2011屆高考數(shù)學(xué)(shùxué)總復(fù)習(xí)直通車(chē)課件----計(jì)數(shù)原理第一頁(yè)，共45頁(yè)。第一節(jié)兩個(gè)根本計(jì)數(shù)(jìshù)原理根底(gēndǐ)梳理1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理(加法原理)完成(wánchéng)一件事有兩類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法，那么完成(wánchéng)這件事共有N=m+n種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理(乘法原理)完成(wánchéng)一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成(wánchéng)這件事共有N=m×n種不同的方法.典例分析題型一分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用第二頁(yè)，共45頁(yè)?！纠?】甲同學(xué)有假設(shè)干本課外參考書(shū)，其中有5本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，4本不同的物理書(shū)，3本不同的化學(xué)書(shū).現(xiàn)在乙同學(xué)向甲同學(xué)借書(shū),試問(wèn)：〔1〕假設(shè)借一本書(shū)，那么(nàme)有多少種不同的借法？〔2〕假設(shè)每科各借一本，那么(nàme)有多少種不同的借法？〔3〕假設(shè)借兩本不同學(xué)科的書(shū)，那么(nàme)有多少種不同的借法？分析仔細(xì)區(qū)分是“分類(lèi)(fēnlèi)〞還是“分步〞.解〔1〕因?yàn)樾柰瓿傻氖虑槭恰敖枰槐緯?shū)〞，所以借給他數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)書(shū)中的任何一本，都可以完成這件事情.故用分類(lèi)(fēnlèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有5+4+3=12〔種〕不同的借法.〔2〕需完成的事情是“每科各借一本書(shū)〞，意味著要借給乙3本書(shū)，只有從數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科中各借一本，才能完成這件事情.故用分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×4×3=60〔種〕不同的借法.〔3〕需完成的事情是“從三種學(xué)科的書(shū)中借兩本不同學(xué)科的書(shū)〞，要分三種情況：第三頁(yè)，共45頁(yè)。①借一本數(shù)學(xué)書(shū)和一本物理書(shū)，只有兩本書(shū)都借，事情才能完成.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5×4=20〔種〕借法；②借一本數(shù)學(xué)書(shū)和一本化學(xué)書(shū)，同理由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5×3=15〔種〕借法；③借一本物理書(shū)和一本化學(xué)書(shū)，同理由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有4×3=12〔種〕借法.而上述的每一種(yīzhǒnɡ)借法都可以獨(dú)立完成這件事情，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，共有20+15+12=47〔種〕不同的借法.學(xué)后反思正確區(qū)分和使用兩個(gè)原理(yuánlǐ)是學(xué)好本章的關(guān)鍵.區(qū)分“分類(lèi)〞與“分步〞的依據(jù)在于能否“一次性〞完成.假設(shè)能“一次性〞完成，那么不需“分步〞，只需分類(lèi)；否那么就分步處理.舉一反三(jǔyīfǎnsān)第四頁(yè)，共45頁(yè)。1.5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中(qízhōng)的一個(gè)小組，那么不同的報(bào)名方法共有()A.10種B.20種C.25種D.32種解析:5位同學(xué)中，每位同學(xué)均有2種報(bào)名方法，所以(suǒyǐ)由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，報(bào)名方法共有=32(種).答案:D題型二兩個(gè)計(jì)數(shù)(jìshù)原理的綜合應(yīng)用【例2】〔12分〕現(xiàn)有高一四個(gè)班學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組.〔1〕選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？〔2〕每班選一名組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？〔3〕推選二人作中心發(fā)言，這二人需來(lái)自不同的班級(jí)，有多少種不同的選法？第五頁(yè)，共45頁(yè)。分析(fēnxī)〔1〕是從四個(gè)班的34人中選一人，應(yīng)分類(lèi)求解；〔2〕從各班中選一人，共選4人，應(yīng)分步求解；〔3〕是先根據(jù)不同班級(jí)分類(lèi)，再分步從兩個(gè)班級(jí)中各選1人.解〔1〕分四類(lèi)(sìlèi)，第一類(lèi)，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第二類(lèi)，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法；第三類(lèi)，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第四類(lèi)(sìlèi)，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法.所以，不同的選法共有N=7+8+9+10=34〔種〕……3′(2)分四步，第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長(zhǎng)，所以，不同的選法共有N=7×8×9×10=5040〔種〕……………6′〔3〕分六類(lèi)，每類(lèi)又分兩步，從一班、二班學(xué)生中各選1人，有7×8種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有7×9種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有7×10種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有8×9種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有8×10種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有9×10種不同的選法…………..10′所以，不同的選法共有N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431〔種〕……………………..12′第六頁(yè)，共45頁(yè)。學(xué)后反思對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，不能只用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決時(shí)，可以綜合應(yīng)用(yìngyòng)兩個(gè)原理，可以先分類(lèi)，在某一類(lèi)中再分步；也可先分步，在某一步中再分類(lèi).舉一反三2.某通訊公司推出一組卡號(hào)碼，卡號(hào)的前七位數(shù)字固定，從“×××××××0000〞到“×××××××9999〞共10000個(gè)號(hào)碼.公司規(guī)定：凡卡號(hào)的后四位帶有數(shù)字“4〞或“7〞的一律作為(zuòwéi)“優(yōu)惠卡〞，那么這組號(hào)碼中“優(yōu)惠卡〞的個(gè)數(shù)為〔〕A.2000B.4006C.5904D.8320解析(jiěxī):10000個(gè)號(hào)碼中不含4、7的有=4096〔個(gè)〕，故這組號(hào)碼中“優(yōu)惠卡〞的個(gè)數(shù)為10000-4096=5904.答案:C第七頁(yè)，共45頁(yè)?！纠?】〔2019·沈陽(yáng)模擬〕一生產(chǎn)過(guò)程有4道工序，每道工序需要安排一人照看.現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，那么不同(bùtónɡ)的安排方案共有()A.24種B.36種C.48種D.72種分析首先根據(jù)第一道工序(gōngxù)將問(wèn)題分為兩類(lèi)，對(duì)兩類(lèi)問(wèn)題分別求解，再由分步計(jì)數(shù)原理求解.解依題意知,假設(shè)第一道工序由甲來(lái)完成，那么第四道工序必由丙來(lái)完成，故完成方案(fāngàn)共有4×3=12(種)；假設(shè)第一道工序由乙來(lái)完成，那么第四道工序必由甲、丙二人之一來(lái)完成，故完成方案(fāngàn)共有1×2×4×3=24(種).所以不同的安排方案(fāngàn)共有12+24=36(種).學(xué)后反思有些較復(fù)雜的問(wèn)題，既要“分類(lèi)〞又要“分步〞，應(yīng)明確按標(biāo)準(zhǔn)“分類(lèi)〞、“分步〞，不同的標(biāo)準(zhǔn)可以有不同的解法，解題時(shí)應(yīng)擇優(yōu)而行.第八頁(yè)，共45頁(yè)。舉一反三(jǔyīfǎnsān)3.〔2019·重慶〕某人有4種顏色的燈泡〔每種顏色的燈泡足夠多〕，要在如下圖的6個(gè)點(diǎn)A、B、C、上各裝一個(gè)燈泡.要求同一條線段兩端(liǎnɡduān)的燈泡不同色，那么每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方法共有種〔用數(shù)字作答〕.解析:處4種，處3種，處2種，那么底面共4×3×2=24〔種〕.根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)兩處燈泡的顏色相同或不相同分為兩類(lèi)：(1)假設(shè)(jiǎshè)A,相同，那么B處有3種，C處有1種，那么共有3種;(2)假設(shè)(jiǎshè)A,不同，那么A處有3種,B處有2種，C處有1種，那么共有3×2=6〔種〕.由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得上底面共9種，再由分步計(jì)數(shù)原理得共有24×9=216〔種〕.答案:216第九頁(yè)，共45頁(yè)。易錯(cuò)警示(jǐnɡshì)【例1】植樹(shù)(zhíshù)節(jié)那天，四位同學(xué)植樹(shù)(zhíshù)，現(xiàn)有三棵不同的樹(shù)，那么不同的植法結(jié)果為()A.3！B.4！C.D.錯(cuò)解C錯(cuò)解分析在利用分步計(jì)數(shù)原理解決此題時(shí)，不少同學(xué)搞錯(cuò)了事件(shìjiàn)的主體，這里應(yīng)該是把樹(shù)植完，對(duì)植的樹(shù)分步，而不是對(duì)人分步.有很多同學(xué)分四步，即得3×3×3×3=〔種〕，錯(cuò)選C.正解完成這件事分三步，即第一步植第一棵樹(shù)，共4種不同的方法；第二步，植第二棵樹(shù)，共4種不同的方法；第三步，植第三棵樹(shù)，共4種不同的方法.由分步計(jì)數(shù)原理得N=4×4×4=〔種〕.應(yīng)選D.第十頁(yè)，共45頁(yè)?！纠?】在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有4項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生(chǎnshēng)，那么不同的奪冠情況種數(shù)為()A.B.C.D.錯(cuò)解把4個(gè)冠軍排在甲、乙、丙三個(gè)位置(wèizhi)上，應(yīng)選A.錯(cuò)解分析錯(cuò)解是沒(méi)有理解乘法原理的概念，盲目(mángmù)地套用公式.正解4項(xiàng)比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項(xiàng)冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有3×3×3×3=(種).應(yīng)選C.說(shuō)明：此題還有這樣的錯(cuò)解，甲、乙、丙奪冠均有4種情況，由乘法原理得.這是由于沒(méi)有考慮到某項(xiàng)冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.第十一頁(yè)，共45頁(yè)?？键c(diǎn)(kǎodiǎn)演練10.某公共汽車(chē)(gōnggòngqìchē)上有10名乘客，要求在沿途的5個(gè)車(chē)站全部下完，乘客下車(chē)的可能方式有——種.解析:由題意易知每名乘客都有5種不同(bùtónɡ)的下法，依據(jù)乘法計(jì)數(shù)原理共有〔種〕.答案:11.〔改編題〕由1，2，3，4可以組成多少個(gè)自然數(shù)？〔數(shù)字可以重復(fù)，最多只能是四位〕第十二頁(yè)，共45頁(yè)。解析：組成的自然數(shù)可分以下四類(lèi)：第一類(lèi)：組成一位自然數(shù)共有4個(gè)；第二類(lèi)：組成二位自然數(shù)，可分兩步來(lái)完成，先取十位上的數(shù)字，再取出個(gè)位上的數(shù)字，共有4×4=16〔個(gè)〕；第三類(lèi)：組成三位自然數(shù)，可分三步來(lái)完成，先取百位，再取十位，最后取個(gè)位，共有4×4×4=64〔個(gè)〕；第四類(lèi)：組成四位自然數(shù)，方法同上，共有4×4×4×4=256〔個(gè)〕.由分類(lèi)計(jì)數(shù)(jìshù)原理可組成的不同自然數(shù)的個(gè)數(shù)為4+16+64+256=340.12.用5種不同的顏色給圖中4個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，假設(shè)要求(yāoqiú)相鄰〔有公共邊〕的區(qū)域不同色，那么共有多少種不同的涂色方法？解析(jiěxī)：第一類(lèi)：1號(hào)區(qū)域與3號(hào)區(qū)域同色時(shí)，有5×4×1×4＝80(種)涂法；第二類(lèi)：1號(hào)區(qū)域與3號(hào)區(qū)域異色時(shí)，有5×4×3×3＝180(種)涂法.依據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知不同的涂色方法有80＋180＝260(種).第十三頁(yè)，共45頁(yè)。第二節(jié)排列組合根底(gēndǐ)梳理排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)定義1.排列的概念：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素,

，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2.排列數(shù)的概念：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的

叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)

表示.1.組合的概念：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素

，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.2.組合數(shù)的概念：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的

，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)

表示.第十四頁(yè)，共45頁(yè)。公式排列數(shù)公式：組合數(shù)公式：性質(zhì)(1)0!=1;(2)=.(1)規(guī)定：備注

m,n∈N*,m≤n.n(n-1)…2·1第十五頁(yè)，共45頁(yè)。典例分析(fēnxī)題型一根本排列(páiliè)問(wèn)題【例1】從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任(dānrèn)班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任(dānrèn)文娛委員，那么不同的選法共有___種〔用數(shù)字作答〕.分析先選甲、乙以外的人擔(dān)任文娛委員，然后再選其他委員.解先從其余3人中選出1人擔(dān)任文娛委員，再?gòu)?人中選2人擔(dān)任學(xué)習(xí)委員和體育委員，3=3×4×3=36(種).學(xué)后反思解決某些特殊元素不能排在某些特殊位置的排列問(wèn)題，主要方法是將這些特殊元素排在其他位置，或?qū)⑵渌翘厥庠嘏旁谶@些特殊位置來(lái)進(jìn)行解決.第十六頁(yè)，共45頁(yè)。舉一反三(jǔyīfǎnsān)1.〔2019·全國(guó)〕如圖，一環(huán)形花壇(huātán)分成A、B、C、D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊地里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，那么不同的種法總數(shù)為〔〕A.96B.84C.60D.48解析(jiěxī):分三類(lèi)：種兩種花有種種法；種三種花有2種種法；種四種花有種種法.故共有+2+=84〔種〕.答案:B第十七頁(yè)，共45頁(yè)。題型二有限制條件的排列【例2】記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同(bùtónɡ)的排法共有〔〕A.1440種B.960種C.720種D.480種分析解決此題的關(guān)鍵是將2位老人相鄰捆綁，作為(zuòwéi)一個(gè)特殊元素排列.解5名志愿者先排成一排，有種方法，2位老人作為一組插入其中(qízhōng)，且兩位老人有左右順序，共有2×4×=960〔種〕不同的排法.學(xué)后反思解決要求幾個(gè)元素相鄰的問(wèn)題，一般是將這幾個(gè)元素進(jìn)行捆綁看成一個(gè)“元素〞參與排列，然后這個(gè)“元素〞的內(nèi)部再進(jìn)行排列.舉一反三第十八頁(yè)，共45頁(yè)。2.從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動(dòng)，每人一天，要求(yāoqiú)星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，那么不同的選派方法共有〔〕A.40種B.60種C.100種D.120種解析:星期五有2人參加，那么從5人中選2人的組合數(shù)為，星期六和星期天從剩余的3人中選2人進(jìn)行排列(páiliè)，有種，那么共有·=60〔種〕.答案:B題型三根本(gēnběn)組合問(wèn)題【例3】(12分)男運(yùn)發(fā)動(dòng)6名，女運(yùn)發(fā)動(dòng)4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1名，選派5人外出比賽.在以下情形中各有多少種選派方法？〔1〕男運(yùn)發(fā)動(dòng)3名，女運(yùn)發(fā)動(dòng)2名；〔2〕至少有1名女運(yùn)發(fā)動(dòng)；〔3〕隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加；〔4〕既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)發(fā)動(dòng).第十九頁(yè)，共45頁(yè)。分析(fēnxī)〔1〕分步.〔2〕可分類(lèi)也可用間接法.〔3〕可分類(lèi)也可用間接法.〔4〕分類(lèi).解〔1〕第一步：選3名男運(yùn)發(fā)動(dòng)，有種選法.第二步：選2名女運(yùn)發(fā)動(dòng)，有種選法.共有·=120〔種〕選法……………3′〔2〕方法一：“至少有1名女運(yùn)發(fā)動(dòng)〞包括以下幾種情況(qíngkuàng)：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為………………...6′第二十頁(yè)，共45頁(yè)。方法二：“至少有1名女運(yùn)發(fā)動(dòng)〞的反面為“全是男運(yùn)發(fā)動(dòng)〞，可用間接法求解.從10人中任選5人有種選法，其中全是男運(yùn)發(fā)動(dòng)的選法有種.所以(suǒyǐ)“至少有1名女運(yùn)發(fā)動(dòng)〞的選法數(shù)為-=246……..6′(3)方法一〔可分類(lèi)求解〕:“只有男隊(duì)長(zhǎng)〞的選法數(shù)為;“只有女隊(duì)長(zhǎng)〞的選法數(shù)為.“男、女隊(duì)長(zhǎng)都入選〞的選法數(shù)為.所以(suǒyǐ)共有2+=196〔種〕選法………………….9′方法二〔間接法〕：從10人中任選5人有種選法.其中不選隊(duì)長(zhǎng)的方法有種.所以(suǒyǐ)“至少1名隊(duì)長(zhǎng)〞的選法為-=196〔種〕………………….9′〔4〕當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人選任意，共有種選法.不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有種選法.其中不含女運(yùn)發(fā)動(dòng)的選法有種，所以(suǒyǐ)當(dāng)不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，共有-種選法.所以(suǒyǐ)既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)發(fā)動(dòng)的選法共有+-=191〔種〕….12′第二十一頁(yè)，共45頁(yè)。學(xué)后反思解組合題時(shí)，常遇到至多、至少問(wèn)題，可用直接法分類(lèi)求解，也可用間接法求解以減少運(yùn)算量.當(dāng)限制條件較多時(shí)，要恰當(dāng)(qiàdàng)分類(lèi)，逐一滿(mǎn)足.舉一反三(jǔyīfǎnsān)3.某校開(kāi)設(shè)9門(mén)課程供學(xué)生選修，其中A,B,C3門(mén)由于上課時(shí)間相同，至多項(xiàng)選擇一門(mén)，學(xué)校規(guī)定每位同學(xué)(tóngxué)選修4門(mén)，共有——種不同選修方案.〔用數(shù)值作答〕解析:分兩類(lèi)：第一類(lèi)：A,B,C3門(mén)選1門(mén)，其他選3門(mén)，有種;第二類(lèi)：A,B,C3門(mén)都不選，其他選4門(mén)，有種.共＋＝75〔種〕.答案:75第二十二頁(yè)，共45頁(yè)。題型四排除法【例4】從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，假設(shè)這3人中至少有1名女生，那么選派(xuǎnpài)方案共有〔〕A.108種B.186種C.216種D.270種分析逆向思考(sīkǎo)，“這3人中至少有1名女生〞的否認(rèn)為“這3人中沒(méi)有女生〞.解全部方案有種，減去只選派男生(nánshēng)的方案數(shù)，合理的選派方案共有-=186(種).學(xué)后反思關(guān)于“至少〞類(lèi)型組合問(wèn)題，用間接法較方便，即用總的方案數(shù)減去“至少〞的否認(rèn)的方案數(shù).同時(shí)要注意：“至少一個(gè)〞的否認(rèn)為“一個(gè)沒(méi)有〞;“至多一個(gè)〞的否認(rèn)為“至少兩個(gè)〞;“至少N個(gè)〞的否認(rèn)為“至多N-1個(gè)〞;“至多N個(gè)〞的否認(rèn)為“至少N+1個(gè)〞.第二十三頁(yè)，共45頁(yè)。舉一反三4.從6臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取出4臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，那么不同(bùtónɡ)取法共有()A.310種B.200種C.190種D.135種解析:至少各一臺(tái)的反面就是(jiùshì)分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同取法共有=310(種).答案:A題型五多元問(wèn)題(wèntí)分類(lèi)法【例5】由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有()A.210個(gè)B.300個(gè)C.464個(gè)D.600個(gè)第二十四頁(yè)，共45頁(yè)。分析(fēnxī)按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況.解個(gè)位數(shù)字只是(zhǐshì)0，有個(gè);個(gè)位數(shù)字是1，有個(gè);個(gè)位數(shù)字是2，有個(gè);個(gè)位數(shù)字是3，有個(gè);個(gè)位數(shù)字是4，有個(gè).共有++++=300(個(gè)).學(xué)后反思參與排列的元素多，取出的情況(qíngkuàng)也有多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類(lèi)情況(qíngkuàng)分別計(jì)算，最后總計(jì).第二十五頁(yè)，共45頁(yè)。舉一反三5.從1，2，3，…,100這100個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)(liǎnɡɡè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個(gè)(liǎnɡɡè)數(shù)的取法(不計(jì)順序)共有多少種？解析：被取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被7整除時(shí)，它們的乘積(chéngjī)就能被7整除.將這100個(gè)數(shù)組成的集合視為全集I，能被7整除的數(shù)的集合記作A，那么A＝{7，14，…,98}共有14個(gè)元素，故不能被7整除的數(shù)的集合={1,2,…,99,100}共有86個(gè)元素.由此可知，從A中任取兩數(shù)的取法，共有種；從A中任取一個(gè)數(shù)又從中任取一個(gè)數(shù)的取法，共有種，兩種情形共得符合要求的取法有=1295〔種〕.第二十六頁(yè)，共45頁(yè)。易錯(cuò)警示(jǐnɡshì)【例1】有大小形狀相同的3個(gè)紅色小球(xiǎoqiú)和5個(gè)白色小球(xiǎoqiú)，排成一排，共有多少種不同的排列方法？錯(cuò)解因?yàn)槭?個(gè)小球的全排列，所以(suǒyǐ)共有種方法.錯(cuò)解分析錯(cuò)解中沒(méi)有考慮3個(gè)紅色小球是完全相同的，5個(gè)白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.正解8個(gè)小球排好后對(duì)應(yīng)著8個(gè)位置，題中的排法相當(dāng)于在8個(gè)位置中選出3個(gè)位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個(gè)紅球完全相同，所以沒(méi)有順序，是組合問(wèn)題.這樣共有=56(種)排法.【例2】如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，那么不同的著色方法共有——種〔以數(shù)字作答〕.第二十七頁(yè)，共45頁(yè)。錯(cuò)解先著色(zhuósè)第一區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂四個(gè)區(qū)域，即有一種顏色涂相對(duì)的兩塊區(qū)域，有=12〔種〕.由乘法原理可得有4×12=48〔種〕不同的著色(zhuósè)方法.錯(cuò)解分析原因主要是沒(méi)有看清題設(shè)“有4種顏色可供選擇〞，不一定需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任務(wù).因此，在解排列組合問(wèn)題時(shí)一定要注意(zhùyì)題目中的每一句話(huà)甚至每一個(gè)字和符號(hào)，否那么就可能多解或漏解.正解當(dāng)使用4種顏色(yánsè)時(shí)，由“錯(cuò)解〞知有48種著色方法；當(dāng)使用3種顏色(yánsè)時(shí)，從4種顏色(yánsè)中選取3種有種方法，先著色第一區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色(yánsè)涂四個(gè)區(qū)域，只能是一種顏色(yánsè)涂第2、4區(qū)域，另一種顏色(yánsè)涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理可得有×3×2=24〔種〕不同的著色方法.綜上所述，共有48+24=72〔種〕不同的著色方法.考點(diǎn)演練第二十八頁(yè)，共45頁(yè)。10.〔2019·重慶〕將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，那么不同(bùtónɡ)的分配方案有——種〔用數(shù)字作答〕.解析:先選出兩人組成整體(zhěngtǐ)，再作全排列，即=36〔種〕.答案:3611.〔創(chuàng)新題〕在一次文藝演出中，需要給舞臺(tái)上方安裝一排完全相同的彩燈15只，以不同的點(diǎn)亮方式增加舞臺(tái)效果，設(shè)計(jì)要求如下：恰好有6只是關(guān)的，且相鄰的燈不能同時(shí)(tóngshí)被關(guān)掉，兩端的燈必須點(diǎn)亮，求不同的點(diǎn)亮方式.解析：15只彩燈中有6只是關(guān)的，9只是開(kāi)的，且相鄰的燈不能同時(shí)被關(guān)掉，那么在9只開(kāi)著的燈的8個(gè)空中〔因兩端燈必須點(diǎn)亮〕取6個(gè)空安排關(guān)著的彩燈，共有點(diǎn)亮方式=28〔種〕.第二十九頁(yè)，共45頁(yè)。12.某學(xué)習(xí)小組有8個(gè)同學(xué)，從男生中選2人，女生中選1人參加(cānjiā)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三種競(jìng)賽，要求每科均有1人參加(cānjiā)，共有180種不同的選法，那么該小組中男、女同學(xué)各有多少人？解析：設(shè)男生(nánshēng)有x人，那么女生有8-x人，依題意得即即〔x-5〕(x-6)(x+2)=0,∴(舍去).即男生(nánshēng)有5人，女生有3人，或男生(nánshēng)有6人，女生有2人.第三十頁(yè)，共45頁(yè)。第三節(jié)二項(xiàng)式定理(dìnglǐ)根底(gēndǐ)梳理1.二項(xiàng)式定理(dìnglǐ)及其特例特別是當(dāng)x=1時(shí)，得2.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式(r=0,1,2,…,n).第三十一頁(yè)，共45頁(yè)。3.二項(xiàng)式系數(shù)表〔楊輝三角〕展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n依次取1,2,3,…時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)表中每行兩端都是1，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和.(1)對(duì)稱(chēng)性與首末兩端“等距離〞的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等〔〕.(2)增減性與最大值當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間(zhōngjiān)一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間(zhōngjiān)兩項(xiàng)取得最大值.第三十二頁(yè)，共45頁(yè)。典例分析(fēnxī)題型一求二項(xiàng)式中的n【例1】〔2007·湖北〕如果(rúguǒ)的展開(kāi)式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，那么正整數(shù)n的最小值為〔〕分析(fēnxī)根據(jù)展開(kāi)式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，求得n,r之間的關(guān)系，從而求出n.解展開(kāi)式通項(xiàng)由題意得2n-5r=0(r=0,1,2,…,n),故當(dāng)r=2時(shí)，正整數(shù)n的最小值為5.學(xué)后反思常數(shù)項(xiàng)即變量的指數(shù)為0，有理項(xiàng)即變量的指數(shù)為整數(shù)，這都是列方程的依據(jù)，根據(jù)方程求得關(guān)系再解題.第三十三頁(yè)，共45頁(yè)。舉一反三(jǔyīfǎnsān)展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其(yǔqí)各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，那么n等于〔〕解析(jiěxī):展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和為，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為，由,得=64，所以n=6.答案:C題型二求項(xiàng)的系數(shù)第三十四頁(yè)，共45頁(yè)?！纠?】展開(kāi)式中的系數(shù)(xìshù)為——.分析利用(lìyòng)通項(xiàng)公式分別寫(xiě)出常數(shù)項(xiàng)，含x、項(xiàng)，從而求出系數(shù).解∵展開(kāi)式中項(xiàng)為∴所求系數(shù)(xìshù)為學(xué)后反思此題重點(diǎn)考查二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)的系數(shù)，以及組合思想；展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、二次項(xiàng)分別和展開(kāi)式中的二次項(xiàng)、一項(xiàng)的系數(shù)與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是不同的概念，其項(xiàng)的系數(shù)是指該單項(xiàng)式的系數(shù)，而二項(xiàng)式系數(shù)僅為,這點(diǎn)要注意區(qū)分.第三十五頁(yè)，共45頁(yè)。舉一反三(jǔyīfǎnsān)2.〔2019·天津〕的二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)(xìshù)是——〔用數(shù)字作答〕.解析:，所以(suǒyǐ)r=2.所以(suǒyǐ)的系數(shù)為答案:40題型三求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)【例3】(12分)在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列.〔1〕求展開(kāi)式的第四項(xiàng)；〔2〕求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)；3〕求展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和.第三十六頁(yè)，共45頁(yè)。分析根據(jù)前三項(xiàng)系數(shù)(xìshù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列，列出關(guān)于n的方程，求出n.解第一項(xiàng)系數(shù)(xìshù)的絕對(duì)值為，第二項(xiàng)系數(shù)(xìshù)的絕對(duì)值為，第三項(xiàng)系數(shù)(xìshù)的絕對(duì)值為，依題意有+=×2，解得n=8…2′〔1〕第四項(xiàng)……..4′〔2〕通項(xiàng)公式為展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)有8-2r=0，即r=4，所以常數(shù)項(xiàng)為………………..8′〔3〕令x=1，得展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)(xìshù)的和為……………..12′第三十七頁(yè)，共45頁(yè)。學(xué)后反思此題旨在訓(xùn)練二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式的運(yùn)用(yùnyòng)，但要注意通項(xiàng)是而不是，這是最容易出錯(cuò)的地方.舉一反三(jǔyīfǎnsān)3.的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)(xìshù)是()A.240B.-240