高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：定積分與微積分基本定理

知識網(wǎng)絡(luò)

目標(biāo)認知

考試大綱要求：

了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念及其基本定理。

重點：

正確計算定積分，利用定積分求面積。

難點：

正確計算定積分，利用定積分求面積。

知識要點梳理

知識點一：定積分的概念

定積分的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點，作和式，當(dāng)時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分.記作，即＝，這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.

說明：

（1）定積分的值是一個常數(shù)，可正、可負、可為零；

（2）用定義求定積分的四個基本步驟：①分割；②近似代替；③求和；④取極限.

知識點二：定積分的性質(zhì)

（1）（為常數(shù)），

（2），

（3）（其中），

（4）利用函數(shù)的奇偶性求積分：

若函數(shù)在區(qū)間上是奇函數(shù)，則；

若函數(shù)在區(qū)間上是偶函數(shù)，則.

知識點三：微積分基本定理

如果，且在上連續(xù)，則,其中叫做的一個原函數(shù).由于也是的原函數(shù)，其中c為常數(shù).

一般地，原函數(shù)在上的改變量簡記作.因此，微積分基本定理可以寫成形式：.

說明：求定積分主要是要找到被積函數(shù)的原函數(shù)，也就是說，要找到一個函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)等于被積函數(shù).由此，求導(dǎo)運算與求原函數(shù)運算互為逆運算.

知識點四：定積分的幾何意義

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).

在上，當(dāng)時，定積分在幾何上表示由曲線以及直線與軸圍成的曲邊梯形的面積；如圖（1）所示.

在上，當(dāng)時，由曲線以及直線與軸圍成的曲邊梯形位于軸下方，定積分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值；

在上，當(dāng)既取正值又取負值時，定積分的幾何意義是曲線，兩條直線與軸所圍成的各部分面積的代數(shù)和.在軸上方的面積積分時取正號，在軸下方的面積積分時，取負號.如圖（2）所示.

知識點五：應(yīng)用

（一）應(yīng)用定積分求曲邊梯形的面積

1.如圖，由三條直線，，軸（即直線）及一條曲線

()圍成的曲邊梯形的面積：；

2.如圖，由三條直線，，軸（即直線）及一條曲線()圍成的曲邊梯形的面積：；

3.如圖，由曲線及直線，圍成圖形的面積公式為：.

4.利用定積分求平面圖形面積的步驟：

（1）畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖像；

（2）借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標(biāo)，確定積分的上、下限；

（3）寫出定積分表達式；

（4）求出平面圖形的面積.

（二）利用定積分解決物理問題

①變速直線運動的路程

作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程，等于其速度函數(shù)在時間區(qū)間上的定積

分，即.

②變力作功

物體在變力的作用下做直線運動，并且物體沿著與相同的方向從移動到

，那么變力所作的功.

規(guī)律方法指導(dǎo)

1.要正確理解定積分的概念，掌握其幾何意義，從而解決實際問題；

2.要正確計算定積分，需非常熟悉導(dǎo)數(shù)的運算。鞏固2．(原創(chuàng)題)用S表示圖中陰影部分的面積，則S的值是()A．eq\i\in(a,c,)f(x)dxB．|eq\i\in(a,c,)f(x)dx|C．eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋eq\i\in(b,c,)f(x)dxD．eq\i\in(b,c,)f(x)dx－eq\i\in(a,b,)f(x)dx解析：選D.由定積分的幾何意義知選項D正確．3．設(shè)函數(shù)f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x＋1，則eq\i\in(1,2,)f(－x)dx的值等于()A.eq\f(5,6)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,6)解析：選A.由于f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是eq\i\in(1,2,)f(－x)dx＝eq\i\in(1,2,)(x2－x)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－\f(1,2)x2))))eq\o\al(2,1)＝eq\f(5,6).4．若等比數(shù)列{an}的首項為eq\f(2,3)，且a4＝eq\i\in(1,4,)(1＋2x)dx，則公比等于________．解析：本題考查定積分運算及等比數(shù)列基本量的求解．由已知得a4＝(x＋x2)|eq\o\al(4,1)＝18，故q3＝eq\f(18,\f(2,3))＝27?q＝3.答案：35.已知函數(shù)f(x)＝3x2＋2x＋1，若eq\i\in(-1,1,)f(x)dx＝2f(a)成立，則a＝________.解析：eq\i\in(-1,1,)(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|eq\o\al(1,-1)＝4，所以2(3a2＋2a＋1)＝4，即3a2＋解得a＝－1或a＝eq\f(1,3).答案：－1或eq\f(1,3)6．設(shè)y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個相等的實根，且f′(x)＝2x－2.(1)求y＝f(x)的表達式；(2)求y＝f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積．解：(1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b.又f′(x)＝2x－2，所以a＝1，b＝－2，即f(x)＝x2－2x＋c.又方程f(x)＝0有兩個相等實根，所以Δ＝4－4c＝0，即c故f(x)＝x2－2x＋1.(2)依題意，所求面積為S＝eq\i\in(0,1,)(x2－2x＋1)dx＝(eq\f(1,3)x3－x2＋x)|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3).練習(xí)1．已知f(x)為偶函數(shù)且eq\i\in(0,6,)f(x)dx＝8，則eq\i\in(-6,6,)f(x)dx等于()A．0B．4C．8D．16解析：選D.原式＝eq\i\in(-6,0,)f(x)dx＋eq\i\in(0,6,)f(x)dx，∵原函數(shù)為偶函數(shù)，∴在y軸兩側(cè)的圖象對稱．∴對應(yīng)的面積相等．故選D.2．函數(shù)y＝eq\i\in(-x,x,)(cost＋t2＋2)dt(x>0)()A．是奇函數(shù)B．是偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．以上都不正確解析：選A.y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sint＋\f(t3,3)＋2t))|eq\o\al(x,-x)＝2sinx＋eq\f(2x3,3)＋4x，為奇函數(shù)．3．一物體的下落速度為v(t)＝9.8t＋6.5(單位：米/秒)，則下落后第二個4秒內(nèi)經(jīng)過的路程是()A．249米B．261.2米C．310.3米D．450米解析：選B.所求路程為eq\i\in(4,8,)(9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)|eq\o\al(8,4)＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2(米)．4．由直線x＝eq\f(1,2)，x＝2，曲線y＝eq\f(1,x)及x軸所圍成圖形的面積為()A.eq\f(15,4)B.eq\f(17,4)C.eq\f(1,2)ln2D．2ln25．若a＝eq\i\in(0,2,)x2dx，b＝eq\i\in(0,2,)x3dx，c＝eq\i\in(0,2,)sinxdx，則a、b、c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<c<bB．a(chǎn)<b<cC．c<b<aD．c<a<b解析：選D.a＝eq\i\in(0,2,)x2dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(2,0)＝eq\f(8,3)，b＝eq\i\in(0,2,)x3dx＝eq\f(1,4)x4|eq\o\al(2,0)4，c＝eq\i\in(0,2,)sinxdx＝－cosx|eq\o\al(2,0)＝1－cos2，因為1<1－cos2<2，所以c<a<b.6．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1(－1≤x<0),cosx(0≤x≤\f(π,2))))的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為()A.eq\f(3,2)B．1C．2D.eq\f(1,2)解析：選A.作出圖象可知：S＝eq\i\in(-1,0,)－1(x＋1)dx＋eq\i\in(0,eq\f(π,2),)cosxdx＝8．eq\i\in(-a,a,)(2x－1)dx＝－8，則a＝________.解析：eq\i\in(-a,a,)(2x－1)dx＝(x2－x)|eq\o\al(a,-a)＝a2－a－[(－a)2－(－a)]＝a2－a－a2－a＝－2a＝－8，∴a＝4.答案：49．如果eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝1，eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝－1，則eq\i\in(1,2,)f(x)dx＝________.解析：∵eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)f(x)dx＋eq\i\in(1,2,)f(x)dx，∴eq\i\in(1,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,2,)f(x)dx－eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝－1－1＝－2.答案：－210.設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≤0，,x2＋6，x>0.))求eq\i\in(-1,1,)f(x)dx.解：eq\i\in(-1,1,)f(x)dx＝eq\i\in(-1,0,)f(x)dx＋eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\i\in(-1,0,)(x－1)dx＋eq\i\in(0,1,)(x2＋6)dx＝(eq\f(1,2)x2－x)|eq\o\al(0,-1)＋(eq\f(1,3)x3＋6x)|eq\o\al(1,0)＝－(eq\f(1,2)＋1)＋eq\f(1,3)＋6＝eq\f(29,6).11．如圖，設(shè)點P從原點沿曲線y＝x2向點A(2,4)移動，記直線OP、曲線y＝x2及直線x＝2所圍成的面積分別記為S1，S2，若S1＝S2，求點P的坐標(biāo)．解：設(shè)直線OP的方程為y＝kx，P點的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\i\in(0,x,)(kx－x2)dx＝eq\i\in(x,2,)(x2－kx)dx，即(eq\f(1,2)kx2－eq\f(1,3)x3)|eq\o\al(x,0)＝(eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)kx2)|eq\o\al(2,x)，解得eq\f(1,2)kx2－eq\f(1,3)x3＝eq\f(8,3)－2k－(eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)kx2)，解得k＝eq\f(4,3)，即直線OP的方程為y＝eq\f(4,3)x，所以點P的坐標(biāo)為(eq\f(4,3)，eq\f(16,9))．12．已知f(x)為二次函數(shù)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝－2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值與最小值．解：(1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b.由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al