第六章連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)第1頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)都是連續(xù)體，它們具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，因而又稱連續(xù)系統(tǒng)或分布參數(shù)系統(tǒng)。由于確定連續(xù)體上無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)的位置需要無(wú)限多個(gè)坐標(biāo)，因此連續(xù)體是具有無(wú)限多自由度的系統(tǒng)。連續(xù)體的振動(dòng)要用時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來(lái)描述，其運(yùn)動(dòng)方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是二階常微分方程組，它是偏微分方程。在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒(méi)有什么差別，連續(xù)體振動(dòng)的基本概念與分析方法與有限多自由度系統(tǒng)是完全類似的。第2頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三教學(xué)內(nèi)容一維波動(dòng)方程梁的彎曲振動(dòng)集中質(zhì)量法假設(shè)模態(tài)法模態(tài)綜合法有限元法第3頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（1）本章討論的連續(xù)體都假定為線性彈性體，即在彈性范圍內(nèi)服從虎克定律。說(shuō)明（2）材料均勻連續(xù)；各向同性。（3）振動(dòng)滿足微振動(dòng)的前提。第4頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一維波動(dòng)方程

動(dòng)力學(xué)方程固有頻率和模態(tài)函數(shù)主振型的正交性桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程第5頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三動(dòng)力學(xué)方程（1）桿的縱向振動(dòng)

討論等截面細(xì)直桿的縱向振動(dòng)桿長(zhǎng)l假定振動(dòng)過(guò)程中各橫截面仍保持為平面截面積S材料密度彈性模量E忽略由縱向振動(dòng)引起的橫向變形單位長(zhǎng)度桿上分布的縱向作用力

桿參數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程第6頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三桿上距原點(diǎn)x

處截面在時(shí)刻t的縱向位移微段分析微段應(yīng)變：橫截面上的內(nèi)力：由達(dá)朗貝爾原理：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程第7頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三桿上距原點(diǎn)x

處截面在時(shí)刻t的縱向位移橫截面上的內(nèi)力：由達(dá)朗貝爾原理：代入，得：桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)方程對(duì)于等直桿，ES為常數(shù)彈性縱波沿桿的縱向傳播速度有：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程第8頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（2）弦的橫向振動(dòng)弦兩端固定，以張力F

拉緊在分布力作用下作橫向振動(dòng)建立坐標(biāo)系弦上距原點(diǎn)x處的橫截面在t時(shí)刻的橫向位移

單位長(zhǎng)度弦上分布的作用力

單位長(zhǎng)度弦的質(zhì)量

微段受力情況達(dá)朗貝爾原理：弦的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)方程令：并考慮到：得：彈性橫波的縱向傳播速度連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程第9頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（3）軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)細(xì)長(zhǎng)圓截面等直桿在分布扭矩作用下作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)假定振動(dòng)過(guò)程中各橫截面仍保持為平面截面的極慣性矩Ip材料密度切變模量G：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度桿上分布的外力偶矩

桿參數(shù)：為桿上距離原點(diǎn)x

處的截面在時(shí)刻t

的角位移截面處的扭矩為T微段dx

受力：微段繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程第10頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三代入，得：微段dx

受力達(dá)朗貝爾原理：材料力學(xué)：即：圓截面桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程對(duì)于等直桿，抗扭轉(zhuǎn)剛度GIp為常數(shù)有：剪切彈性波的縱向傳播速度連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程第11頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三小結(jié)：（1）桿的縱向振動(dòng)

（2）弦的橫向振動(dòng)雖然它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)表現(xiàn)形式上并不相同，但它們的運(yùn)動(dòng)微分方程是類同的，都屬于一維波動(dòng)方程。（3）軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程第12頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三固有頻率和模態(tài)函數(shù)以等直桿的縱向振動(dòng)為對(duì)象方程：縱向自由振動(dòng)方程：假設(shè)桿的各點(diǎn)作同步運(yùn)動(dòng)，即設(shè)：q(t)表示運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù)桿上距原點(diǎn)x處的截面的縱向振動(dòng)振幅

代入，得：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)第13頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三記：通解：（確定桿縱向振動(dòng)的形態(tài)，稱為模態(tài)）由桿的邊界條件確定

與有限自由度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，表示各坐標(biāo)振幅的相對(duì)比值由頻率方程確定的固有頻率有無(wú)窮多個(gè)（下面講述）連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)第14頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第

i

階主振動(dòng)：一一對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無(wú)窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)第15頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三幾種常見邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù)（1）兩端固定邊界條件：不能恒為零故：代入模態(tài)函數(shù)得：（桿的縱向振動(dòng)頻率方程）無(wú)窮多個(gè)固有頻率：由于零固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為零，因此零固有頻率除去特征：兩端位移為零模態(tài)函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)第16頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（2）兩端自由特征：自由端的軸向力為零邊界條件：得：零固有頻率對(duì)應(yīng)的常值模態(tài)為桿的縱向剛性位移頻率方程和固有頻率兩端固定桿的情況相同固有頻率：模態(tài)函數(shù)：得出：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)第17頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移為零自由端軸向力為零邊界條件：得：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)或：第18頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三左端自由，右端固定特征：固定端位移為零自由端軸向力為零邊界條件：得：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)第19頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三邊界條件模態(tài)函數(shù)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)頻率方程固有頻率第20頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例：一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一彈簧連接。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)第21頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)解：邊界條件：得出：頻率方程振型函數(shù)：第22頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)例：一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一集中質(zhì)量M固結(jié)。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。邊界條件：自己推導(dǎo)！第23頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三主振型的正交性只對(duì)具有簡(jiǎn)單邊界條件的桿討論主振型的正交性桿可以是變截面或勻截面的即質(zhì)量密度及截面積S

等都可以是x的函數(shù)

桿的動(dòng)力方程：自由振動(dòng)：主振動(dòng)：代入，得：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)第24頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三桿的簡(jiǎn)單邊界：固定端x=0

或l自由端x=0

或l

設(shè)：代入：乘并沿桿長(zhǎng)對(duì)x

積分：利用分部積分：桿的任一端上總有或者成立

得：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)第25頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三乘并沿桿長(zhǎng)對(duì)x

積分：同理乘并沿桿長(zhǎng)對(duì)x

積分：相減：時(shí)則必有：桿的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性進(jìn)而：桿的主振型關(guān)于剛度的正交性連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)第26頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三關(guān)于質(zhì)量的正交性關(guān)于剛度的正交性當(dāng)時(shí)

恒成立令：第i

階模態(tài)主質(zhì)量第i

階模態(tài)主剛度第i

階固有頻率：主振型歸一化：正則振型則第i

階主剛度：合寫為：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)第27頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)采用振型疊加法進(jìn)行求解強(qiáng)迫振動(dòng)方程：初始條件：假定，已經(jīng)得出令：正則坐標(biāo)代入方程：兩邊乘并沿桿長(zhǎng)對(duì)x

積分：利用正交性條件：第j

個(gè)正則坐標(biāo)的廣義力

連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)第28頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模態(tài)初始條件的求解乘并沿桿長(zhǎng)對(duì)x

積分，由正交性條件，知有：

得：求得后可得連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)第29頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如果沿桿身作用的不是分布力，而是集中力可表達(dá)成分布力形式：正則坐標(biāo)的廣義力：前述外部激勵(lì)為分布力連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)第30頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例：等直桿自由端作用有：為常數(shù)求：桿的縱向穩(wěn)態(tài)響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)第31頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：一端固定，一端自由邊界條件：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：代入歸一化條件：模態(tài)廣義力：第i

個(gè)正則方程：正則坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：桿的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)：當(dāng)外部力頻率等于桿的任一階固有頻率時(shí)都會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)第32頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)例：一均質(zhì)桿兩端固定。假定在桿上作用有兩個(gè)集中力，如圖所示。試問(wèn)：當(dāng)這些力突然移去時(shí)，桿將產(chǎn)生甚么樣的振動(dòng)？第33頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)邊界條件：兩端固定初始條件：模態(tài)函數(shù)：解：桿的自由振動(dòng)方程：固有頻率：第34頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無(wú)窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加：第35頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)初始條件：應(yīng)用位移初始條件：兩邊乘并沿桿長(zhǎng)積分，然后利用正交性條件：應(yīng)用速度初始條件：第36頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)第37頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)：第38頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)思考題：有一根以常速度v沿x

軸運(yùn)動(dòng)的桿。如果桿的中點(diǎn)處突然被卡住停止，試求出所產(chǎn)生的自由振動(dòng)表達(dá)式。在此種情況下，可從桿的中點(diǎn)分開，分開的左右兩部分的振動(dòng)形式相同，因此只分析右半部分即可。提示：第39頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)右半部分為一端固定、另一端自由的桿。邊界條件：桿的自由振動(dòng)方程：初始條件：自己推導(dǎo)！第40頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)例：有一根x=0端為自由、x=l端處為固定得桿，固定端承受支撐運(yùn)動(dòng)為振動(dòng)的幅值試求桿的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。第41頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)解：方程建立微段分析應(yīng)變：內(nèi)力：達(dá)朗貝爾原理：桿上距原點(diǎn)x

處截面在時(shí)刻t的縱向位移第42頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)令：代入方程：即：設(shè)解為：為歸一化的正則模態(tài)代入方程，得：第43頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)用乘上式，并沿桿長(zhǎng)積分：利用正交性：第44頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)模態(tài)穩(wěn)態(tài)解：第45頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)第46頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)桿振動(dòng)分析小結(jié)1.建立動(dòng)力學(xué)方程2.根據(jù)邊界條件求解固有頻率和模態(tài)3.變量分離4.代入動(dòng)力學(xué)方程，并利用正交性條件得到模態(tài)空間方程5.物理空間初始條件轉(zhuǎn)到模態(tài)空間6.模態(tài)空間方程求解7.返回物理空間，得解物理空間問(wèn)題模態(tài)空間問(wèn)題模態(tài)疊加法第47頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三教學(xué)內(nèi)容一維波動(dòng)方程梁的彎曲振動(dòng)集中質(zhì)量法假設(shè)模態(tài)法模態(tài)綜合法有限元法第48頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三梁的彎曲振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程考慮細(xì)長(zhǎng)梁的橫向彎曲振動(dòng)梁各截面的中心慣性軸在同一平面xoy內(nèi)在低頻振動(dòng)時(shí)可以忽略剪切變形以及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響外載荷作用在該平面內(nèi)梁在該平面作橫向振動(dòng)（微振）這時(shí)梁的主要變形是彎曲變形伯努利－歐拉梁（Bernoulli-EulerBeam）f(x,t):單位長(zhǎng)度梁上分布的外力m(x,t):單位長(zhǎng)度梁上分布的外力矩梁參數(shù)：I截面對(duì)中性軸的慣性積單位體積梁的質(zhì)量S梁橫截面積E彈性模量外部力：假設(shè)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第49頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三動(dòng)力學(xué)方程f(x,t):單位長(zhǎng)度梁上分布的外力m(x,t):單位長(zhǎng)度梁上分布的外力矩微段受力分析令：y(x,t):距原點(diǎn)x處的截面在t時(shí)刻的橫向位移截面上的剪力和彎矩微段的慣性力微段所受的外力微段所受的外力矩連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第50頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三力平衡方程：即：以右截面上任一點(diǎn)為矩心，力矩平衡：略去高階小量：材料力學(xué)的等截面假設(shè)，彎矩與撓度的關(guān)系：變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第51頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：等截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第52頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三固有頻率和模態(tài)函數(shù)變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：討論梁的自由振動(dòng)自由振動(dòng)方程：根據(jù)對(duì)桿縱向振動(dòng)的分析，梁的主振動(dòng)可假設(shè)為：代入自由振動(dòng)方程：對(duì)于等截面梁：通解：和應(yīng)滿足的頻率方程由梁的邊界條件確定

連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第53頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三等截面梁的自由振動(dòng)方程：梁的主振動(dòng)：通解：代入，得：第i階主振動(dòng)：

無(wú)窮多個(gè)和由系統(tǒng)的初始條件確定

系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無(wú)窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第54頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三常見的約束狀況與邊界條件（1）固定端撓度和截面轉(zhuǎn)角為零（2）簡(jiǎn)支端撓度和彎矩為零（3）自由端彎矩和剪力為零連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第55頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例：求懸臂梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)解：一端固定，一端自由邊界條件固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零自由端：彎矩和截面剪力為零得：以及：非零解條件：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第56頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三簡(jiǎn)化后，得：頻率方程當(dāng)

i=1,2,3時(shí)解得：當(dāng)

時(shí)各階固有頻率：對(duì)應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：其中：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第57頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三鉛垂梁的前三階模態(tài)形狀第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)無(wú)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)位置連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第58頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例：簡(jiǎn)支梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)解：一端圓柱固定鉸另一端圓柱滑動(dòng)鉸固定鉸：撓度和截面彎矩為零滑動(dòng)鉸：撓度和截面彎矩為零得：以及：頻率方程：固有頻率：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第59頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三頻率方程：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)模態(tài)形狀節(jié)點(diǎn)位置無(wú)節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)三個(gè)節(jié)點(diǎn)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第60頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例：兩端自由梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)背景：導(dǎo)彈飛行系統(tǒng)類別：半正定系統(tǒng)存在剛體模態(tài)導(dǎo)彈飛行1導(dǎo)彈飛行2連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第61頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三頻率方程：模態(tài)函數(shù)：其中：當(dāng)

i=1,2,3時(shí)解得：當(dāng)

時(shí)自由端：彎矩和截面剪力為零當(dāng)

時(shí)對(duì)應(yīng)剛體模態(tài)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第62頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)第五階模態(tài)自由梁的模態(tài)形狀連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第63頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例：試用數(shù)值確定一根一端固定另一端簡(jiǎn)支的梁的頻率方程，并且繪出第一階模態(tài)和第二階模態(tài)的撓度曲線。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第64頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)解：梁的自由振動(dòng)方程：邊界條件固定端：自由端：模態(tài)函數(shù)：第65頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第66頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)非零解條件：頻率方程：求得：對(duì)應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：代入：第67頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第一階模態(tài)：第二階模態(tài)：0.560第68頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例：懸臂梁一端固定，另一端有彈性支撐邊界條件固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零彈性支撐端：剪力、彎矩分別與直線彈簧反力、卷簧反力矩相等彈簧二：直線彈簧，與撓度成正比彈簧一：卷簧，與截面轉(zhuǎn)角成正比彎矩平衡條件：剪力平衡條件：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第69頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三固定端：彈性支撐端：由固定端條件解得：由彈性支撐固定端條件解得：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第70頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三或非零解條件導(dǎo)出頻率方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第71頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（1）若k1、k2

同時(shí)為零，則退化為懸臂梁的情形連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)討論：第72頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（2）若k1＝0、k2

無(wú)窮大，則退化為一端固定另一端簡(jiǎn)支的情形連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)討論：第73頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例：懸臂梁自由端附有質(zhì)量求頻率方程解：固定端：自由端：彎矩為零，剪力與質(zhì)量慣性力平衡利用同上述算例相同的方法，得頻率方程：其中：為集中質(zhì)量與梁質(zhì)量之比為梁質(zhì)量連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第74頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三說(shuō)明：以上分析中沒(méi)有考慮剪切變形和截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，因此以上有關(guān)梁的分析只適用于細(xì)長(zhǎng)梁（梁的長(zhǎng)度大于梁高度5倍以上）若梁為非細(xì)長(zhǎng)梁，必須考慮剪切變形和截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響鐵木辛柯梁（Timoshenkobeam）考慮剪切變形使得梁的剛度降低，考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量使得梁的慣性增加，這兩個(gè)因素都會(huì)使梁的固有頻率降低連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第75頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模態(tài)函數(shù)的正交性梁若為等截面，則：變截面梁的自由振動(dòng)方程：主振動(dòng)：代入，得：設(shè)：有：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第76頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（1）（2）(1)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)對(duì)x

積分：利用分部積分：在梁的簡(jiǎn)單邊界上，總有撓度或剪力中的一個(gè)與轉(zhuǎn)角或彎矩中的一個(gè)同時(shí)為零得：(3)代入（3）式，有：(2)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)積分可得：同理，相減：得：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第77頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如果時(shí)，則有：主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性

（1）（2）(1)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)對(duì)x

積分：分部積分：得：代入（3）式，有：(2)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)積分可得：同理，相減：得：(3)（4）（5）由（4）、（5）式，得：主振型關(guān)于剛度的正交性

連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第78頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如果i=j恒成立第j

階主質(zhì)量第j

階主剛度第j

階固有頻率（1）（2）(1)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)對(duì)x

積分：分部積分：得：代入（3）式，有：(2)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)積分可得：同理，相減：得：(3)（4）（5）連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第79頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第j

階主質(zhì)量第j

階主剛度第j

階固有頻率時(shí)時(shí)主振型中的常數(shù)按下列歸一化條件確定：正則振型正則振型的正交性：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第80頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三梁橫向振動(dòng)的強(qiáng)迫響應(yīng)梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)方程：令：代入：兩邊乘并沿梁長(zhǎng)對(duì)x

積分：由正交性條件，得：第j

個(gè)正則坐標(biāo)方程第j

個(gè)正則坐標(biāo)的廣義力由分部積分：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第81頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三梁初始條件的處理假定梁的初始條件為：

代入：兩式乘并沿梁長(zhǎng)積分，由正交性條件可得：

第j

個(gè)正則坐標(biāo)方程：第j

個(gè)正則模態(tài)響應(yīng)：得到后，即可得到梁的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第82頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如果作用在梁上的載荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩利用函數(shù)，可以表示為:

有：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第83頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三中點(diǎn)受常力P作用產(chǎn)生靜變形例：簡(jiǎn)支梁求：當(dāng)P突然移出時(shí)梁的響應(yīng)解：由材力得初始條件:梁中點(diǎn)的靜撓度連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第84頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三梁兩端簡(jiǎn)支固有頻率：振型函數(shù)：代入歸一化條件：模態(tài)初始條件：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第85頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模態(tài)初始條件：沒(méi)有激振力，正則廣義力為零正則廣義力模態(tài)響應(yīng)：因此有：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第86頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例：簡(jiǎn)支梁求：梁的響應(yīng)中點(diǎn)受力矩作用連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第87頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：由上例知：固有頻率：振型函數(shù)：正則廣義力：第i

個(gè)正則方程：因此有：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第88頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例：懸臂梁自由端作用有正弦力求穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)，以及梁自由端的響應(yīng)。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第89頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：強(qiáng)迫振動(dòng)方程：模態(tài)函數(shù)：設(shè)解為：代入方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第90頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三利用正則模態(tài)的正交性條件：兩邊乘并沿梁長(zhǎng)對(duì)x

積分：模態(tài)穩(wěn)態(tài)解：梁的響應(yīng)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第91頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三梁的響應(yīng)：梁自由端的響應(yīng)令x=l：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第92頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例：簡(jiǎn)支梁，左端承受正弦支撐運(yùn)動(dòng)試求梁的響應(yīng)。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第93頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：梁的振動(dòng)方程：解釋：微段分析力平衡方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第94頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三以右截面上任一點(diǎn)為矩心，力矩平衡：略去高階小量，得：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第95頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三材料力學(xué)的等截面假設(shè)，彎矩與撓度的關(guān)系：梁的振動(dòng)方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第96頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)代入方程：令：即：即：設(shè)解為：為歸一化的正則模態(tài)第97頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)代入方程，得：用乘上式，并沿桿長(zhǎng)積分：利用正交性：第98頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)模態(tài)穩(wěn)態(tài)解：簡(jiǎn)支梁固有頻率：第99頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)代入：第100頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)思考題：懸臂梁，右端簡(jiǎn)支。試求梁的響應(yīng)。右端承受支撐運(yùn)動(dòng)第101頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：等截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)回顧：動(dòng)力學(xué)方程等截面梁自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：第102頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三回顧：固有頻率和模態(tài)函數(shù)自由振動(dòng)方程：通解：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)常見的約束狀況與邊界條件（1）固定端（2）簡(jiǎn)支端（3）自由端簡(jiǎn)支梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)頻率方程：固有頻率：第103頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三梁的彎曲振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程固有頻率和模態(tài)函數(shù)模態(tài)函數(shù)的正交性梁橫向振動(dòng)的強(qiáng)迫振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程第104頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模態(tài)函數(shù)的正交性變截面梁的自由振動(dòng)方程：主振動(dòng)：代入，得：設(shè)：有：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第105頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（1）（2）(1)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)對(duì)x

積分：利用分部積分：在梁的簡(jiǎn)單邊界上，總有撓度或剪力中的一個(gè)與轉(zhuǎn)角或彎矩中的一個(gè)同時(shí)為零。得：(3)代入（3）式，有：(2)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)積分可得：同理，相減：得：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第106頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如果時(shí)，則有：主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性

（1）（2）(1)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)對(duì)x

積分：分部積分：得：代入（3）式，有：(2)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)積分可得：同理，相減：得：(3)（4）（5）由（4）、（5）式，得：主振型關(guān)于剛度的正交性

連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第107頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如果i=j,恒成立第j

階主質(zhì)量第j

階主剛度第j

階固有頻率（1）（2）(1)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)對(duì)x

積分：分部積分：得：代入（3）式，有：(2)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)積分可得：同理，相減：得：(3)（4）（5）連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第108頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第j

階主質(zhì)量第j

階主剛度第j

階固有頻率時(shí)時(shí)主振型中的常數(shù)按下列歸一化條件確定：正則振型正則振型的正交性：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第109頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三梁的彎曲振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程固有頻率和模態(tài)函數(shù)模態(tài)函數(shù)的正交性梁橫向振動(dòng)的強(qiáng)迫振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程第110頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三梁橫向振動(dòng)的強(qiáng)迫響應(yīng)梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)方程：令：代入：兩邊乘并沿梁長(zhǎng)對(duì)x

積分：由正交性條件，得：第j

個(gè)正則坐標(biāo)方程第j

個(gè)正則坐標(biāo)的廣義力由分部積分：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第111頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三梁初始條件的處理假定梁的初始條件為：

代入：兩式乘并沿梁長(zhǎng)積分，由正交性條件可得：

第j

個(gè)正則坐標(biāo)方程：第j

個(gè)正則模態(tài)響應(yīng)：得到后，即可得到梁的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性

第112頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如果作用在梁上的載荷不是分布力、力矩，而是集中力和集中力矩.利用函數(shù)，可以表示為:

有：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第113頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三中點(diǎn)受常力P作用產(chǎn)生靜變形.例：簡(jiǎn)支梁初始響應(yīng)求：當(dāng)P突然移出時(shí)梁的響應(yīng)解：由材力得初始條件:

梁中點(diǎn)的靜撓度.連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第114頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三梁兩端簡(jiǎn)支固有頻率：振型函數(shù)：代入歸一化條件：模態(tài)初始條件：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第115頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模態(tài)初始條件：沒(méi)有激振力，正則廣義力為零正則廣義力模態(tài)響應(yīng)：因此有：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第116頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例：簡(jiǎn)支梁求：梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).中點(diǎn)受力矩

作用.連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第117頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：由上例知：固有頻率：振型函數(shù)：正則廣義力：第i

個(gè)正則方程：因此有：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第118頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例：懸臂梁自由端作用有正弦力：求穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)，以及梁自由端的響應(yīng)。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第119頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：強(qiáng)迫振動(dòng)方程：模態(tài)函數(shù)：設(shè)解為：代入方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第120頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三利用正則模態(tài)的正交性條件：兩邊乘并沿梁長(zhǎng)對(duì)x

積分：模態(tài)穩(wěn)態(tài)解：梁的響應(yīng)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第121頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三梁的響應(yīng)：梁自由端的響應(yīng):令x=l：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第122頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三小結(jié)：梁橫向振動(dòng)的強(qiáng)迫響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第123頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三教學(xué)內(nèi)容一維波動(dòng)方程梁的彎曲振動(dòng)集中質(zhì)量法假設(shè)模態(tài)法有限元法第124頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)系統(tǒng)的精確解僅適用于簡(jiǎn)單構(gòu)件形狀和邊界條件。當(dāng)構(gòu)件形狀復(fù)雜或邊界條件復(fù)雜時(shí)可以采用近似解法。各種近似解法的共同特點(diǎn)：用有限自由度的系統(tǒng)對(duì)無(wú)限自由度的系統(tǒng)進(jìn)行近似。集中質(zhì)量法假設(shè)模態(tài)法有限元法集中質(zhì)量法是將連續(xù)系統(tǒng)的質(zhì)量集中到有限個(gè)點(diǎn)或截面上。假設(shè)模態(tài)法是用有限個(gè)函數(shù)的線性組合來(lái)構(gòu)造連續(xù)系統(tǒng)的解。有限元法兼有以上兩種方法的特點(diǎn)。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/集中質(zhì)量法第125頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三集中質(zhì)量法工程系統(tǒng)的物理參數(shù)常常分布不均勻。慣性和剛性較大的部件可看作質(zhì)量集中的質(zhì)點(diǎn)和剛體。慣性小和彈性強(qiáng)的部件可抽象為無(wú)質(zhì)量的彈簧，它們的質(zhì)量可以不計(jì)或折合到集中質(zhì)量上。物理參數(shù)分布均勻的系統(tǒng)，也可近似地分解為有限個(gè)集中質(zhì)量.集中質(zhì)量的數(shù)量取決于所要求的計(jì)算精度。連續(xù)系統(tǒng)離散為有限自由度系統(tǒng)后，可以采用多自由度系統(tǒng)的分析方法進(jìn)行分析。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/集中質(zhì)量法第126頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三集中質(zhì)量法以等截面梁為例：材料密度長(zhǎng)度l抗彎剛度EI將梁均分為四段，并將每段的質(zhì)量平均分到該段的兩端。支座處的集中質(zhì)量不影響梁的彎曲。連續(xù)梁可用三個(gè)集中質(zhì)量代替：質(zhì)量矩陣：梁質(zhì)量：橫截面積度S連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/集中質(zhì)量法第127頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的梁段具有相同的彈性性質(zhì)。由材料力學(xué)，得柔度影響系數(shù)：質(zhì)量矩陣：柔度矩陣：可以求解系統(tǒng)固有頻率。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/集中質(zhì)量法第128頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三也可將連續(xù)梁離散為兩自由度或單自由度系統(tǒng)。在求得質(zhì)量矩陣和柔度矩陣后，可以計(jì)算出相應(yīng)的系統(tǒng)固有頻率。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/集中質(zhì)量法第129頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三連續(xù)梁三自由度系統(tǒng)兩自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)固有頻率精確解近似解誤差近似解誤差近似解誤差0.03%0.73%6.3%0.1%3.3%0.7%結(jié)論：（1）隨著自由度數(shù)目的增加，計(jì)算精度提高；（2）基頻精度較高；（3）頻率階數(shù)增高，誤差增大。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/集中質(zhì)量法第130頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三教學(xué)內(nèi)容一維波動(dòng)方程梁的彎曲振動(dòng)集中質(zhì)量法假設(shè)模態(tài)法有限元法第131頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三假設(shè)模態(tài)法利用有限個(gè)已知的模態(tài)函數(shù)來(lái)確定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在采用模態(tài)疊加法討論連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)，是將連續(xù)系統(tǒng)的解寫作全部模態(tài)函數(shù)的線性組合：：模態(tài)函數(shù)：模態(tài)坐標(biāo)若取前n

個(gè)有限項(xiàng)作為近似解，則有：：應(yīng)該是系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)，但實(shí)際中由于無(wú)法得到等原因而代以假設(shè)模態(tài)，即滿足部分或全部邊界條件，但不一定滿足動(dòng)力學(xué)方程的試函數(shù)族。：與假設(shè)模態(tài)所對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo).瑞利法里茲法連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/假設(shè)模態(tài)法第132頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三假設(shè)模態(tài)法－瑞利法概要連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/假設(shè)模態(tài)法/瑞利法假設(shè)系統(tǒng)以模態(tài)作頻率為的自由振動(dòng)：根據(jù)保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒,即引入系統(tǒng)的參考動(dòng)能：定義瑞利商：與多自由度系統(tǒng)相同，瑞利商大于基頻第133頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三教學(xué)內(nèi)容一維波動(dòng)方程梁的彎曲振動(dòng)集中質(zhì)量法假設(shè)模態(tài)法有限元法第134頁(yè)，共147頁(yè)，2023年，2月20日，星期三有限元法20世紀(jì)五六十年代發(fā)展起來(lái)的方法.吸取了集中質(zhì)量法與假設(shè)模態(tài)法的優(yōu)點(diǎn).有限元法是目前工程中計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)