隨機(jī)變量及其類型第1頁/共48頁2.1隨機(jī)變量及其類型2.1.2隨機(jī)變量的分類2.1.3離散型隨機(jī)變量及其分布2.1.4隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.1.1隨機(jī)變量第2頁/共48頁●

用樣本空間的子集，即基本事件的集合來表示隨機(jī)試驗(yàn)的各種結(jié)果，這種表示方式對(duì)全面討論隨機(jī)試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性及數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用存在較大局限。為此，我們將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果量化，即引入隨機(jī)變量的概念。這樣，不僅可以更全面揭示隨機(jī)試驗(yàn)的客觀存在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，而且可使我們用（數(shù)學(xué)分析）微積分的方法來討論隨機(jī)試驗(yàn)。第3頁/共48頁

在隨機(jī)試驗(yàn)中，如果把試驗(yàn)中觀察的對(duì)象與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來，即建立對(duì)應(yīng)關(guān)系X，使其對(duì)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果ω，都有一個(gè)實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，試驗(yàn)的結(jié)果ω實(shí)數(shù)X(ω)對(duì)應(yīng)關(guān)系X

則X的取值隨著試驗(yàn)的重復(fù)而不同，X是一個(gè)變量，且在每次試驗(yàn)中，究竟取什么值事先無法預(yù)知，也就是說X是一個(gè)隨機(jī)取值的變量。由此，我們很自然地稱X為隨機(jī)變量。第4頁/共48頁2.1.1隨機(jī)變量的概念定義2.1

設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，Ω={ω}是試驗(yàn)E的樣本空間，如果對(duì)于

Ω

中的每一個(gè)樣本點(diǎn)ω，有一實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)定義在

Ω

上的實(shí)值函數(shù)X(ω)就稱為隨機(jī)變量。由定義可知，隨機(jī)變量X(ω)是以樣本空間Ω為定義域的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)。第5頁/共48頁有關(guān)隨機(jī)變量定義的幾點(diǎn)說明：(1)隨機(jī)變量X不是自變量的函數(shù)而是樣本點(diǎn)e的函數(shù)，常用大寫字母X、Y、Z或小寫希臘字母、、等表示。(2)隨機(jī)變量X隨著試驗(yàn)結(jié)果而取不同的值，因而在試驗(yàn)結(jié)束之前，只知道其可能的取值范圍，而事先不能預(yù)知它取什么值，對(duì)任意實(shí)數(shù)區(qū)間(a,b)，“a<X<b”的概率是確定的；(3)隨機(jī)變量X(ω)的值域即為其一切可能取值的全體構(gòu)成的集合；(4)引入隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量描述事件，而且事件的討論，可以納入隨機(jī)變量的討論中。第6頁/共48頁

例2.1

一批產(chǎn)品中任意抽取20件作質(zhì)量檢驗(yàn)，作為檢驗(yàn)結(jié)果的合格品的件數(shù)用X表示，則X是隨機(jī)變量。X的一切可能取值為

0，1，2，…，20{X=0}表示事件“抽檢的20件產(chǎn)品中沒有合格品”；

{X=1}表示事件“抽檢的20件產(chǎn)品中恰有1件合格品”；

……{X=k}表示事件“抽檢的20件產(chǎn)品中恰有k件合格品”。第7頁/共48頁例2.2

將一顆骰子投擲兩次，觀察所的點(diǎn)數(shù)，以X表示所得點(diǎn)數(shù)之和，則X的可能取值為2，3，4，…，12，而且{X=2}={(1,1)},{X=3}={(1,2),(2,1)},{X=4}={(1,3),(2,2),(3,1)},……{X=12}={(6,6)}。隨機(jī)變量X的取各個(gè)可能值的概率列于下表：X23456789101112P1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36……P(X=2)=1/36……………P(X=3)=2/36……P(X=4)=3/36…P(X=12)=1/36第8頁/共48頁例2.3

一正整數(shù)n等可能地取1,2,3,…,15共十五個(gè)值，且設(shè)X=X(n)是除得盡n的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，則X是一個(gè)隨機(jī)變量，且有下表：即可得X取各個(gè)可能值的概率為：n123456789101112131415X(n)122324243426244X12346P1/156/152/155/151/15第9頁/共48頁?請(qǐng)舉幾個(gè)實(shí)際中隨機(jī)變量的例子例2.4

一個(gè)地鐵車站，每隔5分鐘有一列地鐵通過該站。一位乘客不知列車通過該站的時(shí)間，他在一個(gè)任意時(shí)刻到達(dá)該站，則他候車的時(shí)間X是一個(gè)隨機(jī)變量，而且X的取值范圍是[0，5]第10頁/共48頁隨機(jī)變量的分類：2.1.2隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量第11頁/共48頁2.1.3離散型隨機(jī)變量

一、離散型隨機(jī)變量及其分布律1、離散型隨機(jī)變量的概念

若某個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值是有限多個(gè)或可列無限多個(gè)，則稱這個(gè)隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。討論隨機(jī)變量的目的是要研究其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，要知道離散型隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律必須且只須知道X的所有可能取值以及X取每一個(gè)可能值的概率。第12頁/共48頁2、分布律

設(shè)離散型隨機(jī)變量X，其所有可能取值為x1,x2,…,xk,…,且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pk,…,即則稱P(X=xk)=pk(k=1,2,…)為隨機(jī)變量X的概率分布律，簡(jiǎn)稱分布律。分布律可用表格形式表示為：P(X=xk)=pk,(k=1,2,…)而且滿足（1）P(X=xk)=pk≥0，(k=1,2,…)（2）Xx1x2x3…xk…Pp1p2p3…pk…第13頁/共48頁例2.5

設(shè)袋中有5只球，其中有2只白球，3只黑球?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解X=k的所有可能取值為0，1，2X是一個(gè)隨機(jī)變量第14頁/共48頁解

設(shè)Ai

第i次射擊時(shí)命中目標(biāo)，i=1,2,3,4,5則A1,A2，…，A5相互獨(dú)立，且P(Ai)=p,i=1,2,…,5。SX={0,1,2,3,4,5},例2.6

某射手對(duì)目標(biāo)獨(dú)立射擊5次，每次命中目標(biāo)的概率為p，以X表示命中目標(biāo)的次數(shù)，求X的分布律。第15頁/共48頁二、幾個(gè)常用的離散型隨機(jī)變量的概率分布律1、(0-1)分布若隨機(jī)變量X的分布律為：P(X=k)=pk(1-p)1-k，k=0，1，(0<p<1)則稱X服從以p為參數(shù)的0-1分布，記為X~B(1,p)。0-1分布的分布律也可寫成X10Pp1-p即隨機(jī)變量只可能取0，1兩個(gè)值，且取1的概率為p，取0的概率為1-p(0<p<1)，亦即P(X=1)=p，P(X=0)=1-p。第16頁/共48頁

若某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，如產(chǎn)品是否合格，試驗(yàn)是否成功，擲硬幣是否出現(xiàn)正面等等，它們的樣本空間為Ω={ω1,ω2},我們總能定義一個(gè)服從0-1分布的隨機(jī)變量即它們都可用0-1分布來描述，只不過對(duì)不同的問題參數(shù)p的值不同而已。第17頁/共48頁2、二項(xiàng)分布(1)貝努里(Bernoulli)試驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)滿足：1°在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)；2°每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；3°在每次試驗(yàn)中，A發(fā)生的概率均一樣，即P(A)=p；4°各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，則稱這種試驗(yàn)為貝努里概型或n重貝努里試驗(yàn)。在n重貝努里試驗(yàn)中，人們感興趣的是事件A發(fā)生的次數(shù)。第18頁/共48頁

以隨機(jī)變量X表示n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，X可能取值為0,1,2,3,…,n。設(shè)每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為p，發(fā)生的概率為1-p=q。(X=k)表示事件“n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)k次”，即這里每一項(xiàng)表示k次試驗(yàn)中出現(xiàn)A，而另外n-k次試驗(yàn)中出現(xiàn)，且每一項(xiàng)兩兩互不相容，一共有Cnk項(xiàng)。由4°獨(dú)立性可知每一項(xiàng)的概率均為pk(1-p)1-k，因此此為n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)k次的概率計(jì)算公式，記為第19頁/共48頁（2）二項(xiàng)分布定義若隨機(jī)變量X具有概率分布律其中p+q=1，則稱隨機(jī)變量X服從以n，p為參數(shù)的二項(xiàng)分布，記為X~B(n,p)（或稱貝努里分布）?？梢宰C明：

正好是二項(xiàng)式(p+q)n展開式的一般項(xiàng)，故稱二項(xiàng)分布。特別地，當(dāng)n=1時(shí)P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即為0-1分布。第20頁/共48頁例2.7

設(shè)有一大批產(chǎn)品，其次品率為0.002。今從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽查100件，試求所得次品件數(shù)的概率分布律。解

（視作放回抽樣檢驗(yàn)）設(shè)(X=k)表示事件“100件產(chǎn)品中有k件次品”，則X可能取值為0，1，2，…，100。本題可視作100重貝努里試驗(yàn)中恰有k次發(fā)生(k件次品)，X~B(100,0.002)。因此，所求分布律為第21頁/共48頁例2.8

某廠長有7個(gè)顧問，假定每個(gè)顧問貢獻(xiàn)正確意見的概率室0.6，且設(shè)顧問與顧問之間是否貢獻(xiàn)正確意見相互獨(dú)立。現(xiàn)對(duì)某事可行與否個(gè)別征求各顧問的意見，并按多數(shù)顧問的意見作出決策，試求作出正確決策的概率。解

設(shè)X=k表示事件“7個(gè)顧問中貢獻(xiàn)正確意見的人數(shù)”，則X可能取值為0，1，2，…，7。X~B(7,0.6)。因此X的分布律為所求概率為第22頁/共48頁例2.9

從某大學(xué)到火車站途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立,并且遇到紅燈的概率都是1/3。(1)設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律；(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率。解

(1)由題意，X~B(6,1/3)，故X的分布律為：第23頁/共48頁例2.10

某人獨(dú)立地射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，射擊400次，求至少擊中目標(biāo)兩次的概率。解

每次射擊看成一次試驗(yàn)，設(shè)擊中次數(shù)為X，則X的分布律為

X~B(400,0.02)，所求概率為

第24頁/共48頁

泊松(Poisson)定理

設(shè)>0，n是正整數(shù)，若npn=，則對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有

即當(dāng)隨機(jī)變量X~B(n,p)，(n＝0,1,2,…)，且n很大，p很小時(shí)，記=np，則第25頁/共48頁例2.10可用泊松定理計(jì)算。取

=np=400×0.02＝8,

近似地有P(X2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)≈1－(1＋8)e－8＝0.996981

第26頁/共48頁3、泊松(Poisson)分布

若隨機(jī)變量X所有可能取值為0,1,2,…，且其中>0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X~P()。第27頁/共48頁

泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布。第28頁/共48頁例2.11

某商店出售某種商品，具歷史記錄分析，每月銷售量服從參數(shù)=5的泊松分布。問在月初進(jìn)貨時(shí)，要庫存多少件此種商品，才能以0.999的概率充分滿足顧客的需要？解用X表示每月銷量，則X~P()=P(5)。由題意，要求k，使得P(X≤k)≥0.999，即這里的計(jì)算通過查Poisson分布表(p.333-334)得到，=5

i=k+1=14時(shí),i=k+1=13時(shí),k+1=14，k=13即月初進(jìn)貨庫存要13件。第29頁/共48頁例2.12

設(shè)某國每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一對(duì)夫婦有不超過1個(gè)孩子的概率為3e-2。求任選一對(duì)夫婦,至少有3個(gè)孩子的概率。 解

由題意第30頁/共48頁4、幾何分布

設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值是1,2,3,…,且P(X=k)=(1-p)k-1p=qk-1p，k=1，2，3，…,其中0<p<1是參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布。幾何分布背景：

隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果只有2種，A與試驗(yàn)進(jìn)行到A發(fā)生為止的概率P(X=k)，即k次試驗(yàn)，前k-1次失敗，第k次成功。第31頁/共48頁例2.13

進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為p，令X表示直到出現(xiàn)第m次成功為止所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。解

m=1時(shí),m>1時(shí)，X的全部取值為：m,m+1,m+2,…P(X=m+1)=P(第m+1次試驗(yàn)時(shí)成功，并且

在前m次試驗(yàn)中成功了m-1次)第32頁/共48頁2.1.4隨機(jī)變量的分布函數(shù)

離散型隨機(jī)變量可用分布律來完整地描述，而對(duì)于非離散型隨機(jī)變量則難以實(shí)現(xiàn).由于許多隨機(jī)變量的概率分布情況不能以其取某個(gè)值的概率來表示，因此我們往往關(guān)心隨機(jī)變量X取值落在某區(qū)間(a,b]上的概率(a≤b).

由于{a<x≤b}={x≤b}-{x≤a},(a≤b)，因此對(duì)任意x∈R，只要知道事件{X≤x}發(fā)生的概率，則X落在(a,b]的概率就立刻可得。因此我們用P{X≤x}來討論隨機(jī)變量X的概率分布情況。P{X≤x}：“隨機(jī)變量X取值不超過x的概率”.第33頁/共48頁

定義設(shè)X是一隨機(jī)變量，x為實(shí)變量,則實(shí)值函數(shù)F(x)＝P{Xx}，x∈(-∞，+∞)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。有了分布函數(shù)定義，任意x1，x2∈R，x1＜x2，隨機(jī)變量X落在(x1,x2]里的概率可用分布函數(shù)來計(jì)算：P{x1<Xx2}＝P{Xx2}－P{Xx1}＝F(x2)－F(x1).

在這個(gè)意義上可以說，分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，或者說，分布函數(shù)完整地表示了隨機(jī)變量的概率分布情況。一、分布函數(shù)的概念第34頁/共48頁例2.14

設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過3盞信號(hào)燈。每盞信號(hào)燈以概率1/2允許汽車通過或禁止汽車通過。以X表示汽車首次停下時(shí)，它已通過的信號(hào)燈的盞數(shù)(各信號(hào)燈工作相互獨(dú)立)。求X的分布律、分布函數(shù)以及概率解

設(shè)p為每盞信號(hào)燈禁止汽車通過的概率，則

P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X的分布律為：X0123P1/21/41/81/8X的分布函數(shù)：第35頁/共48頁所求概率為一般地，X是離散型隨機(jī)變量，其概率分布律為P(X=xk)=pk,(k=1,2,…)則X的分布函數(shù)F(x)為

F(x)的圖像：非降，右連續(xù)，且在x1，x2，…，xk，…處跳躍。第36頁/共48頁二、分布函數(shù)的性質(zhì)

1、單調(diào)不減性：若x1<x2,

則F(x1)F(x2)；

2、歸一性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，0F(x)1，且

3、右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，

反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。第37頁/共48頁

事件(X=c)并非不可能事件，它是會(huì)發(fā)生的，也就是說零概率事件也是有可能發(fā)生的。如X為被測(cè)燈泡的壽命。若燈泡壽命都在1000小時(shí)以上，而P(X=1000)=0，但事件(X=1000)是一定會(huì)發(fā)生的，否則不會(huì)出現(xiàn)事件(X>1000)，所以

不可能事件的概率為零，但概率為零的事件不一定是不可能事件。同樣，必然事件的概率為1，但概率為1的事件不一定是必然事件。第38頁/共48頁例2.15

設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如下表解

X012P0.10.60.3試求出X的分布函數(shù)。第39頁/共48頁例2.16

向[0,1]區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)。假定質(zhì)點(diǎn)落在[0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比，求X的分布函數(shù)。解

F(x)=P(X≤x)

當(dāng)x<0時(shí),F(x)=0;當(dāng)x>1時(shí),F(x)=1當(dāng)0≤x≤1時(shí),特別,F(1)=P(0≤x≤1)=