第8講計數(shù)原理與概率統(tǒng)計

一、單選題

1.（2022.全國?高考真題（理））某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立.已知

該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為P”P2，P3,且。3＞。2＞網(wǎng)＞0.記該棋手連勝兩盤的概率為。，

貝IJ（）

A.P與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關B.該棋手在第二盤與甲比賽，夕最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

【答案】D

【解析】

【分析】

該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.分別求得該棋手在第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率為；該棋手在第

二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率P乙；該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率%.并對三者進行比較即

可解決

【詳解】

該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，

記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序為乙甲丙及丙甲乙的概率均為3，

則此時連勝兩盤的概率為小

則Rp=；[（1-烏）PlP3+P2Pl（1-P?）]+；-死）"|P2+P3Pl（1-）]

=P\（P[+P3）-2Plp2P3;

記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為此，

則。乙=（1-Pl）P2P3+P1P2（1一P3）=P2（Pl+P3）-2Plp2P3

記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為引

則P丙=（1-Pl）P3P2+PlP3（l一=A（A+Pb-2Plp2P3

則外一〃乙=Pl（P2+03）-2Plp2。3Tp23+3-2Plp2P3]=（區(qū)一。2）口＜。

。乙一。丙=+。3）一2月22P3-[03（0+P2）-2pgP31=（P2-〃3）0＜。即P甲＜P乙，P乙＜P丙'

則該棋手在第二盤與丙比賽，。最大.選項D判斷正確；選項BC判斷錯誤；

夕與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關.選項A判斷錯誤.

故選：D

2.（2022.全國?高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和

丁相鄰，則不同排列方式共有（）A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【解析】

【分析】

利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解

【詳解】

因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列，有3!種排列方式；為使

甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙

丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：3!x2*2=24種不同的排列方式，

故選：B

3.（2022.全國?高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質的概率為（）

A.-B.-C.；D.-

6323

【答案】D

【解析】

【分析】

由古典概型概率公式結合組合、列舉法即可得解.

【詳解】

從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質,不同的取法有:（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3司）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7種，

故所求概率尸=*21-7=：2.

213

故選：D.

4.（2022?全國?高考真題（理））某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，

隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講

座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

95%.............................................................................-?...............................-*

90%.........?...............................?...............................-*..................................

料85%.....................?.............................-?........?..................*-------?.........

每80%...........................................*■....*講座前

出75%.............................*.................?講座后

70%.................................................

65%....*..................*........................

;........*........水.............................

II]I1I11II.

12345678910

居民編號

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【答案】B

【解析】

【分析】

由圖表信息，結合中位數(shù)、平均數(shù)、標準差、極差的概念，逐項判斷即可得解.

【詳解】

講座前中位數(shù)為‘0%；75%>70%,所以A錯；

講座后問卷答題的正確率只有一個是80%,4個85%,剩下全部大于等于90%,所以講座后問卷答題的正確率

的平均數(shù)大于85%,所以B對；

講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差，所

以C錯：

講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%，所以D錯.

故選:B.

5.(2022?全國?高考真題(文))從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到

的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()

A.-B.-C.-D.-

5353

【答案】C【解析】

【分析】

先列舉出所有情況，再從中挑出數(shù)字之積是4的倍數(shù)的情況，由古典概型求概率即可.

【詳解】

從6張卡片中無放回抽取2張，共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15種情況，

其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6種情況，故概率為2=,.

故選：C.

6.(2021?全國?高考真題)某物理量的測量結果服從正態(tài)分布N(10,cr2),下列結論中不正確的是()

A.b越小，該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.該物理量在一次測量中落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相等

【答案】D

【解析】

【分析】

由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項判斷即可得解.

【詳解】

對于A,4為數(shù)據(jù)的方差，所以。越小，數(shù)據(jù)在〃=10附近越集中，所以測量結果落在（9.9,10.1）內(nèi)的概率

越大，故A正確；

對于B,由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5,故B正確：

對于C,由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等,

故C正確；

對于D,因為該物理量一次測量結果落在（9.9,10.0）的概率與落在（10.2,10.3）的概率不同，所以一次測量結

果落在（9.9,10.2）的概率與落在（10,10.3）的概率不同，故D錯誤.

故選：D.

7.（2021?全國?高考真題（理））將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項

目進行培訓I,每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240利?D.480種

【答案】C

【解析】【分析】

先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求

得.

【詳解】

根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2

人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四

個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4!種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有C；x4!=240種

不同的分配方案，

故選：C.

【點睛】

本題考查排列組合的應用問題，屬基礎題，關鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.

7

8.（2021?全國?高考真題（理））在區(qū)間（0,1）與。,2）中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于：的概率為（）

4

【答案】B

【解析】

【分析】

設從區(qū)間（0,1）,（1,2）中隨機取出的數(shù)分別為其丫，則實驗的所有結果構成區(qū)域為。=｛（%刈0<%<1,1<），<2｝,

設事件A表示兩數(shù)之和大于：，則構成的區(qū)域為4=（5丫）|0<》<1,1<可2/+?胃，分別求出A對應的

區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的的概率公式即可解出.

【詳解】

、I

、興--------4---------

B（0，*'、、、

、I

如圖所示:1—夭---------

人”）卜、7

］、、無+尸I

：、\4

1?、?

-

O1''2X

設從區(qū)間（0,1）,（1,2）中隨機取出的數(shù)分別為其丫，則實驗的所有結果構成區(qū)域為。=｛（%刈0<%<1,1<），<2｝,

其面積為S。=1x1=1.設事件A表示兩數(shù)之和大于:，則構成的區(qū)域為A=｛（x,y）|0<x<1,1<y（2,x+y）（｝,

Ioooos23

即圖中的陰影部分，其面積為必所以尸伊）=”=；.

24432"

故選：B.

【點睛】

本題主要考查利用線性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問題，解題關鍵是準確求出事件QA對應的區(qū)域面積，

即可順利解出.

9.（2021?全國?高考真題（理））將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

224

A.-B.—C.~D.一

3535

【答案】C

【解析】

【分析】

采用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，分2個0相鄰和2個0不相鄰進行求解.

【詳解】

將4個I和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個I產(chǎn)生5個空，

若2個0相鄰，則有C；=5種排法，若2個0不相鄰，則有C；=10種排法，

所以2個0不相鄰的概率10為=；2.

故選：C.

10.（2021?全國?高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次，

每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件”第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表

示事件，，兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則（）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)獨立事件概率關系逐一判斷

【詳解】

p（甲）=!，「（乙）=:，尸（丙）=J,p（?。?!=!，,

6636366

P（甲丙）=0wP（甲）尸（丙），P（甲T）=—=P（甲）P（丁），P（乙丙）=—*P（乙）尸（丙），P（丙丁）=0xP（?。㏄（丙），故

3636

選：B

【點睛】

判斷事件AB是否獨立，先計算對應概率，再判斷尸（A）P（B）=P（AB）是否成立

二、多選題

11.（2021?全國?高考真題）下列統(tǒng)計量中，能度量樣本占,々，…,天的離散程度的是（）

A.樣本…,招的標準差B.樣本％,七,…,x”的中位數(shù)

C.樣本演,々,…,的極差D.樣本為,、2,…，%的平均數(shù)

【答案】AC

【解析】

【分析】

考查所給的選項哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢即可確定正確選項.

【詳解】

由標準差的定義可知，標準差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；

由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；

故選：AC.

12.(2021?全國?高考真題)有一組樣本數(shù)據(jù)為，/，…，乙，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)M，%，…，%，

其中y=x,+c(i=l,2,…,〃),c為非零常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】CD

【解析】

【分析】

A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關系有E(y)=E(x)+c、D(y)=D(x),即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，

結合已知線性關系可判斷B、D的正誤.

【詳解】

A：E(y)=E(x+c)=E(x)+cH.c^O,故平均數(shù)不相同，錯誤；B：若第一組中位數(shù)為七，則第二組的中位

數(shù)為y,=x,+c,顯然不相同，錯誤；

C：D(y)=D(x)+D(c)=D(x),故方差相同，正確；

D：由極差的定義知：若第一組的極差為/則第二組的極差為

+

X*ax-Win=(/“O-Umin+C)=%max-Xmin,故極差相同，正確；

故選：CD

三、填空題

13.(2022?全國?高考真題)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2Q2),且P(2<X42.5)=0.36,則P(X>2.5)=

7

【答案】0.14##—.

【解析】

【分析】

根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質即可解出.

【詳解】

因為X~N(2,〃)，所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此

P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X<2.5)=0.5-0.36=0.14.

故答案為：0.14.

14.(2022?全國?高考真題(文))從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的

概率為.

3

【答案】—##0.3

【解析】

【分析】

根據(jù)古典概型計算即可

【詳解】

從5名同學中隨機選3名的方法數(shù)為C；=10

甲、乙都入選的方法數(shù)為C；=3,所以甲、乙都入選的概率尸=行

3

故答案為：—

15.（2022?全國?高考真題）卜x+y）B的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【答案】-28

【解析】【分析】

1|(x+y)1(可化為(x+),)*-2(x+)，)"

結合二項式展開式的通項公式求解.

X)x

【詳解】

因為（1

2

所以（x+的展開式中含的項為C*2y6-2c江3y5=-28%/,

X

的展開式中fy6的系數(shù)為-28

故答案為：-28

16.（2022?全國?高考真題（理））從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為

【答案】*

【解析】

【分析】

根據(jù)古典概型的概率公式即可求出.

【詳解】

從正方體的8個頂點中任取4個，有〃=《=70個結果，這4個點在同一個平面的有加=6+6=12個，故所

求概率尸='12__6_

n70~35

故答案為：卷.

17.（2022?上海?高考真題）在『的展開式中，含g項的系數(shù)為

【答案】66

【解析】

【分析】

寫出展開式的通項，令x的指數(shù)為Y,求出參數(shù)的值，代入通項后即可得解.

【詳解】

展開式的通項為=c;「（x廣］/匕斕

令36-4r=-4,可得r=10,因此，展開式中含土?項的系數(shù)為C；；=66.

故答案為:66.

18.（2022?上海?高考真題）已知有1、2、3、4四個數(shù)字組成無重復數(shù)字，則比2134大的四位數(shù)的個數(shù)為

【答案】17

【解析】

【分析】

先分類再分步，按千位為3,4,2分為三類，再逐次安排百位和HL即可計算出滿足條件的四位數(shù)個數(shù).

【詳解】

千位為3和4時，組成的四位數(shù)都比2134大，有2A；=12個，

千位為2時，百位為3或4的四位數(shù)都比2134大，有2尺=4個，

千位為2時，百位為1,只有2143比2134大，有1個，

則組成的四位數(shù)比2134大的一?共有17個.

故答案為：17.

19.（2021.北京.高考真題）在（V-‘）4的展開式中，常數(shù)項為.

X

【答案】-4

【解析】

【分析】

利用二項式定理求出通項公式并整理化簡，然后令x的指數(shù)為零，求解并計算得到答案.

【詳解】

p-lj的展開式的通項心,

■G口廣

令12-4r=0,解得r-3.

故常數(shù)項為4=(-1)七=-<

故答案為：-4-

四、解答題

20.(2022.全國?高考真題)在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如

下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間140,50)的人口占該地區(qū)總人口的16%.從該

地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患這種疾病的概率.(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位

于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001).

【答案】(1)47.9歲；

(2)0.89；

⑶O.(X)14.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應區(qū)間的中點值的和即可求出；

(2)設4={,人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)),根據(jù)對立事件的概率公式P(A)=1-P(給即可解出；

(3)根據(jù)條件概率公式即可求出.

(1)

平均年齡元=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(歲).

⑵

設4={?人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},所以

P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.

(3)

設B={任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)},C={任選一人患這種疾病},

則由條件概率公式可得

2==OQOS=1。.

P(C|3)=0001437500014

P⑻16%0.16

21.（2022?全國?高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分

為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該

疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾

病,嘉言與鐳窗的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標’記該指標為幾

⑴證明：R=?皿2

P(A|B)P(A\B)

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出尸（*8）,「（4|月）的估計值，并利用（i）的結果給出R的估計值.

附K?=刈…4

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）答案見解析

（2）（i）證明見解析；（ii）R=6；

【解析】

【分析】

（1）由所給數(shù)據(jù)結合公式求出K?的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認為患該疾病群

體與未黃該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異；（2）⑴根據(jù)定義結合條件概率公式即可完成證明；（ii）根據(jù)（i）結

合已知數(shù)據(jù)求R.

⑴

n(ad-bc)2200(40x90-60xlO)2?

由已知K?==…—……=24,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100

又P(K2>6.635)=0.01,24>6.635，

所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.

⑵

⑴因為人乃綽?亞也還?申?皿

P(B|A)P(B|A)P(A)尸(AB)P(A)P(AB)

nP(AB)P(B)P(AB)P?

)7T以K=---------：----------=----------

P(fi)P(AB)P(B)P(AB)

P(A8)P(A|B)

所以R=

P(A\B)P(A\B)

(ii)

由已知尸⑷所得由川耳)=喘

又隔⑶端,陶國喂,所以人畿P(A|B)_6

P(A|B)~

22.(2022?全國?高考真題(理))甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10

分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍.己知甲學校在三個項目中

獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結果相互獨立.

(1)求甲學校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望.

【答案】(1)0.6；

(2)分布列見解析，E(X)=13.

【解析】

【分析】

(1)設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為A,5,C,再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項目，利用互斥事

件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；

(2)依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,再分別計算出對應的概率，列出分布列，即可求出期望.

(1)

設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為ABC,所以甲學校獲得冠軍的概率為

P=P(ABC)+P(ABC)+P(/1BC)+/>(ABC)=0.5x0,4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

(2)

依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,所以，

P(X=0)=0.5x04x0.8=0.16,

P(X=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P(X=20)=0.5x0,6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0,6x0.2=0.34,

X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

期里E（X）=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

23.（2022?全國?高考真題（文））某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，己將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某

種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m?）和材積量（單位：

n?）,得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號i12345678910總和

根部橫截面積占0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量%0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計算得=0.038,“6158,=0.2474.

i=li=li=l

（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已

知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.

才（土一工）（乂一刃____

附：相關系數(shù)7=JJ“，Vi標=1.377.

?。ā?君玄

Vi=li=l

（1）0.06m2;0.39m3

⑵0.97

（3）1209m3

【解析】

【分析】

（1）計算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的

根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）代入題給相關系數(shù)公式去計算即可求得樣本的相關系數(shù)值；

（3）依據(jù)樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計

值.

⑴

樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值h=端=0.06

樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值》=*=0.39

據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06m2,

平均一棵的材積量為0.39n?

1010

0.2474-10x0.06x0.390.01340.0134…

=//x------------?0.97inil/?f)Q7

7(0.038-10x0.062)(1.6158-10x0.392)V0.00018960.01377'?'

(3)

設該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為No?,

又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，

可得粽=竿，解之得y=l209n?.

則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為1209m3

24.(2021?全國?高考真題)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，

經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有

相同的分布列，設X表示I個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P(X=i)=p,(i=(),l,2,3).

(1)已知Po=0.4,P]=0.3,02=0.2,03=0.1,求E(X)；

(2)設p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：%+力工+22/+°3/=%的

一個最小正實根，求證：當E(X)M1時，p=l,當E(X)>1時，p<\.

(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結論的實際含義.

【答案】(1)1：(2)見解析；(3)見解析.

【解析】

【分析】

(1)利用公式計算可得E(X).

(2)利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結合/1(1)=0及極值點的范圍可得f(x)的最小正零點.

(3)利用期望的意義及根的范圍可得相應的理解說明.

【詳解】

(1)E(X)=OxO.4+lxO.3+2xO.2+3xO.l=l.

(2)設/(X)=P31+P2X2+(P|T)X+/%,

因為Pa+%+PI+%=1，故/(x)=小丁+0幺一(0+，(>+^)％+，

若E（X）41,則R+2/?2+3〃341,故Pz+2p34Po.

■f（x）=3按2+2/叱-（0+Po+〃3）,

因為/'（0）=-（2+為+化）<0,尸⑴=小+2區(qū)一“140,故/'（x）有兩個不同零點和電，KX,<0<1<X2,

且4€（-00,%）5%2，+00）時,/'（x）>0：xe（芭，w）時，/'（x）<0；

故/（X）在（YO,4）,（々,+8）上為增函數(shù)，在（內(nèi),9）上為減函數(shù)，

若*2=1，因為f（X）在（w，+°o）為增函數(shù)且/⑴=0,

而當X€（o，w）時,因為“X）在（X［，w）上為減函數(shù)，故>/（%）="1）=0,

23

故1為Po+p1x+p2x+p,x=x的一個最小正實根，

若%>1,因為/（1）=0艮在（0,電）上為減函數(shù)，故1為/%+。儼+〃2—+03/=》的一個最小正實根，

綜上,若E（X）41,則P=l.

若E（X）>1,則P|+2P2+3P3>1,故P2+2/73>PO.

此時r（o）=-（0+外+。3）<0，尸⑴=。2+2區(qū)一。。>0，

故r（x）有兩個不同零點%匕，且％,<0<匕<1,

且XG（V，W）U（X4，”）時，r（x）>0；x?/,X4）時,//（x）<0；

故在（-<?,不），（與內(nèi)）上為增函數(shù)，在（鼻,王）上為減函數(shù)，

而/⑴=0,故〃Z）<0,

又/（。）="。>0,故f（x）在（0,七）存在一個零點。，且P<L

所以P為PO+PIX+PZ^+PB/MX的一個最小正實根，此時P<1，

故當E（X）>1時，P<1.

（3）意義：每一?個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1,則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過

1,則若干代后被滅絕的概率小于1.

25.（2021?全國?高考真題（理））某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設備，為檢驗新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標

有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：

舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設備和新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為［和亍，樣本方差分別記為s：和門.

（1）求x>y>,s：；

（2）判斷新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果歹一了22、占*,則認為新

Vio

設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）.

【答案】