3.1隨機事件的概率

-3.1.2隨機事件的概率及概率的意義(第一、二課時)

一、教學目標：

1.、知識與技能：(1)了解隨機事件、必然事件、不可能事件的概念；(2)正確理解事件A

出現(xiàn)的頻率的意義；(3)正確理解概率的概念和意義，明確事件A發(fā)生的頻率f0(A)與事

件A發(fā)生的概率P(A)的區(qū)別與聯(lián)系；(3)利用概率知識正確理解現(xiàn)實生活中的實際問題.

2、過程與方法：(1)發(fā)現(xiàn)法教學，通過在拋硬幣、拋骰子的試驗中獲取數(shù)據(jù)，歸納總結(jié)試

驗結(jié)果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，真正做到在探索中學習，在探索中提高；(2)通過對現(xiàn)實生活中的“擲

幣"，”游戲的公平性"，、"彩票中獎”等問題的探究，感知應用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的

方法，理解邏輯推理的數(shù)學方法.

3、情感態(tài)度與價值觀：(1)通過學生自己動手、動腦和親身試驗來理解知識，體會數(shù)學知

識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系；(2)培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點，增強學生的科學意識.

二、重點與難點：(1)教學重點：事件的分類；概率的定義以及和頻率的區(qū)別與聯(lián)系；(2)

教學難點：用概率的知識解釋現(xiàn)實生活中的具體問題.

三、學法與教學用具：1、引導學生對身邊的事件加以注意、分析，結(jié)果可定性地分為三

類事件：必然事件，不可能事件，隨機事件；指導學生做簡單易行的實驗，讓學生無意識地

發(fā)現(xiàn)隨機事件的某一結(jié)果發(fā)生的規(guī)律性：2、教學用具：硬幣數(shù)枚，投燈片，計算機及多媒

體教學.

四、教學設(shè)想：

1、創(chuàng)設(shè)情境：日常生活中，有些問題是很難給予準確無誤的答復的。例如，你明天什么時

間起床？7：20在某公共汽車站候車的人有多少？你購置本期福利彩票是否能中獎？等等。

2、根本概念：

(1)必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；

(2)不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；

(3)確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S確實定事件；

(4)隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；

(5)頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試

驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)上為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例。。)=上為事件A

n

出現(xiàn)的概率：對于.給定的隨機事件A,如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)

穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A),稱為事件A的概率。

(6)頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)m與試驗總次數(shù)n

的比值區(qū)，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，

n

這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機事

件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率

(7)似然法與極大似然法：見課本P111

3、例題分析：

例1判斷以下事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機事件？

(1)''拋一石塊，下落”.

(2)“在標準大氣壓下且溫度低于0C時，冰融化"；

(3)“某人射擊一次，中靶"；

⑷”如果上那么4—4>0”；

(5)“擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面"；

(6)“導體通電后，發(fā)熱”；

(7)”從分別標有號數(shù)1,2,3,4,5的5張標簽中任取一張，得到4號簽"；

(8)”某電話機在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫"；

(9)“沒有水份，種子能發(fā)芽"；

(10)“在常溫下，焊錫熔化”.

答：根據(jù)定義，事件(1)>(4)、(6)是必然事件；事件(2)、(9)、(10)是不可能事

件；事件⑶、⑸、⑺、(8)是隨機事件.

例2某射手在同一條件下進行射擊，結(jié)果如下表所示：

射擊次數(shù)n102050100200500

擊中靶心次數(shù)m8194492178455

擊中靶心的頻率絲

n

(1)填寫表中擊中靶心的頻率;

(2)這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是什么？

分析：事件A出現(xiàn)的頻數(shù)13A與試驗次數(shù)n的比值即為事件A的頻率，當事件A發(fā)生的頻率

fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上時，這個常數(shù)即為事件A的概率。

解：⑴表中依次填入的數(shù)據(jù)為:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.

(2)由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.89,所以這個射手擊一次，擊中靶心的概率約是0.89。

小結(jié)：概率實際上是頻率的科學抽象，求某事件的概率可以通過求該事件的頻率而得之。

練習：一個地區(qū)從某年起幾年之內(nèi)的新生兒數(shù)及其中男嬰數(shù)如下：

時間范圍1年內(nèi)2年內(nèi)3年內(nèi)4年內(nèi)

新生嬰兒數(shù)554496071352017190

男嬰數(shù)2883497069948892

男嬰出生的頻率

(1)填寫表中男嬰出生的頻率(結(jié)果保存到小數(shù)點后第3位);

(2)這一地區(qū)男嬰出生的概率約是多少？

答案：(1)表中依次填入的數(shù)據(jù)為：0.520,0.517,0.517,0.517.

(2)由表中的數(shù)據(jù)及公式fn(A)=上即可求出相應的頻率，而各個頻率均穩(wěn)定在常數(shù)0.518

n

上，所以這一地區(qū)男嬰出生的概率約是0.518.

例3某人進行打靶練習，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，有3次環(huán)中9環(huán)，有4次中

8環(huán)，有1次未中靶，試計算此人中靶的概率，假設(shè)此人射擊1次，試問中靶的概率約為多

大？中10環(huán)的概率約為多大？

分析：中靶的頻數(shù)為9,試驗次數(shù)為10,所以靶的頻率為二=0.9,所以中靶的概率約為0.9.

10

解：此人中靶的概率約為0.9；此人射擊1次，中靶的概率為0.9；中10環(huán)的概率約為0.2.

例4如果某種彩票中獎的概率為」一，那么買1000張彩票一定能中獎嗎？請用概率的意

1000

義解釋。

分析：買1000張彩票，相當于1000次試驗，因為每次試驗的結(jié)果都是隨機的，所以做1000

次試驗的結(jié)果也是隨機的，也就是說，買1000張彩票有可能沒有一張中獎。

解：不一定能中獎，因為，買1000張彩票相當于做1000次試驗，因為每次試驗的結(jié)果都

是隨機的，即每張彩票可能中獎也可能不中獎，因此，1000張彩票中可能沒有一張中獎，

也可能有一張、兩張乃至多張中獎。

例5在一場乒乓球比賽前，裁判員利用抽簽器來決定由誰先發(fā)球，請用概率的知識解釋其

公平性。

分析：這個規(guī)那么是公平的，因為每個運發(fā)動先發(fā)球的概率為0.5,即每個運發(fā)動取得先發(fā)

球權(quán)的概率是0.5o

解：這個規(guī)那么是公平的，因為抽簽上拋后，紅圈朝上與綠圈朝上的概率均是0.5,因此任

何一名運發(fā)動猜中的概率都是0.5,也就是每個運發(fā)動取得先發(fā)球權(quán)的概率都是0.5。

小結(jié)：事實上，只能使兩個運發(fā)動取得先發(fā)球權(quán)的概率都是0.5的規(guī)那么都是公平的。

4、課堂小結(jié)：概率是一門研究現(xiàn)實世界中廣泛存在的隨機現(xiàn)象的科學，正確理解概率的意義

是認識、理解現(xiàn)實生活中有關(guān)概率的實例的關(guān)鍵，學習過程中應有意識形成概率意識，并用

這種意識來理解現(xiàn)實世界，主動參與對事件發(fā)生的概率的感受和探索。

5、自我評價與課堂練習：

1.將一枚硬幣向上拋擲10次，其中正面向上恰有5次是()

A.必然事件B.隨機事件

C.不可能事件D.無法確定

2.以下說法正確的選項是()

A.任一事件的概率總在(0.1)內(nèi)

B.不可能事件的概率不一定為0

C.必然事件的概率一定為1D.以上均不對

3.下表是某種油菜子在相同條件下的發(fā)芽試驗結(jié)果表，請完成表格并答復題。

每批粒數(shù)251070130700150020003000

發(fā)芽的粒數(shù)2496011628263913392715

發(fā)芽的頻率

(1)完成上面表格：

(2)該油菜子發(fā)芽的概率約是多少？

4.某籃球運發(fā)動，在同一條件下進行投籃練習，結(jié)果如下表如示。

投籃次數(shù)

進球次數(shù)m

進球頻率二

n

(1)計算表中進球的頻率;

(2)這位運發(fā)動投籃一次，進球的概率約為多少？

5.生活中，我們經(jīng)常聽到這樣的議論：“天氣預報說昨天降水概率為90%,結(jié)果根本一點雨

都沒下，天氣預報也太不準確了。"學了概率后，你能給出解釋嗎？

6、評價標準：

1.B［提示：正面向上恰有5次的事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，即該事件為隨機事件。］

2.q提示：任一事件的概率總在內(nèi)，不可能事件的概率為o,必然事件的概率為1.］

3.解：(1)填入表中的數(shù)據(jù)依次為1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.8

93,0.903,0.905.(2)該油菜子發(fā)芽的概率約為0.897。

4.解：(1)填入表中的數(shù)據(jù)依次為0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.(2)由于上述頻

率接近0.80,因此，進球的概率約為0.80。

5.解：天氣預報的“降水”是一個隨機事件，概率為90%指明了“降水〃這個隨機事件發(fā)

生的概率，我們知道：在一次試驗中，概率為90%的事件也可能不出現(xiàn)，因此，“昨天沒有

下雨"并不說明"昨天的降水概率為90%"的天氣預報是錯誤的。

7、作業(yè)：根據(jù)情況安排

概率的根本性質(zhì)(第三課時)

一、教學目標：

1、知識與技能：(1)正確理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、

對立事件的概念：

(2)概率的幾個根本性質(zhì)：1)必然事件概率為1,不可能事件概率為0,因此OWP(A)W1；

2)當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B)：3)假設(shè)事件A與B為對立

事件,那么AUB為必然事件，所以P(AUB)=P(A)+P(B)=L于是有P(A)=1—P(B)

(3)正確理解和事件與積事件，以及互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系.

2、過程與方法：通過事件的關(guān)系、運算與集合的關(guān)系、運算進行類比學習，培養(yǎng)學生的

類化與歸納的數(shù)學思想。

3、情感態(tài)度與價值觀：通過數(shù)學活動，了解教學與實際生活的密切聯(lián)系，感受數(shù)學知識

應用于現(xiàn)實世界的具體情境，從而激發(fā)學習數(shù)學的情趣。

二、重點與難點：概率的加法公式及其應用，事件的關(guān)系與運算。

三、學法與教學用具：1、討論法，師生共同討論，從而使加深學生對概率根本性質(zhì)的理

解和認識；2、教學用具：投燈片

四、教學設(shè)計：

1、創(chuàng)設(shè)情境：［1)集合有相等、包含關(guān)系，如｛1，3｝=｛3,1｝,｛2,4｝C｛2,3,4,5｝等;

(2)在擲骰子試驗中，可以定義許多事件如：C尸｛出現(xiàn)1點｝,C2=｛出現(xiàn)2點｝,a=｛出現(xiàn)1

點或2點｝,C,=｛出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)｝……

師生共同討論：觀察上例，類比集合與集合的關(guān)系、運算，你能發(fā)現(xiàn)事件的關(guān)系與運算嗎？

2、根本概念：(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件見課本P115；

(2)假設(shè)ACB為不可能事件，即AAB=6,那么稱事件A與事件B.互斥；

(3)假設(shè)ADB為不可能事件，AUB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；

(4)當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B)；假設(shè)事件A與B為對立

事件,那么AUB為必然事件，所以P(AUB)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B).

3、例題分析：

例1一個射手進行一次射擊,試判斷以下事件哪些是互斥事件?哪些是對立事件？

事件A：命中環(huán)數(shù)大于7環(huán)；事件B：命中環(huán)數(shù)為10環(huán)；

事件C：命中環(huán)數(shù)小于6環(huán)；事件D：命中環(huán)數(shù)為6、7、8、9、10環(huán).

分析：要判斷所給事件是對立還是互斥，首先將兩個概念的聯(lián)系與區(qū)別弄清楚，互斥事件是

指不可能同時發(fā)生的兩事件，而對立事件是建立在互斥事件的根底上，兩個事件中一個不發(fā)

生，另一個必發(fā)生。

解：A與C互斥(不可能同時發(fā)生)，B與C互斥，C與D互斥，C與D.是對立事件(至少一

個發(fā)生).

例2拋擲一.骰子，觀察擲出的點數(shù),設(shè)事件A為'出現(xiàn)奇數(shù)點"，B為'出現(xiàn)偶數(shù)點"，P(A)=,，

2

P(B)=,，求出”出現(xiàn)奇數(shù)點或偶數(shù)點".

2

分析：拋擲骰子，事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”和"出現(xiàn)偶數(shù)點”是彼此互斥的，可用運用概率的加

法公式求解.

解：記“出現(xiàn)奇數(shù)點或偶數(shù)點"為事件C,那么C=AUB冏的A、B是互斥事件，所以P(C)=P(A)+

11

P(B—+;=1

22

答：出現(xiàn)奇數(shù)點或偶數(shù)點的概率為1

例3如果從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張，那么取到紅心(事件A)的概率

是,，取到方塊(事件B)的概率是問：

44

(1)取到紅色牌(事件C)的概率是多少？

(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？

分析：事件C是事件A與事件B的并，且A與B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求

解，事件C與事件D是對立事件，因此P(D)=1—P(C).

解：(1)P(C)=P(A)+P(B)=，(2)P(D)=1—P(C)=，

22

例4袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率

為L得到黑球或黃球的概率是工，得到黃球或綠球的概率也是工，試求得到黑球、得

31212

到黃球、得到綠球的概率各是多少？

分析：利用方程的思想及互斥事件、對立事件的概率公式求解.

解：從袋中任取一球，記事件“摸到紅球”、"摸到黑球”、"摸到黃球”、"摸到綠球”為

A、B、C、D,那么有P(BUC)=P(B)+P(C)=—；P(CUD)=P(C)+P(D)=』；P(BUCU

1212

D)=1-P(A)=1-'=2,解的P(B)=L,P(C)=L,P(D)=L

33464

答:得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率分別是,、

464

4、課堂小結(jié)：概率的根本性質(zhì)：1)必然事件概率為1,不可能事件概率為0,因此0〈P(A)

W1；2)當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B)；3)假設(shè)事件A與B

為對立事件,那么AUB為必然事件,所以P(AUB)=P(A)+P(B)=1,于是有P(件=1—P(B)；

3)互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同

時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：(1)事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；(2)事件A不發(fā)生

且事件B發(fā)生；(3)事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B有且僅

有一個發(fā)生，其包括兩種情形；(1)事件A發(fā)生B不發(fā)生；(2)事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，

對立事件互斥事件的特殊情形。

5、自我評價與課堂練習：

1.從一堆產(chǎn)品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，判

斷以下每件事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件。

(1)恰好有1件次品恰好有2件次品；

(2)至少有1件次品和全是次品；

(3)至少有1件正品和至少有1件次品；

(4)至少有1件次品和全是正品；

2.拋擲一粒骰子，觀察擲出的點數(shù)，設(shè)事件A為出現(xiàn)奇數(shù)，事件B為出現(xiàn)2點，P(A)

2

P(B)=-,求出現(xiàn)奇數(shù)點或2點的概率之和。

6

3.某射手在一次射擊訓練中，射中10環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28,

計算該射手在一次射擊中：

(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率；

(2)少于7環(huán)的概率。

4.盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，從中取出2粒都是黑子的概

率是上，從中取出2粒都是白子的概率是匕，現(xiàn)從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是

735

多少？

6、評價標準：

1.解：依據(jù)互斥事件的定義，即事件A與事件B在一定試驗中不會同時發(fā)生知：(1)恰好

有1件次品和恰好有2件次品不可能同時發(fā)生，因此它們是互斥事件，又因為它們的并不是

必然事件，所以它們不是對立事件，同理可以判斷：(2)中的2個事件不是互斥事件，也不

是對立事件。(3)中的2個事件既是互斥事件也是對立事件。

2.解：“出現(xiàn)奇數(shù)點”的概率是事件A,“出現(xiàn)2點”的概率是事件B,“出現(xiàn)奇數(shù)點或2點”

117

的概率之和為P(C)=P(A)+P(B)=-+-=-

263

3.解：(1)該射手射中10環(huán)與射中9環(huán)的概率是射中10環(huán)的概率與射中9環(huán)的概率的和,

即為0.21+0.23=0.44。(2)射中不少于7環(huán)的概率恰為射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率

的和，即為0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于7環(huán)的事件與射中不少于7環(huán)的事件為

對立事件，所以射中少于7環(huán)的概率為1-0.97=0.03。

4.解：從盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰為取2粒白子的概率與2粒黑子的概

率的和，即為1土+12匕=1:7

73535

7、作業(yè)：根據(jù)情況安排

3.2古典概型〔第四、五課時〕

-3.2.2古典概型及隨機數(shù)的產(chǎn)生

一、教學目標：

1、知識與技能：(1)正確理解古典概型的兩大特點：1)試驗中所有可能出現(xiàn)的根本領(lǐng)件

只有有限個；2)每個根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等；

A包含的基本事件個數(shù)

(2)掌握古典概型的概率計算公式：P(A)

總的基本事件個數(shù)

（3）了解隨機數(shù)的概念；

（4）利用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)，并能直接統(tǒng)計出頻數(shù)與頻率。

2、過程與方法：（1）通過對現(xiàn)實生活中具體的概率問題的探究，感知應用數(shù)學解決問題

的方法，體會數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力；（2）通過模擬試驗，感知應

用數(shù)字解決問題的方法，自覺養(yǎng)成動手、動腦的良好習慣。

3、情感態(tài)度與價值觀：通過數(shù)學與探究活動，體會理論來源于實踐并應用于實踐的辯證

唯物主義觀點.

二、重點與難點：1、正確理解掌握古典概型及其概率公式；2、正確理解隨機數(shù)的概念，

并能應用計算機產(chǎn)生隨機數(shù).

三、學法與教學用具：1、與學生共同探討，應用數(shù)學解決現(xiàn)實問題；2、通過模擬試驗，

感知應用數(shù)字解決問題的方法，自覺養(yǎng)成動手、動腦的良好習慣.

四、教學設(shè)想：

1、創(chuàng)設(shè)情境：（1）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，結(jié)果只有2個，即“正面朝上”或"反面朝上”，

它們都是隨機事件。

（2）一個盒子中有10個完全相同的球，分別標以號碼1,2,3,…，10,從中任取一球，只

有10種不同的結(jié)果，即標號為1,2,3…，10。

師生共同探討：根據(jù)上述情況，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特點？

2、根本概念：

（1）根本領(lǐng)件、古典概率模型、隨機數(shù)、偽隨機數(shù)的概念見課本P121~126;

A包含的基本事件個數(shù)

[2）古典概型的概率計算公式：P（A）=

總的基本事件個數(shù)

3、例題分析：

課本例題略

例1.擲一顆骰子，觀察擲出的點數(shù)，求擲得奇數(shù)點的概率。

分析：擲骰子有6個根本領(lǐng)件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。

解：這個試驗的根本領(lǐng)件共有6個，即（出現(xiàn)1點）、（出現(xiàn)2點）……、（出現(xiàn)6點）

所以根本領(lǐng)件數(shù)n=6,

事件A=（擲得奇數(shù)點）=（出現(xiàn)1點，出現(xiàn)3點，出現(xiàn)5點）,

其包含的根本領(lǐng)件數(shù)m=3

所以，P(A)=-=-=1=0.5

n62

小結(jié)：利用古典概型的計算公式時應注意兩點：

11)所有的根本領(lǐng)件必須是互斥的；

(2)m為事件A所包含的根本領(lǐng)件數(shù)，求m值時，要做到不重不漏。

例2從含有兩件正品a1，az和一件次品bi的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放

回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率。

解：每次取出一個，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的根本領(lǐng)件有6個，

即(a”a2)和，b2),(a2,aj,(a?,bi)>(bi，ai)>(bz，a2)o其中小括號內(nèi)左邊的

字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)用A表示“取出的兩種中，

恰好有一件次品"這一事件，那么

A=[(ai，bi),(a2,bj,(bi,ai),(bi,a?)]

42

事件A由4個根本領(lǐng)件組成，因而，P(A)=-=-

63

例3現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品：

(1)如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率；

12)如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率.

分析：(1)為返回抽樣；(2)為不返回抽樣.

解：(1)有放回地抽取3次，按抽取順序(X,y,z)記錄結(jié)果，那么x,y,z都有10種可能，

所以試驗結(jié)果有10X10X10=1()3種；設(shè)事件A為“連續(xù)3次都取正品"，那么包含的根本

領(lǐng)件共有8義8X8=8：'種，因此，P(A)=—=0.512.

1()3

[2)解法1：可以看作不放回抽樣3次，順序不同，根本領(lǐng)件不同，按抽取順序記錄(x,y,z),

那么x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗的所有結(jié).果為10X9X8=720

種.設(shè)事件B為“3件都是正品〃，那么事件B包含的根本領(lǐng)件總數(shù)為8X7X6=336,所以

336

P(B)=——467.

720

解法2：可以看作不放回3次無順序抽樣，先按抽取順序(x,y,z)記錄結(jié)果，那么x有10

種可能，y有9種可能，z有8種可能，但(x,y,z),(x,z,y),(y,x,z),(y,z,x),(z,x,y),

(z,y,x),是相同的，所以試驗的所有結(jié)果有10X9X8+6=120,按同樣的方法，事件B包

含的根本領(lǐng)件個數(shù)為8X7X6+6=56,因此P(B)=—^0.467.

120

小結(jié)：關(guān)于不放回抽樣，計算根本領(lǐng)件個數(shù)時.，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順

序的，其結(jié)果是一樣的，但不管選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否那么會導致錯誤.

例4利用計算器產(chǎn)生10個1~100之間的取整數(shù)值的隨機數(shù)。

解：具體操作如下：鍵入

RANDI(1,100j

STATDEG

\)

RAND(1,100)

3.

-------------------------------/

反復操作10次即可得之

小結(jié)：利用計算器產(chǎn)生隨機數(shù)，可以做隨機模擬試驗，在日常生活中，有著廣泛的應用。

例5某籃球愛好者，做投籃練習，假設(shè)其每次投籃命中的概率是40%,那么在連續(xù)三次投

籃中，恰有兩次投中的概率是多少？

分析：其投籃的可能結(jié)果有有限個，但是每個結(jié)果的出現(xiàn)不是等可能的，所以不能用古典概

型的概率公式計算，我們用計算機或計算器做模擬試驗可以模擬投籃命中的概率為40%?

解：我們通過設(shè)計模擬試驗的方法來解決問題，利用計算機或計算器可以生產(chǎn)。到9之間的

取整數(shù)值的隨機數(shù)。.

我們用1,2,3,4表示投中，用5,6,7,8,9,0表示未投中，這樣可以表達投中的

概率是40%。因為是投籃三次，所以每三個隨機數(shù)作為一組。

例如：產(chǎn)生20組隨機數(shù):

812,932,569,683,271,989,730,537,925,

907,113,966,191,431,257,393,027,556.

這就相當于做了20次試驗，在這組數(shù)中，如果恰有兩個數(shù)在1,2,3,4中，那么表示

恰有兩次投中，它們分別是812,932,271,191,393,即共有5個數(shù)，我們得到了三次投

籃中恰有兩次投中的概率近似為2=25%。

20

小結(jié)：(1)利用計算機或計算器做隨機模擬試驗，可以解決非古典概型的概率的求解問題。

(2)對于上述試驗，如果親手做大量重復試驗的話，花費的時間太多，因此利用計算

機或計算器做隨機模擬試驗可以大大節(jié)省時間。

(3)隨機函數(shù)RANDBETWEEN(a,b)產(chǎn)生從整數(shù)a到整數(shù)b的取整數(shù)值的隨機數(shù)。

例6你還知道哪些產(chǎn)生隨機數(shù)的函數(shù)？請列舉出來。

解：(1)每次按畫同反回鍵都會產(chǎn)生一個?？谥g的隨機數(shù)，而且出現(xiàn)0~1內(nèi)任何一

個數(shù)的可能性是相同的。

(2)還可以使用計算機軟件來產(chǎn)生隨機數(shù)，如Scilab中產(chǎn)生隨機數(shù)的方法。Scilab中用

rand()函數(shù)來產(chǎn)生0口之間的隨機數(shù)，每周用一次rand{)函數(shù)，就產(chǎn)生一個隨機數(shù)，如

果,要產(chǎn)生a~b之間的隨機數(shù)，可以使用變換rand()*(b-a)+a得到.

4、課堂小結(jié)：本節(jié)主要研究了古典概型的概率求法，解題時要注意兩點：

(1)古典概型的使用條件：試驗結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。

(2)古典概型的解題步驟：

①求出總的根本領(lǐng)件數(shù)；

包含的基本事件數(shù)

②求出事件A所包含的根本領(lǐng)件數(shù)，然后利用公式P(A)==A短及三濤修

總的基本事件個數(shù)

(3)隨機數(shù)量具有廣泛的應用，可以幫助我們安排和模擬一些試驗，這樣可以代替我們

自己做大量重復試驗，比方現(xiàn)在很多城市的重要考試采用產(chǎn)生隨機數(shù)的方法把考生分配到各

個考場中。

5、自我評價與課堂練習：

1.在40根纖維中，有12根的長度超過30mm,從中任取一根，取到長度超過30mm的纖

維的概率是()

B.----C.—D.以上都不對

4030

2.盒中有10個鐵釘，其中8個是合格的，2個是不合格的，從中任取一個恰為合格鐵釘?shù)?/p>

概率.是

1141

A.-B.-C.-D.—

54510

3.在大小相同的5個球中，2個是紅球，3個是白球，假設(shè)從中任取2個，那么所取的2

個球中至少有一個紅球的概率是O

4.拋擲2顆質(zhì)地均勻的骰子，求點數(shù)和為8的概率。

5.利用計算器生產(chǎn)10個1到20之間的取整數(shù)值的隨機數(shù)。

6.用0表示反面朝上，1表正面朝上，請用計算器做模擬擲硬幣試驗。

6、評價標準：

1.B[提示：在40根纖維中，有12根的長度超過30mm,即根本領(lǐng)件總數(shù)為40,且它們是

等可能發(fā)生的，所求事件包含12個根本領(lǐng)件，故所求事件的概率為匕，因此選B.]

2.C[提示：（方法1）從盒中任取一個鐵釘包含根本領(lǐng)件總數(shù)為10,其中抽到合格鐵訂（記

84

為事件A）包含8個根本領(lǐng)件，所以，所求概率為P（A）=2=—.（方法2）此題還可以用

105

對立事件的概率公式求解，因為從盒中任取一個鐵釘，取到合格品（記為事件A）與取到不

24

合格品（記為事件B）恰為對立事件，因此，P（A）=1-P（B）=1--=-.]

105

7

3.歷【提示；記大小相同的5個球分別為紅1，紅2,白1，白2,白3,那么根本領(lǐng)件為：（紅

1,紅2），（紅1，白1），（紅1，白2）（紅1，白3），（紅2，白3），共10個，其中至少有一

7

個紅球的事件包括7個根本領(lǐng)件，所以，所求事件的概率為一.此題還可以利用“對立事件

的概率和為1”來求解，對于求“至多”"至少”等事件的概率頭問題，常采用間接法，即

求其對立事件的概率P（A）,然后利用P（A）1-P（A）求解]。

4.解：在拋擲2顆骰子的試驗中，每顆骰子均可出現(xiàn)1點，2點，…，6點6種不同的結(jié)果,

我們把兩顆骰子標上記號1,2以便區(qū)分，由于1號骰子的一個結(jié)果，因此同時擲兩顆骰子

的結(jié)果共有6X6=36種，在上面的所有結(jié)果中，向上的點數(shù)之和為8的結(jié)果有（2,6）,（3,

5）,（4,4）,（5,3）,[6,2）5種，所以，所求事件的概率為

5.解：具體操作如下

鍵入

反復按——ENTER>鍵10次即可得到。

6.解:具體操作如下:

鍵入

PANDRANDI

7、作業(yè)：根據(jù)情況安排

3.3幾何概型

-3.3.2幾何概型及均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生

一、教學目標：

1、知識與技能：（1）正確理解兒何概型的概念;

（2）掌握幾何概型的概率公式:

P2—構(gòu)成事件一的區(qū)域長度（面積或體積）_______

試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）’

⑶會根據(jù)古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系來判別某種概型是古典概型還是幾何概，型;

⑷了解均勻隨機數(shù)的概念;

掌握利用計算器（計算機）產(chǎn)生均勻隨機數(shù)的方法;

(6)會利用均勻隨機數(shù)解決具體的有關(guān)概率的問題.

2、過程與方法：（1）發(fā)現(xiàn)法教學，通過師生共同探究，體會數(shù)學知識的形成，學會應用

數(shù)學知識來解決問題，體會數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力；（2）通過

模擬試驗，感知應用數(shù)字解決問題的方法，自覺養(yǎng)成動手、動腦的良好習慣。

3、情感態(tài)度與價值觀：本節(jié)課的主要特點是隨機試驗多，學習時養(yǎng)成勤學嚴謹?shù)膶W習習

慣。

二、重點與難點：

1、幾何概型的概念、公式及應用;

2、利用計算器或計算機產(chǎn)生均勻隨機數(shù)并運用到概率的實際應用中.

三、學法與教學用具：1、通過對本節(jié)知識的探究與學習，感知用圖形解決概率問題的方

法，掌握數(shù)學思想與邏輯推理的數(shù)學方法；2、教學用具：投燈片，計算機及多媒體教學.

四、教學設(shè)想：

1、創(chuàng)設(shè)情境：在概率論開展的早期，人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個等可能結(jié)果

的隨機試驗是不夠的，還必須考慮有無限多個試驗結(jié)果的情況。例如一個人到單位的時間可

能是8：00至9：00之間的任何一個時刻；往一個方格中投一個石子，石子可能落在方格中

的任何一點……這些試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果都是無限多個。

2、根本概念：（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面

積或體積）成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型；

（2）幾何概型的概率公式：

c構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）

PfAI=------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）’

（3）幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（根本領(lǐng)件）有無限多個；2）每個

根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等.

3、例題分析：

課本例題略

例1判以下試驗中事件A發(fā)生的概度是古典概型，

還是幾何概型。

（1）拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個“4點”的概率；

（2）如課本P132圖3.3-1中的⑵所示，圖中有一個轉(zhuǎn)盤，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當

指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否那么乙獲勝，求甲獲勝的概率。

分析：此題考查的幾何概型與古典概型的特點，古典概型具有有限性和等可能性。而幾何概

型那么是在試驗中出現(xiàn)無限多個結(jié)果，且與事件的區(qū)域長度有關(guān)。

解：（1）拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6X6=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古

典概型；

（2）游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影局部"，概

率可以用陰影局部的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域長度有關(guān)，因此屬于幾何概型.

例2某人欲從某車站乘車出差，該站發(fā)往各站的客車均每小時一班，求此人等車時間不多

于10分鐘的概率.

分析:假設(shè)他在0?60分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的，但在0到60分鐘之間

有無窮多個時刻，不能用古典概型公式計算隨機事件發(fā)生的概率.可以通過幾何概型的求概

率公式得到事件發(fā)生的概率.因為客車每小時一班，他在0到60分鐘之間任何一個時刻到站

等車是等可能的，所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的長度有關(guān)，而與該時

間段的位置無關(guān),這符合幾何概型的條件.

解:設(shè)A=｛等待的時間不多于10分鐘｝，我們所關(guān)心的事件A恰好是到站等車的時刻位于

［50,60］這一時間段內(nèi)，因此由幾何概型的概率公式，得P(A)=竺二四=_L,即此人等車時

606

間不多于10分鐘的概率為

6

小結(jié)：在本例中，到站等車的時刻X是隨機的，可以是0到60之間的任何一刻，并且是等

可能的，我們稱X服從［0,60］上的均勻分布，X為［0,60］上的均勻隨機數(shù).

練習：1.地鐵列車每lOmin一班，在車站停Imin,求乘客到達站臺立即乘上車的概率。

2.兩根相距6m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，求燈與兩端距離都大于2m的

概率.

解：1.由幾何概型知，所求事件A的概率為P(A)=—；

11

21

2.記“燈與兩端距離都大于2m”為事件A,那么P(A)=-=

63

例3在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲藏著石油，假設(shè)在海域中任意一點

鉆探，鉆到油層面的概率是多少？

分析：石油在1萬平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機的而40平方千米可看作構(gòu)

成事件的區(qū)域面積，有兒何概型公式可以求得概率。

儲藏石油的大陸架面積.二上二。。04

解：記“鉆到油層面"為事件A,那么P(A)=

所有海域的大陸架面積10000,

答：鉆到油層面的概率是0Q04.

例4在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一種帶麥誘病的種子，從中隨機取出10毫升，那么取出

的種子中含有麥誘病的種子的概率是多少？

分析：病種子在這1升中的分布可以看作是隨機的，取得的10毫克種子可視作構(gòu)成事件的

區(qū)域，1升種子可視作試驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，可用“體積比”公式計算其概率。

解：取出10毫升種子，其中“含有病種子”這一事件記為A,那么

D/.、取出的種子體積10…

所有種子的體積.

答：取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是0.0L

例5取一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1m的

概率有多大？

分析：在任意位置剪斷繩子，那么剪斷位置到一端點的距離取遍［0,3］內(nèi)的任意數(shù)，并且每

一個實數(shù)被取到都是等可能的。因此在任意位置剪斷繩子的所有結(jié)果(根本領(lǐng)件)對應［0,

3］上的均勻隨機數(shù)，其中取得的［1,2］內(nèi)的隨機數(shù)就表示剪斷位置與端點距離在［1,2］內(nèi)，

也就是剪得兩段長都不小于1m。這樣取得的［1,2］內(nèi)的隨機數(shù)個數(shù)與［0,3］內(nèi)個數(shù)之比就

是事件A發(fā)生的概率。

解法L(1)利用計算器或計算機產(chǎn)生一組0至U1區(qū)間的均勻隨機數(shù)a,=RAND.

(2)經(jīng)過伸縮變換，a=ai*3.

(3)統(tǒng)計出［1,2］內(nèi)隨機數(shù)的個數(shù)國和［0,3］內(nèi)隨機數(shù)的個數(shù)N.

N

(4)計算頻率fn(A)=，即為概率P(A)的近似值.

N

解法2：做一個帶有指針的圓盤，把圓周三等分，標上刻度［0,3］(這里3和。重合).轉(zhuǎn)

動圓盤記下指針在［1,2］(表示剪斷繩子位置在［1,2］范圍內(nèi))的次數(shù)?及試驗總次數(shù)N,

N

那么4伊)=」即為概率P(A)的近似值.

N

小結(jié)：用隨機數(shù)模擬的關(guān)鍵是把實際問題中事件A及根本領(lǐng)件總體對應的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機

數(shù)的范圍。解法2用轉(zhuǎn)盤產(chǎn)生隨機數(shù)，這種方法可以親自動手操作，但費時費力，試驗次數(shù)

不,可能很大；解法1用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)，可以產(chǎn)生大量的隨機數(shù)，又可以自動統(tǒng)計試驗

的結(jié)果，同時可以在短時間內(nèi)屢次重復試驗，可以對試驗結(jié)果的隨機性和規(guī)律性有更深刻的

認識.

例6在長為12cm的線段AB上任取一點M,并以線段AM為邊作正方形，求這個正方形的

面積介于36cm2與81cm2之間的概率.

分析：正方形的面積只與邊長有關(guān)，此題可以轉(zhuǎn)化為在12cm長的線段AB上任取一點M,

求使得AM的長度介于6cm與9cm之間的概率.

解：11)用計算機產(chǎn)生一組［0,1］內(nèi)均勻隨機數(shù)ai=RAND.

(2)經(jīng)過伸縮變換,a=ai*12得到［0,12］內(nèi)的均勻隨機數(shù).

(3)統(tǒng)計試驗總次數(shù)N