第六章橢球面上的測量計算第1頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三1．地球橢球的定義及其幾何意義；2．常用測量坐標系統(tǒng)的建立及其在控制測量中的應(yīng)用；3．各種測量坐標系統(tǒng)之間的相互轉(zhuǎn)換；4．橢球面上幾種曲率、弧長、大地線的計算；5．地面測量值（水平方向和邊長）歸算到橢球面的方法。[知識點及學(xué)習(xí)要求][難點]在對本章的學(xué)習(xí)中，有大量的公式推導(dǎo)與應(yīng)用。各種常用測量坐標系統(tǒng)的建立與相互轉(zhuǎn)換；幾種常用的橢球計算公式；地面觀測值歸算到橢球面的方法與計算。

第2頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三1.地球橢球的基本幾何參數(shù)7-1地球橢球的基本幾何參數(shù)及相互關(guān)系地球橢球：在控制測量中，用來代表地球的橢球，它是地球的數(shù)學(xué)模型。參考橢球：具有一定幾何參數(shù)、定位及定向的用以代表某一地區(qū)大地水準面的地球橢球。地面上一切觀測元素都應(yīng)歸算到參考橢球面上，并在這個面上進行計算。參考橢球面是大地測量計算的基準面，同時又是研究地球形狀和地圖投影的參考面。第3頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三橢圓的長半軸：a橢圓的短半軸：b橢圓的扁率：五個基本幾何參數(shù)

橢圓的第一偏心率：

橢圓的第二偏心率：

a、b稱為長度元素扁率反映了橢球體的扁平程度

e′和e反映橢球體的扁平程度，偏心率越大，橢球愈扁第4頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三決定旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小，只需知道五個參數(shù)中的兩個就夠了，但其中至少要有一個長度元素（如a或b）。為簡化書寫，常引入以下符號和兩個輔助函數(shù)：注意式中，W第一基本緯度函數(shù)，V第二基本緯度函數(shù)。第5頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三0.006739496742270.0067395018194730.006738525414683e’20.00669437990130.0066943849995880.006693421622966e21/298.2572235631/298.2571/298.36399593.62586399596.65198801056399698.9017827110c6356752.31426356755.28815752876356863.0187730473b637813763781406378245aWGS-84系橢球1975國際橢球克拉索夫斯基橢球

我國所采用的的1954年北京坐標系應(yīng)用的是克拉索夫斯基橢球參數(shù)；以后采用的1980國家大地坐標系應(yīng)用的是1975國際橢球參數(shù)；而GPS應(yīng)用的是WGS-84系橢球參數(shù)。第6頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三2.地球橢球參數(shù)間的相互關(guān)系

第7頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三同理可得：第8頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三7-2橢球面上的常用坐標系及其相互關(guān)系（重點）1.常用的四種坐標系大地坐標系、空間直角坐標系（大地測量中兩種基本坐標系）子午平面直角坐標系大地極坐標系第9頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三1）大地坐標系

P點的子午面NPS與起始子午面NGS所構(gòu)成的二面角叫做P點大地經(jīng)度，P點的法線Pn與赤道面的夾角B叫P點的大地緯度，P點的位置用L、B表示。PH若P點不在橢球面上，還要一個參數(shù)：大地高H來表示點位。它與正常高及正高的關(guān)系為：N過中心第10頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三大地坐標系是基本的坐標系是全世界公用的最方便的坐標系與同一點的天文坐標比較可確定垂線偏差對于大地測量計算、地球形狀研究和地圖制圖都很有用。第11頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三2）空間直角坐標系

以橢球中心O為原點，起始子午面與赤道面交線為X軸，在赤道面上與X軸正交的方向為Y軸，橢球體的旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，構(gòu)成右手坐標系O-XYZ，在該坐標系中，P點的位置用X、Y、Z表示第12頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三3）子午面直角坐標系

設(shè)P點的大地經(jīng)度為L，在過P點的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點，建立x，y平面直角坐標系。在該坐標系中，P點的位置用L，x，y表示第13頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三4）大地極坐標系

M為橢圓體面上任意一點，MN為過M點的子午線，S為連結(jié)MP的大地線長，A為大地線在M點的大地方位角。以M為極點、MN為極軸、S為極徑、A為極角，就構(gòu)成了大地極坐標系。P點位置用S、A表示。

橢球面上的極坐標（S、A）與大地坐標（L、B）可以互相換算，這種換算叫大地主題解算。第14頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三2、各種坐標系間的關(guān)系

1）子午平面直角坐標系同大地坐標系的關(guān)系

過p點作法線Pn，它與x軸之夾角為B，過點作子午圈的切線TP，它與x

軸的夾角為（90°+B）---該角的正切值為曲線在P點處切線的斜率.第15頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三1）子午平面直角坐標系同大地坐標系的關(guān)系第16頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)Pn=N，則有：一個有用的結(jié)論推導(dǎo)：第17頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三2）空間直角坐標系與子午面直角坐標系的關(guān)系第18頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第19頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三3）空間直角坐標系與大地坐標系的關(guān)系

XY當P點位于橢球面上時：第20頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三當P點不在橢球面上時：第21頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三已知空間直角坐標計算大地坐標第22頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三大地站心地平坐標系：站心點的法線為z軸，向上為正在地平面上以子午線方向為x軸，y與x、z軸正交，指向以東為正。xzy3站心地平坐標系及其應(yīng)用（了解）第23頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三大地站心極坐標系：以站心系原點到點的空間距離、方位角和天頂距為坐標參數(shù)來確定三維點位，稱為站心極坐標系。第24頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三

幾個基本概念：法截面：過橢球面上任意一點可作垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面就叫法截面。法截線（法截?。悍ń孛媾c橢球面的交線。卯酉圈：過某點法線的無數(shù)個法截面中，與子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合圈就稱為卯酉圈。子午圈：與卯酉圈垂直7.3橢球面上的幾種曲率半徑（重點）無窮多個第25頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三1、子午圈曲率半徑第26頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三M小于赤道半徑aM隨B的增大而增大M等于極點曲率半徑B=0（在赤道處）0＜B＜90B=90（在極點處）說明MB第27頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三過P點作以O(shè)′為中心的平行圈PHK的切線PT，該切線位于垂直于子午面的平行圈平面內(nèi)。因卯酉圈也垂直于子午面，故PT也是卯酉圈在P點處的切線，即PT垂直于Pn。所以PT是平行圈PHK及卯酉圈在P點處的公切線。麥尼爾定理：假設(shè)通過曲面上一點引兩條截弧，一條為法截弧、一條為斜截弧，且在該點上這兩條截弧具有公共切線，這時斜截弧在該點的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。又因為平行圈平面與卯酉圈平面之間的夾角即為大地緯度B，所以有：平行圈半徑r就等于P點的橫坐標x（子午面直角坐標系），即：2、卯酉圈曲率半徑

子午平面直角坐標系與大地坐標系的關(guān)系第28頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三卯酉圈變?yōu)樽游缛?，N=cN90=cB=900N隨B的增大而增大a＜N＜c00<B<900卯酉圈變?yōu)槌嗟繠=00說明NB子午曲率半徑M及卯酉圈曲率半徑N,在微分幾何中稱主曲率半徑第29頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三3、任意法截弧的曲率半徑當A=0°或180°時，RA的值最小，此時R0=M（子午曲率半徑）當A=90°或270°時，RA的值最大，此時R90=N（卯酉圈曲率半徑）；當A由0°→90°時，RA之值由M→N；當A由90°→180°時，RA之值由N→M。RA值的變化是以90°為周期且與子午圈和卯酉圈對稱的。平均曲率半徑第30頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三4、平均曲率半徑M、N、R的關(guān)系：N>R>M只有在極點上，它們才相等，且均等于極曲率半徑c，即：

由于RA的數(shù)值隨方位A的變化而變化，給測量帶來不便，在測量工作中，往往根據(jù)一定的精度要求，在一定范圍內(nèi)，把橢球面當作球面來處理，為此，就要推求該球面的曲率半徑--平均曲率半徑[就是過橢球面上一點的一切法截弧(0—2π），當其數(shù)目趨于無窮時，它們的曲率半徑的算術(shù)平均值的極限，就稱為平均曲率半徑，用R表示]。第31頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三1.子午線弧長計算公式子午橢圓的一半，它的端點與極點相重合；而赤道又把子午線分成對稱的兩部分。如下圖所示，取子午線上某微分弧，令Ｐ點緯度為Ｂ，點緯度為，Ｐ點的子午圈曲率半徑為Ｍ，于是有：從赤道開始到任意緯度Ｂ的平行圈之間的弧長可由下列積分求出：式中M可用下式表達：7.4橢球面上的弧長計算第32頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三其中：經(jīng)積分，進行整理后得子午線弧長計算式：為求子午線上兩個緯度及間的弧長，只需按上式分別算出相應(yīng)的及，而后取差：，該即為所求的弧長。第33頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三克拉索夫斯基橢球子午線弧長計算公式：1975年國際橢球子午線弧長計算公式：第34頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三2.由子午線弧長可計算大地緯度在高斯投影反算時，已知高斯平面直角坐標（X，Y）反求其大地坐標（L，B）。首先X當作中央子午線上弧長，反求其緯度，此時的緯度稱為底點緯度或垂直緯度。計算底點緯度的公式可以采用迭代解法和直接解法。迭代法在克拉索夫斯基橢球上計算時，迭代開始時設(shè)以后每次迭代按下式計算：重復(fù)迭代直至為止。在1975年國際橢球上計算時，也有類似公式。第35頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三2.平行圈弧長公式

旋轉(zhuǎn)橢球體的平行圈是一個圓，其半徑就是圓上任意一點的子午面直角坐標x：如果平行圈上有兩點，其經(jīng)差，可寫出平行圈弧長公式：第36頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三3.子午線弧長和平行圈弧長變化的比較30.92329.87626.80221.90215.5008.0280.0001895.361792.541608.131314.14930.02481.710.00111321m10755296488788485580128902030.71630.73830.79530.87330.95131.00731.0271842.941844.261847.711852.391857.041860.421861.60110576m11065611086311114311142311162511169601530456075901″1′ΔL=1°1″1′平行圈弧長子午線弧長B單位緯差的子午線弧長隨B的增大而緩慢地增大；而單位經(jīng)差的平行圈弧長則隨B的增大而急劇縮短。同時還知，子午弧長1°約為110KM，1′約為1.8KM，1″約為30M；而平行圈弧長僅在赤道附近才與子午線弧長大體相當，隨著B的增大它們的差值愈來愈大。第37頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三3.橢球面梯形面積的計算微分面積由于故積分后第38頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三地球橢球的面積：地球圓球的半徑：由于：則：第39頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三7.5大地線

1.相對法截線的概念（1）緯度不同的兩點，法線必交于旋轉(zhuǎn)軸的不同點；（2）橢球面上一點的緯度愈高，法線與旋轉(zhuǎn)軸的交點愈低；（3）當兩點的緯度不同，又不在同一子午圈上時，這兩點的法線將在空間交錯而不相交。因此當兩點不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上時，兩點間就有二條法截線存在。首先明確以下三點：第40頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三假定經(jīng)緯儀的縱軸同A，B兩點的法線重合（忽略垂線偏差），如此以兩點為測站，則經(jīng)緯儀的照準面就是法截面。用A點照準B點，則照準面同橢球面的截線為，叫做A點的正法截線，或B點的反法截線；同理，由B照A點，則照準面同橢球面的截線為BbA，叫做B點的正法截線，或A點的反法截線。因A，B的法線互不相交，故這兩條法截線不重合。我們把和BbA叫做A、B兩點的相對法截線。

第41頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三AB方向在不同象限時，正反法截線的關(guān)系圖當A、B兩點位于同一子午圈或同一平行圈上時，正反法截線則合二為一，這是一種特殊情況。而通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在橢球面上A、B、C三點處所測得的角度（各點上正法截線之夾角）將不能構(gòu)成閉合三角形。為克服這個矛盾，在兩點間另選一條單一的大地線代替相對法截線，從而得到由大地線構(gòu)成的單一的三角形。第42頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三2、大地線的定義和性質(zhì)

橢球面上兩點間的最短曲線叫做大地線。大地線是橢球面上兩點間唯一最短線，而且位于相對法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角為：

在一等三角測量中，Δ可達千分之四秒，δ可達千分之一二秒大地線與法截線長度之差只有百萬分之一毫米，所以在實際計算中，這種長度差異可以忽略不計。但是，根據(jù)大地線的性質(zhì)，在橢球面上進行測量計算時，應(yīng)以兩點間的大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等應(yīng)歸算到相應(yīng)大地線的方向、距離。第43頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三3、大地線的微分方程和克萊洛(克萊勞)方程

1）大地線微分方程:

表達dL，dB，dA與dS的關(guān)系式。dS第44頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三2）克萊洛方程：代入兩邊積分得：麥尼兒定理：第45頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三上式表明：在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點的平行圈半徑與大地線在該點的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)。

利用這個關(guān)系式可以檢查緯度與方位角計算的正確性第46頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三7.6將地面觀測的方向值歸算到橢球面

7.6.1將地面觀測的水平方向歸算至橢球面----三差改正

歸算中兩個基本要求：（1）以橢球面的法線為基準；（2）將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素。將水平方向歸算至橢球面，包括垂線偏差改正、標高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項為三差改正。第47頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三垂線偏差改正的計算公式

1）垂線偏差改正把以垂線為依據(jù)的地面觀測的水平方向值歸算到以法線為依據(jù)的方向值而應(yīng)加的改正數(shù)稱為垂線偏差改正。什么是垂線偏差？第48頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三2）標高差改正標高差改正：由照準點高度引起的改正前面已得出結(jié)論：不在同一子午面或不在同一平行圈上的兩點的法線是不共面的。因此，當進行水平方向觀測時，如果照準點高出橢球面某一高度，則照準面就不能通過照準點的法線同橢球面的交點，由此引起的方向偏差的改正稱標高差改正，以表示。

照準點大地緯度

測站點至照準點的大地方位角

與照準點的緯度B2對應(yīng)的子午圈曲率半徑照準點的覘標高

標高差改正主要與照準點的高程有關(guān)。

令：第49頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三3）截面差改正將法截弧方向化為大地線方向應(yīng)加的改正叫截面差改正

測站點大地緯度

與測站點的緯度B1對應(yīng)的卯酉圈曲率半徑截面差改正主要與測站點至照準點間的距離S有關(guān)。令：第50頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三4）三差改正的計算第51頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三4）三差改正的計算各等三角測量在歸算時對取位的要求：

一等需算至0.001″；二等為0.01″；三等和四等為0.1″。

在一般情況下，一等三角測量應(yīng)加三差改正；二等三角測量應(yīng)加垂線偏差改正和標高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角測量只有在或H>2000m時，才分別考慮加垂線偏差改正和標高差改正。

第52頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三電磁波測距的歸算

前提：1)將兩點間的法截線長度認為是該兩點間的大地線長度；2)兩點間的法截線長度與半徑等于其起始點曲率半徑的圓弧長相差也很微小(如當S=640KM時，之差等于0.3米；S=200KM時，之差等于0.005m)。由于工程測量中邊長一般為幾公里，最長也不過十幾公里，因而，這種差異又可忽略不計。因此所求的大地線長度可以