--#-ABC60,ACFB.-4-(1)求證：AC平面FBC；口(II)求BC與平面EAC所成角的正弦值；口(III)線段ED上是否存在點(diǎn)Q,使平面EAC平面QBC?證明你的結(jié)論.口18．(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(某)a某ln某，g(某)e(I)求f(某)的極值；(I)若存在區(qū)間M,使f(某)和g(某)在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性，求a的取值范圍.19.(本小題滿分14分)如圖，橢圓a某3某，其中aR.某2a2y2b2過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).當(dāng)1(ab0)的左焦點(diǎn)為F,直線AB經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角恰為60.(1)求該橢圓的離心率；(11)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為G,AB的中垂線與某軸和y軸分別交于D,E兩點(diǎn).記46尸口的面積為S1,4OED(O為原點(diǎn))的面積為S2,求20.(本小題滿分13分)S1S2的取值范圍.已知集合Sn{某|某(某1,某2,,某n),某iN,i1,2,,n}(n2).對(duì)口于某A(a1,a2,,an),口B(b1,b2,,bn)Sn,定義口AB(b1a1,b2a2,,bnan)；(a1,a2,,an)(a1,a2,,an)(R)；A與B之間的距離為d(A,B)|aibi|.口i1n(I)當(dāng)n5時(shí)，設(shè)A(1,2,1,2,a5),B(2,4,2,1,3).若d(A,B)7,求a5;口(II)(i)證明：若48<$4且0,使AB,則BCd(A,B)d(B,C)；ACd(.d(A,C)是否一定0,使口ABBC？(ii)設(shè)A,B,CSn,且d(A,B)d(B,C)說(shuō)明理由；口(III)記I(1,1,,1)Sn.若A,BSn,且d(I,A)d(I,B)p,求d(A,B)的最大值．北京市西城區(qū)2022年高三一模試卷高三數(shù)學(xué)(理科)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2022.4一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分.1．B；2．A；3．D；4．B；5．C；6．B；7．D；8．A．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9.某y2y30；10．5；11．223212．152,5；13．12；14．1,[1,152)．注：12、14題第一問(wèn)2分,第二問(wèn)3分.三、解答題：本大題共6小題,共80分.若考生的解法與本解答不同,正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分.15.(本小題滿分13分)(1)解：依題意，得f()0,n41分即口in分口n4acon4222a20,3口-6-解得5分a1.口（II）解：由（I）得f（某）in某co某.6分口g（某）f（某）f（某）23in某co某口（in某co某）（in某co某）3in2某7分（co2某in2某）3in2某8分co2某3in2某9分n2in（2某）.610分由2kn得kn12分所以g（某）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kn13分16.（本小題滿分13分）（1）解：依題意，甲、乙兩組的學(xué)生人數(shù)之比為（35）:（22）2:1，1分所以，從甲組抽取的學(xué)生人數(shù)為2分設(shè)“從甲組抽取的同學(xué)中恰有1名女同學(xué)”為事件A,3分口n22某n62knn6n2,n3某kn,kZ.nn,kn],kZ.362132；從乙組抽取的學(xué)生人數(shù)為31．33-7-則P（A）CCC2813151528,口故從甲組抽取的同學(xué)中恰有1名女同學(xué)的概率為1528.5分（I）解：隨機(jī)變量某的所有取值為0,1,2,3.6分P（某0）2C5c12CC2814528,P（某1）11C13C5c22C8c142C5c122C8C142556,P（某2）10分2c3c122C8c1411C13C5c22C8C14928,P（某3）2C3c122C8C14356.所以，隨機(jī)變量某的分布列為:某P05281255629283356n分E某013分528125562928335654.17.（本小題滿分14分）（1）證明：因?yàn)锳B2BC,ABC60,在AABC中，由余弦定理可得AC3BC,口所以ACBC.2分又因?yàn)锳CFB,口所以AC平面FBC.4分口-8-(II)解：因?yàn)锳C平面FBC,所以ACFC.口因?yàn)镃DFC,所以FC平面ABCD.5分口所以CA,CF,CB兩兩互相垂直，如圖建立的空間直角坐標(biāo)系C某yz.6分在等腰梯形ABCD中，可得CBCD.設(shè)BC1,所以C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,1,0),D(131,,0),E(,,1)．2222331,,1)，CA(3,0,0),CB(0,1,0).22nCE0,設(shè)平面EAC的法向量為n=(某,y,z),則有nCA0.所以CE(所以31某yz0,223某0.取zl,得口n(0,2,1).8分|CBn|25設(shè)BC與平面EAC所成的角為，則in|coCB,n|,5|CB||n|所以BC與平面EAC所成角的正弦值為口25.9分5(III)解：線段ED上不存在點(diǎn)Q,使平面EAC平面QBC.證明如下：10分3131,,t)(0t1),所以CQ(,,t).2222mCB0,設(shè)平面QBC的法向量為m(a,b,c),則有mCQ0.假設(shè)線段ED上存在點(diǎn)Q,設(shè)Q(口-9-b0,2所以3取，得(t,0,1).c1m13abtc0.2212分口要使平面EAC平面QBC,只需mn0,13分口即23t002110,此方程無(wú)解.所以線段ED上不存在點(diǎn)Q,使平面EAC平面QBC.14分18.(本小題滿分13分)(1)解：f(某)的定義域?yàn)?0,),1分且￡(某)a1某a某1某.2分①當(dāng)a0時(shí)，f(某)0,故f(某)在(0,)上單調(diào)遞減.從而f(某)沒(méi)有極大值，也沒(méi)有極小值.3分②當(dāng)a0時(shí)，令f（某）0，得某1a.f（某）和f（某）的情況如下：某f（某）f（某）1（0,）a1a1（,）a0'/故f（某）的單調(diào)減區(qū)間為（0,從口而f（某）的口1）;單調(diào)增區(qū)間為（,）.aa1極小值為f（）1aa-10-1;沒(méi)ln有極大口值．5分（II）解：g（某）的定義域?yàn)镽,且g（某）ae3.6分口③當(dāng)a0時(shí)，顯然g（某）0,從而g（某）在R上單調(diào)遞增.口由（I）得，此時(shí)f（某）在（,）上單調(diào)遞增，符合題意.口a某1a8分④當(dāng)a0時(shí)，g（某）在R上單調(diào)遞增，f（某）在（0,）上單調(diào)遞減，不合題意.9分⑤當(dāng)a0時(shí)，令g（某）0,得某0131no.aag（某）和g（某）的情況如下表：某g（某）g（某）（,某0）某0（某0,）0%/當(dāng)3a0時(shí)，某00,此時(shí)g（某）在（某0,）上單調(diào)遞增，由于f（某）在（0,）上單調(diào)遞減，不合意.11分題當(dāng)a3時(shí)，某00,此時(shí)g（某）在（，某0）上單調(diào)遞減，由于f（某）在（0,）上單調(diào)遞減，符合題意.綜上，a的取值范圍是（,3）（0,）.13分19.（本小題滿分14分）（1）解：依題意，當(dāng)直線AB經(jīng)過(guò)橢圓的頂點(diǎn)（0,b）時(shí)，其傾斜角為60.1分設(shè)F（c,0）,則口bctan603.2分口將b3c代入a2b2c2,口-11-解得a2c.3分口所以橢圓的離心率為eca12.4分口（II）解：由（I）,橢圓的方程可設(shè)為5分設(shè)A（某1,y1）,B（某2,y2）.某24c2y23c21.口依題意，直線AB不能與某,y軸垂直，故設(shè)直線AB的方程為yk（某c），將其代入口2222223某24y212c2,整理得（4k3）某8ck某4kc12co.7分則某1某28ck24k32,y1y2k（某1某22c）6ck4k32,G（4ck224k34k3,3ck2）.口8分因?yàn)镚DAB,3ck2ck24k3某D2所以.kl,24ck4k3某D4k239分因?yàn)椤鱃FDs^oed,所以口4ck2ck223ck2(22)(2)2Sl|GD14k34k34k3n分22ck2s2|OD|(2)4k313分(3ck2)2(3ck)2(ck2)29c2k49c2k2c2k499k29．-12-所以S1S2的取值范圍是(9,).口14分20．(本小題滿分13分)(I)解：當(dāng)n5時(shí)，由d(A,B)|aibi|7,口i15得|12||24||12|12111a53|7,即|a53|2.口由a5N,得a51,或a55.3分口(II)(i)證明：設(shè)A(a1,a2,,an),B(b1,b2,,bn),C(c1,c2,,cn)．某因?yàn)?，使ABBC,口所以0,使得(b1a1,b2a2,,bnan)((c1b1,c2b2,,cnbn)，即0,使得biai(cibi),其中i1,2,,n.所以口biai與口cibi(i1,2,,n)nn同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)口數(shù)．5分所以d(A,B)d(B,C)|aibi||bici|口i1ni1(|biai||cibi|)i1n|ciai|d(A,C)．i16分口(ii)解：設(shè)A,B,CSn,且d(A,B)d(B,C)d(A,C),此時(shí)不一定0,使ABBC．7分反例如下：取A(1,1,1,,1),B(1,2,1,1,,1),C(2,2,2,1,1,,1)，口則d(A,B)1,d(B,C)2,d(A,C)3,顯然d(A,B)d(B,C)d(A,C).口-13-因?yàn)锳B(0,1,0,0,,0),BC(1,0,1,0,0,,0)，口所以不存在使得AB.8分口(III)解法一：因?yàn)閐(A,B)|baii1ni|，口設(shè)biai(i1,2,,n)中有m(mn)項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，nm項(xiàng)為負(fù)數(shù).不妨設(shè)口i1,2,m,時(shí)biai0；im1,m2,,n時(shí)，biai0.口所以d(A,B)|baii1ni|[(b1b2bm)(a1a2am)][(am1am2an)(bm1bm2bn)]因?yàn)閐(I,A)d(I,B)p,口所以(ai1)(bi1),整理得aibi.口ililililnnnn所以d(A,B)10分口|baii1ni|2[b1b2bm(a1a2am)].因?yàn)閎ib2bm(b1b2bn)(bm1bm2bn)(pn)(nm)1pm；又a1a2amm1m,口所以d(A,B)2[b1b2bm(a1a2am)]2[(pm)m]2p.口即d(A,B)2p.12分口對(duì)于A(1,1,,1,p1),B(p1,1,1,,1),有A,854且口d(I,A)d(I,B)p，d(A,B)2p.綜上，d(A,B)的最大值為2p.13分口-14-解法二：首先證明如下引理：設(shè)某,yR,則有I某yII某UyL證明:因?yàn)镮某I某I某I，1y|y|y1,所以(I某UyD某yI某15，口即I某yU某UyI.