第八章正弦電壓和電流相量法基礎(chǔ)第1頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三8.1

正弦穩(wěn)態(tài)電路第2頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三以一RC電路為例討論。電路如圖，已知：求解：由KCL得方程正弦電源作用下的一階電路第3頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三(1)式通解為：其中比較(5)式兩邊可得：設(shè)將(3)、(4)代入(1)式，化簡可得：第4頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三即(1)式通解為：代入初始條件(2)式，得：方程(1)滿足初始條件的解為：自由分量(暫態(tài)分量)強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)分量)自由分量的絕對值隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減，因此又稱為暫態(tài)分量。強(qiáng)制分量是與電源同頻率的正弦量，當(dāng)t=，響應(yīng)中只剩下該正弦分量，此時稱電路進(jìn)入了正弦穩(wěn)態(tài)。(工程上認(rèn)為，時間為或時，電路已進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。)第5頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三暫態(tài)分量的初值與有關(guān)。若，則暫態(tài)分量為零，電路直接進(jìn)入穩(wěn)態(tài)；若或，則暫態(tài)分量初值為，暫態(tài)分量在最初一段時間絕對值較大，使uc在這段時間某些瞬時可能產(chǎn)生過電壓。下圖為u=0時uc波形圖。由于u與i有關(guān)，而i與計時起點（即開關(guān)動作的時刻）有關(guān)，因此開關(guān)動作時刻的不同將會影響暫態(tài)分量的大小。穩(wěn)態(tài)分量暫態(tài)分量第6頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三8.2正弦電壓和電流8.2.1正弦電壓和電流8.2.2正弦量的三要素8.2.3同頻率正弦量的相位差8.2.4正弦電流、正弦電壓的有效值第7頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三8.2.1正弦電壓和電流隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓和電流稱為正弦電壓和電流（有時又稱為交流電壓和電流），它們的瞬時值可用時間t的sin函數(shù)或cos函數(shù)表示，在以后的討論中，均將它們表為cos函數(shù)。給出正弦電壓（電流）瞬時值表達(dá)式時，一定要先給出其參考方向。表達(dá)式和參考方向一起可確定正弦電壓（電流）任一時刻的真實方向。第8頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三8.2.2正弦量的三要素

振幅

Im

角頻率Im

是電流

i的最大值。是i的相角隨時間變化的速度，稱為角頻率。單位：弧度/秒，或?qū)懽?1/秒)電流

i的頻率為

f

(赫茲、周/秒)，周期為

T(秒)，有如下關(guān)系第9頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三

初相位

ii是

t=0時刻i的相位，稱為初相位（初相角）單位：弧度、度。由于

cos函數(shù)是周期函數(shù)，故i是多值的，一般取i的值與計時起點的選擇有關(guān)。i0i0i0第10頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三8.2.3同頻率正弦量的相位差

同頻率正弦量的相位差等于其初相位之差。相位差

的單位：弧度、度。例:u與

i

的相位差

ui

（可簡計為）為：

相位差是多值的，一般取。第11頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三同頻率正弦量相位差的幾種情況u與

i

同相u超前i

u滯后

iu與i

反相u與

i

正交第12頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三例1：已知求

u1

與

u2

的相位差。解：即

u1

超前

u2

(2/3)弧度。例2：已知求

u與

i

的相位差。解：

u超前

i

(2/3)弧度。即第13頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三8.2.4正弦電壓、電流的有效值若周期電流i的周期為T，則其有效值I定義為：以電流為例討論。同樣可推得正弦電壓u的有效值為：正弦電流的有效值為：第14頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三有效值的物理意義：周期電流i1通過電阻R，R在一周期時間T內(nèi)吸收的電能為恒定電流I2通過電阻R，R在T時間內(nèi)吸收的電能為若有即則有第15頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三8.3.1復(fù)數(shù)的表示方法8.3.2復(fù)數(shù)的運(yùn)算8.3復(fù)數(shù)的表示方法和復(fù)數(shù)運(yùn)算第16頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三8.3.1復(fù)數(shù)的表示方法直角坐標(biāo)形式：其中a1、a2

均為實數(shù)，a1是A的實部，a2是A的虛部。向量表示：a：復(fù)數(shù)A的模：復(fù)數(shù)A的輻角有：第17頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三三角函數(shù)形式：指數(shù)形式（極坐標(biāo)形式）：根據(jù)歐拉公式：可得：簡寫作：A＝a例1：已知，求其極坐標(biāo)形式。解：故A＝44.72-116.57o例2：已知A=13112.6o，求其直角坐標(biāo)形式。解：第18頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三8.3.2復(fù)數(shù)的運(yùn)算取實部、取虛部加減法運(yùn)算設(shè)則設(shè)則第19頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三乘除運(yùn)算例：設(shè)設(shè)則或則第20頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三定義：一個正弦量的相量是復(fù)常數(shù)，其模是該正弦量的有效值，其輻角是該正弦量的初相位。若給定正弦量的角頻率，則正弦量和其相量之間是一一對應(yīng)的關(guān)系。相量的運(yùn)算規(guī)則即復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則。相量也可用向量表示，稱為相量圖?？杀硎緸椋涸O(shè)某一正弦電流為稱為電流

i的振幅相量。稱為電流

i的有效值相量(簡稱相量)。有：可記為、8.4正弦量的相量第21頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三例1：已知解：求相量及，并畫出相量圖。畫相量圖時，和的長度采用不同的比例。第22頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三解：例2：已知求i1及i2。也可直接寫出正弦量表達(dá)式：由知得：第23頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三引理1.唯一性引理：引理2.線性引理其中a1、a2

為實常數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)兩個同頻率正弦量的相量相等時，該兩正弦量相等。，則有：若x1(t)與x2(t)同是角頻率為的正弦量，且8.5相量法的幾個引理第24頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三即證畢.證明：第25頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三引理3.微分引理：若x

(t)是角頻率為的正弦量，且則也是角頻率為的正弦量，且其相量為證明：設(shè)則證畢.第26頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三例：求解：得第27頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三8.6例題第28頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三例1、在圖1（a）的電路中，已知輸出輸出電壓滯后于電源電壓，，，試用相量圖和上列已知條件確定電阻之值。圖1（a）（b）第29頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三（c）（d）（e）第30頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三解：選為參考相量，令其大小為1V，作圖1（b）。是流過此電容器的電流，其大小現(xiàn)可求得為。其相位則必超前于如圖1（b）。電阻電壓和同相位如圖1（c），且至此可作相量其大小為第31頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三電流超前于如圖1（d），且其大小為又因為故從圖1（d）可得。，故必在虛線題給超前于上，而與同相位，的實部為零，即可從圖1（e）看出：和的水平分量（實部）必相互抵消，考慮到即得第32頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三利用上面所確定的與之值，即可解出。第33頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三例2、在圖2（a）的電路中，已知：功率表的讀數(shù)電壓表的讀數(shù)。求。圖2（a）（b）第34頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三解：由判知二并聯(lián)支路的阻抗必相等，即故第35頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三取電流為參考相量，則并聯(lián)部分的兩端電壓和同相位，因為上面的式子已表明是一個純電阻。由于則第36頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三代入的表達(dá)式，得電路得輸入端復(fù)阻抗則第37頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三進(jìn)而導(dǎo)出第38頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三例3、電路如圖3。已知負(fù)載和的復(fù)功率為試求每一電源所提供的復(fù)功率。圖3第39頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三解：取的電壓、電流參考方向均自左向右，的電壓、電流參考方向均自上而下，則可列出聯(lián)解以上四式可得第40頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三代入已知數(shù)據(jù)解得的兩個值：進(jìn)而得本題兩組解答如下：（1）時第41頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三故電壓源和電流源所提供的復(fù)功率分別是（2）時第42頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三故電壓源和電流源所提供的復(fù)功率分別是第43頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三例4、圖4電路中的其余的元件參數(shù)如圖所示，試計算從a，b端口能獲得得最大功率。第44頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三解：先求a，b端口得戴維南等效電路。為求等效阻抗，我們將電壓短路，在a，b兩點之間接的電流源，使之從b端流進(jìn)網(wǎng)絡(luò)，便可得故第45頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三再計算開路電壓，從電路圖可得第46頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三根據(jù)最大功率傳輸定理知，若在a，b端口聯(lián)一復(fù)阻抗為的負(fù)載，便可獲得最大功率第47頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三例5、圖5所示電路在音頻正弦信號源的激勵下工作。測得電壓表讀數(shù)為18V，功率表讀數(shù)為32.4W，電流表讀數(shù)為1A。并知：L1＝L2＝0.5H，Ls＝0.1HC