詳解】（1）依題意，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.（2）因?yàn)?，則由（1）知，，即，所以.20．已知的面積為，且．(1)求角的大小及邊長(zhǎng)的最小值；(2)設(shè)為的中點(diǎn)，且，求邊上的高．【答案】(1)，邊長(zhǎng)的最小值為(2)【分析】（1）直接利用面積公式和向量的數(shù)量積定義，列方程組，消去，可求出，從而可求出角，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求出長(zhǎng)的最小值，（2）由為的中點(diǎn)，得，兩邊平方化簡(jiǎn)可得，再利用余弦定理可求出，然后由面積公式可求得結(jié)果【詳解】（1）因?yàn)榈拿娣e為，且，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，由余弦定理得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，得，所以，所以的最小值為，（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，，所以，得，由余弦定理得，，所以，設(shè)邊上的高為因?yàn)榈拿娣e為，所以，，得，所以邊上的高為21．“方艙醫(yī)院”原為解放軍野戰(zhàn)機(jī)動(dòng)醫(yī)療系統(tǒng)中的一種，是可以移動(dòng)的模塊化衛(wèi)生醫(yī)療平臺(tái)，一般由醫(yī)療功能區(qū)、病房區(qū)等部分構(gòu)成，具有緊急救治、外科處置、臨床檢驗(yàn)等多方面功能．某市有一塊扇形地塊，因疫情所需，當(dāng)?shù)卣F(xiàn)緊急劃撥該地塊為方艙醫(yī)院建設(shè)用地．如圖所示，平行四邊形OMPN區(qū)域擬建成病房區(qū)，陰影區(qū)域擬建成醫(yī)療功能區(qū)，點(diǎn)P在弧AB上，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在線(xiàn)段OA和線(xiàn)段OB上，且米，．記．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)請(qǐng)寫(xiě)出病房區(qū)OMPN的面積S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)為何值時(shí)，S取得最大值．【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）利用正弦定理求出，再利用數(shù)量積的定義求解作答.（2）利用正弦定理用表示出，再利用三角形面積公式、結(jié)合三角恒等變換求解作答.【詳解】（1）四邊形是平行四邊形，在中，，，，由正弦定理得：，即，于是，，所以.（2）四邊形是平行四邊形，在中，，，由正弦定理得：，即，因此，從而，，顯然，因此當(dāng)，即時(shí)，，取得最大值，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值.22．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為a．(1)過(guò)正方體的頂點(diǎn)A，B，截下一個(gè)三棱錐，求正方體剩余部分的體積；(2)若M，N分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，請(qǐng)畫(huà)出過(guò)，M，N三點(diǎn)的平面與正方體表面的交線(xiàn)（保留作圖痕跡，畫(huà)出交線(xiàn)，無(wú)需說(shuō)明理由），并求出交線(xiàn)圍成的多邊形的周長(zhǎng)；(3)設(shè)正方體外接球的球心為O，求三棱錐的體積．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用等體積法求出三棱錐的體積，再用正方體體積減去即可；（2）根據(jù)點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系作出圖形，再利用三角形相似等知識(shí)點(diǎn)則可求出相關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)；（3）根據(jù)（1）中三棱錐的體積以及正方體和正三棱錐