第四章控制系統(tǒng)的頻域分析第1頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

頻率特性法是經(jīng)典控制理論中對系統(tǒng)進(jìn)行分析與綜合的又一重要方法。與時(shí)域分析法和根軌跡法不同。頻率特性法不是根據(jù)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)來分析系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)，而是根據(jù)系統(tǒng)對正弦信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即系統(tǒng)的頻率特性來分析系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)。因此，從某種意義上講，頻率特性法與時(shí)域分析法和根軌跡法有著本質(zhì)的不同。頻率特性雖然是系統(tǒng)對正弦信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但它不僅能反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而且可以用來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能。概述第2頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)之間有著內(nèi)在的聯(lián)系。通過這種內(nèi)在聯(lián)系，可以由系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)求出時(shí)域性能指標(biāo)或反之。因此，頻率特性法與時(shí)域分析法和根軌跡法又是統(tǒng)一的。應(yīng)用時(shí)域分析法和根軌跡法分析系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)先知道系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，而頻率特性法既可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)采用解析的方法得到系統(tǒng)的頻率特性，也可以用實(shí)驗(yàn)的方法測出穩(wěn)定系統(tǒng)或元件的頻率特性。第3頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

實(shí)驗(yàn)法對于那些不知道其內(nèi)部結(jié)構(gòu)和傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，或難于用分析方法列寫動態(tài)方程的系統(tǒng)或環(huán)節(jié)是很有用的。本章將介紹頻率特性的基本概念，典型環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的頻率特性的極坐標(biāo)圖和伯得圖，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)之間的關(guān)系等。第4頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四第四章線性系統(tǒng)的頻域分析頻率特性頻率特性的圖示方法典型環(huán)節(jié)的頻率特性開環(huán)頻率特性穩(wěn)定性分析閉環(huán)頻率特性與系統(tǒng)動態(tài)性能控制器的設(shè)計(jì)第5頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四 4-1 頻率特性

討論線性定常系統(tǒng)（包括開環(huán)、閉環(huán)系統(tǒng)）在正弦輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出。設(shè)圖4-1所示的線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

其輸入信號為

(4-2)

（4-1）G(s)X(s)Y(s)圖4-1系統(tǒng)方框圖第6頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

則輸入信號的拉氏變換是

(4-3)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)通?？梢詫懗?/p>

(4-4)由此得到輸出信號的拉氏變換(4-5)第7頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

對上式進(jìn)行拉氏反變換得到系統(tǒng)的輸出為

(4-6)

對穩(wěn)定系統(tǒng),s1,s2,….sn都具有負(fù)實(shí)部，當(dāng)時(shí)間t趨于無窮大時(shí)，上式的暫態(tài)分量將衰減至零。因此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為(4-7)

其中待定系數(shù)b和可按下式計(jì)算(4-8)(4-9)第8頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

G(jω)是一個(gè)復(fù)數(shù)，用模和幅角可表示為(4-10)(4-11)同樣，G(-jω)可以表示為(4-12)將式(4-8)(4-9）以及式(4-10)(4-12)代入式(4-7)可得

(4-13)第9頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

或(4-14)式中為穩(wěn)態(tài)輸出信號的幅值。上式表明，線性定常系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是與正弦輸入信號同頻率的正弦信號；輸出信號的振幅是輸入信號振幅的倍；輸出信號相對輸入信號的相移為；輸出信號的振幅及相移都是角頻率的函數(shù)。

(4-15)稱為系統(tǒng)的頻率特性，它反映了在正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入正弦信號的關(guān)系。第10頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四其中(4-16)

稱為系統(tǒng)的幅頻特性，它反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號作用下，輸出穩(wěn)態(tài)幅值與輸入信號幅值的比值，即系統(tǒng)的放大（或衰減）特性。

(4-17)稱為系統(tǒng)的相頻特性，它反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號的作用下，輸出信號相對輸入信號的相移。系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性。第11頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四獲取系統(tǒng)頻率特性的途徑有兩個(gè):

一、解析法當(dāng)已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，用代入傳遞函數(shù)可得到系統(tǒng)的頻率特性G(jω)。因此，頻率特性是特定情況下的傳遞函數(shù)。它和傳遞函數(shù)一樣，反映了系統(tǒng)的內(nèi)在聯(lián)系。這種通過傳遞函數(shù)確定頻率特性的方法是求取頻率特性的解析法。

二、實(shí)驗(yàn)法當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)建立，尚不知道其內(nèi)部結(jié)構(gòu)或傳遞函數(shù)時(shí)，在系統(tǒng)的輸入端輸入一正弦信號，測出不同頻率時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的振幅Y和相移φ，便可得到它的幅頻特性和相頻特性。這種通過實(shí)驗(yàn)確定系統(tǒng)頻率特性的方法是求取頻率特性的實(shí)驗(yàn)法。第12頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

4-2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制

自動控制系統(tǒng)通常由若干環(huán)節(jié)構(gòu)成，根據(jù)它們的基本特性，可劃分成幾種典型環(huán)節(jié)。本節(jié)將介紹典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制方法，主要介紹應(yīng)用較為廣泛的極坐標(biāo)圖和伯德圖。一、典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線（極坐標(biāo)圖）以角頻率ω為參變量，根據(jù)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性在復(fù)平面上繪制出的頻率特性叫做幅相特性曲線或頻率特性的極坐標(biāo)圖。它是當(dāng)角頻率ω從0到無窮變化時(shí)，矢量的矢端在平面上描繪出的曲線。曲線是關(guān)于實(shí)軸對稱的。第13頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四由圖4-2可看出放大環(huán)節(jié)的幅頻特性為常數(shù)K，相頻特性等于零度，它們都與頻率無關(guān)。理想的放大環(huán)節(jié)能夠無失真和無滯后地復(fù)現(xiàn)輸入信號。（一）放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)）放大環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其對應(yīng)的頻率特性是（4-18）（4-19）.0K圖4-2放大環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)頻率特性如圖4-2所示。其幅頻特性和相頻特性分別為（4-20）(4-21)第14頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四（二）積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

（4-22）

其對應(yīng)的頻率特性是

（4-23）幅頻特性和相頻特性分別為（4-24）（4-25）

頻率特性如圖4-3所示。由圖可看出，積分環(huán)節(jié)的相頻特性等于

-900，與角頻率ω?zé)o關(guān)，圖4-3積分環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)第15頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

表明積分環(huán)節(jié)對正弦輸入信號有900的滯后作用；其幅頻特性等于，是ω的函數(shù)，當(dāng)ω由零變到無窮大時(shí)，輸出幅值則由無窮大衰減至零。在平面上，積分環(huán)節(jié)的頻率特性與負(fù)虛軸重合。

（三）慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

（4-26）其對應(yīng)的頻率特性是

（4-27）幅頻特性和相頻特性分別是第16頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

（4-28）(4-29)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。當(dāng)ω由零至無窮大變化時(shí)，慣性環(huán)節(jié)的頻率特性在平面上是正實(shí)軸下方的半個(gè)圓周，證明如下：

（4-30）令

（4-31）

第17頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

（4-32）則有

（4-33）

這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓方程，其圓心坐標(biāo)是，半徑為。且當(dāng)ω由時(shí)，由，說明慣性環(huán)節(jié)的頻率特性在平面上是實(shí)軸下方半個(gè)圓周，如圖4-4所示。慣性環(huán)節(jié)是一個(gè)低通濾波環(huán)節(jié)和相位滯后環(huán)節(jié)。在低頻范圍內(nèi)，對輸入信號的幅值衰減較小，滯后相移也小，在高頻范圍內(nèi)，幅值衰減較大，滯后相角也大，最大滯后相角為90゜。第18頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

推廣：當(dāng)慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分子是常數(shù)K時(shí)，即時(shí)，其頻率特性是圓心為，半徑為的實(shí)軸下方半個(gè)圓周。

(四）振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是

（4-34）其頻率特性是

幅頻特性和相頻特性分別為

.010.5

圖4-4慣性環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)(4-35)第19頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

（4-37）

當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，。

振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性均與阻尼比ξ有關(guān)，不同阻尼比的頻率特性曲線如圖所示。

當(dāng)阻尼比較小時(shí)，會產(chǎn)生諧振，諧振峰值和諧振頻率由幅頻特性的極值方程解出。(4-36)第20頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

其中稱為振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率，它是振蕩環(huán)節(jié)頻率特性曲線與虛軸的交點(diǎn)處的頻率。

將代入得到諧振峰值為

（4-40）將代入得到諧振相移φr為(4-41)圖4-5振蕩環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)第21頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四振蕩環(huán)節(jié)的幅值特性曲線如圖4-6所示。在的范圍內(nèi)，隨著ω的增加，緩慢增大；當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值；當(dāng)時(shí)，輸出幅值衰減很快。當(dāng)阻尼比時(shí)，此時(shí)振蕩環(huán)節(jié)可等效成兩個(gè)不同時(shí)間常數(shù)的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，即圖4-6振蕩環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)T1，T2為一大一小兩個(gè)不同的時(shí)間常數(shù)，小時(shí)間常數(shù)對應(yīng)的負(fù)實(shí)極點(diǎn)離虛軸較遠(yuǎn)，對瞬態(tài)響應(yīng)的影響較小。第22頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四振蕩環(huán)節(jié)為相位滯后環(huán)節(jié)，最大滯后相角是1800。推廣：當(dāng)振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分子是常數(shù)K時(shí)，即，其對應(yīng)頻率特性的起點(diǎn)為。（五）一階微分環(huán)節(jié)典型一階微分環(huán)節(jié)的傳函數(shù)為（4-43）其中τ為微分時(shí)間常數(shù)、1為比例項(xiàng)因子，嚴(yán)格地說，由式（4-43）表示的是一階比例微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，由于實(shí)際的物理系統(tǒng)中理想微分環(huán)節(jié)或純微分環(huán)節(jié)（即不含比例項(xiàng)）是不存在的，因此用比例微分環(huán)節(jié)作為一階微分環(huán)節(jié)的典型形式。第23頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四（4-44）幅頻特性和相頻特性分別為（4-45）（4-46）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，

，；當(dāng)時(shí)，

，。頻率特性如圖4-7所示。它是一條過點(diǎn)（1，j0）與實(shí)軸垂直相交且位于實(shí)軸上方的直線。純微分環(huán)節(jié)的頻率特性與正虛軸重合。1圖4-7一階微分環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)第24頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四（六）二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為（4-47）其對應(yīng)的頻率特性是（4-48）

幅頻特性和相頻特性分別為

（4-49）

（4-50）第25頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四二階微分環(huán)節(jié)頻率特性曲線如圖4-8所示，它是一個(gè)相位超前環(huán)節(jié)，最大超前相角為180o。

圖4-8二階微分環(huán)節(jié)頻率特性圖（七）

不穩(wěn)定環(huán)節(jié)不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

（4-51）不穩(wěn)定環(huán)節(jié)有一個(gè)正實(shí)極點(diǎn)，對應(yīng)的頻率特性是(4-52)第26頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

幅頻特性和相頻特性分別為

（4-53）（4-54）

當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，。

不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的頻率特性如圖4-9。比較圖4-4可知，它與慣性環(huán)節(jié)的頻率特性相比，是以平面的虛軸為對稱的。0ImRe圖4-4不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的頻率特性第27頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

其對應(yīng)的頻率特性是（4-56）幅頻特性和相頻特性分別為（4-57）（4-58）

圖4-10滯后環(huán)節(jié)頻率特性圖（八）滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為(4-55)如圖4-10所示，滯后環(huán)節(jié)的頻率特性在平面上是一個(gè)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的單位圓。第28頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四二、典型環(huán)節(jié)頻率特性的伯德圖

伯德（Bode）圖又叫對數(shù)頻率特性曲線，它是將幅頻特性和相頻特性分別繪制在兩個(gè)不同的坐標(biāo)平面上，前者叫對數(shù)幅頻特性，后者叫對數(shù)相頻特性。兩個(gè)坐標(biāo)平面橫軸（ω軸）用對數(shù)分度，對數(shù)幅頻特性的縱軸用線性分度，它表示幅值的分貝數(shù)，即；對數(shù)相頻特性的縱軸也是線性分度，它表示相角的度數(shù)，即。通常將這兩個(gè)圖形上下放置（幅頻特性在上，相頻特性在下），且將縱軸對齊，便于求出同一頻率的幅值和相角的大小，同時(shí)為求取系統(tǒng)相角裕度帶來方便。第29頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四02040-40-200.010.1110100045o90o-90o-45o0.010.1110100dB第30頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

（4）橫軸（ω軸）用對數(shù)分度，擴(kuò)展了低頻段，同時(shí)也兼顧了中、高頻段，有利于系統(tǒng)的分析與綜合。用伯德圖分析系統(tǒng)有如下優(yōu)點(diǎn)：（1）將幅頻特性和相頻特性分別作圖，使系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的幅值和相角與頻率之間的關(guān)系更加清晰；（2）幅值用分貝數(shù)表示，可將串聯(lián)環(huán)節(jié)的幅值相乘變?yōu)橄嗉舆\(yùn)算，可簡化計(jì)算；（3）用漸近線表示幅頻特性，使作圖更為簡單方便；第31頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四（一）放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)）放大環(huán)節(jié)的頻率特性為（4-59）其幅頻特性是（4-60）對數(shù)幅頻特性為（4-61）當(dāng)K>1時(shí)，20lgK>0，位于橫軸上方；當(dāng)K=1時(shí)，20lgK=0，與橫軸重合；當(dāng)K<1時(shí)，20lgK<0，位于橫軸下方。第32頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四放大環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性如圖4-11所示，它是一條與角頻率ω?zé)o關(guān)且平行于橫軸的直線，其縱坐標(biāo)為20lgK。當(dāng)有n個(gè)放大環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，即

（4-62）幅值的總分貝數(shù)為

（4-63）圖4-11放大環(huán)節(jié)的Bode圖放大環(huán)節(jié)的相頻特性是

（4-64）如圖4-11所示，它是一條與角頻率ω?zé)o關(guān)且與ω軸重合的直線。第33頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四（二）積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的頻率特性是（4-65）其幅頻特性為（4-66）對數(shù)幅頻特性是（4-67）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。第34頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)，則有

可見，其對數(shù)幅頻特性是一條在ω=1（弧度/秒）處穿過零分貝線（ω軸），且以每增加十倍頻降低20分貝的速度（-20dB/dec）變化的直線。積分環(huán)節(jié)的相頻特性是

是一條與ω?zé)o關(guān)，值為-900且平行于ω軸的直線。積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性如圖4-12所示。(4-68)(4-69)圖4-12積分環(huán)節(jié)的Bode圖第35頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)有n個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，即

（4-70）其對數(shù)幅頻特性為

是一條斜率為-n×20dB/dec，且在ω=1（弧度/秒）處過零分貝線（ω軸）的直線。相頻特性是一條與ω?zé)o關(guān)，值為-n×900且與ω軸平行的直線。兩個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的Bode圖如圖4-13所示。（4-72）圖4-13兩個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的Bode圖(4-71)第36頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在的低頻段時(shí)，，與零分貝線重合；在的高頻段時(shí)，，是一條斜率為-20（dB/dec.）的直線。

兩條直線在處相交，稱為轉(zhuǎn)折頻率，由這兩條直線構(gòu)成的折線稱為對數(shù)幅頻特性的漸近線。如圖4-14所示。（三）慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性是(4-73)其對數(shù)幅頻特性是(4-74)用兩條直線近似描述慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性，第37頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

很明顯，距離轉(zhuǎn)折頻率愈遠(yuǎn)，愈能滿足近似條件，用漸近線表示對數(shù)幅頻特性的精度就愈高；反之，距離轉(zhuǎn)折頻率愈近，漸近線的誤差愈大。等于轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，誤差最大，最大誤差為漸近特性精確特性圖4-14慣性環(huán)節(jié)的Bode圖第38頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

時(shí)的誤差是時(shí)的誤差是誤差曲線對稱于轉(zhuǎn)折頻率，如圖4-15所示。由圖4-15可知，慣性環(huán)節(jié)漸近線特性與精確特性的誤差主要在交接頻率上下十倍頻程范圍內(nèi)。轉(zhuǎn)折頻率十倍頻以上的誤差極小，可忽略。經(jīng)過修正后的精確對數(shù)幅頻特性如圖4-14所示。

第39頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

慣性環(huán)節(jié)的相頻特性為(4-75)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。對應(yīng)的相頻特性曲線如圖4-14所示。它是一條由00至-900范圍內(nèi)變化的反正切函數(shù)曲線，且以和的交點(diǎn)為斜對稱。

圖4-15慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性誤差修正曲線第40頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四其對數(shù)幅頻特性是（4-77）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性如圖4-16所示，漸近線的轉(zhuǎn)折頻率為，轉(zhuǎn)折頻率處漸近特性與精確特性的誤差為，其誤差均為正分貝數(shù)，誤差范圍與慣性環(huán)節(jié)類似。相頻特性是當(dāng)時(shí)，（4-78）

（四）一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)頻率特性為第41頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。一階微分環(huán)節(jié)的相頻特性如圖4-16所示，相角變化范是00至900，轉(zhuǎn)折頻率處的相角為450。比較圖4-16和4-14，可知，一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性是以橫軸（ω軸）為對稱的。

圖4-16一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖第42頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性是（4-79）其對數(shù)幅頻特性為（4-80）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。漸近線的第一段折線與零分貝線（ω軸）重合，對應(yīng)的頻率范圍是0至；第二段折線的起點(diǎn)在處，是一條斜率為-40（dB/dec）的直線，對應(yīng)的頻率范圍是至∞。兩段折線構(gòu)成振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性的漸近線，它們的轉(zhuǎn)折頻率為。對數(shù)幅頻特性曲線的漸近線如圖4-17所示。（五）振蕩環(huán)節(jié)第43頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

漸近線與精確對數(shù)幅頻特性曲線的誤差分析如下：當(dāng)時(shí)，，它是阻尼比ξ的函數(shù)；當(dāng)ξ=1時(shí)為-6（dB），當(dāng)ξ=0.5時(shí)為0(dB)，當(dāng)ξ=0.25時(shí)為+6(dB)；誤差曲線如圖4-18所示。

高頻漸近線低頻漸近線

圖4-17振蕩環(huán)節(jié)漸進(jìn)線對數(shù)幅頻特性圖4-18振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性誤差修正曲線第44頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四由圖知，振蕩環(huán)節(jié)的誤差可正可負(fù)，它們是阻尼比ξ的函數(shù)，且以的轉(zhuǎn)折頻率為對稱，距離轉(zhuǎn)折頻率愈遠(yuǎn)誤差愈小。通常大于（或小于）十倍轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，誤差可忽略不計(jì)。經(jīng)過修正后的對數(shù)幅頻特性曲線如圖4-19所示。由圖4-19可看出，振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性在轉(zhuǎn)折頻率附近產(chǎn)生諧振峰，這是該環(huán)節(jié)固有振蕩性能在頻率特性上的反映。前面已經(jīng)分析過，諧振頻率ωr和諧振峰Mr分別為

圖4-19振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻率特性圖第45頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

（4-81）

（4-82）其中稱為振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼（ξ=0）自然振蕩頻率，它也是漸近線的轉(zhuǎn)折頻率。由式（4-81）可知，當(dāng)阻尼比ξ愈小諧振頻率ωr愈接近無阻尼自然振蕩頻率ωn，當(dāng)ξ=0時(shí)，ωr=ωn振蕩環(huán)節(jié)的相頻特性是

（4-83）第46頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。除上面三種特殊情況外，振蕩環(huán)節(jié)相頻特性還是阻尼比ξ的函數(shù)，隨阻尼比ξ變化，相頻特性在轉(zhuǎn)折頻率附近的變化速率也發(fā)生變化，阻尼比ξ越小，變化速率越大，反之愈小。但這種變化不影響整個(gè)相頻特性的大致形狀。不同阻尼比ξ的相頻特性如圖4-20所示。

圖4-20振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性圖第47頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四二階微分環(huán)節(jié)與振蕩節(jié)的Bode圖關(guān)于ω軸對稱，如圖4-21。漸近線的轉(zhuǎn)折頻率為，相角變化范圍是00至+1800。

（4-84）其對數(shù)幅頻特性是（4-85）相頻特性是

（4-86）（六）二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性是圖4-21二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖第48頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四其對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為（4-88）

（4-89）其對數(shù)幅頻特性與慣性環(huán)節(jié)相同；相頻特性與慣性環(huán)節(jié)相比是以為對稱，相角的變化范圍是-1800至-900。Bode如圖4-22所示。（七）不穩(wěn)定環(huán)節(jié)

不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的頻率特性是(4-87)圖4-22不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的Bode圖第49頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四滯后環(huán)節(jié)的頻率特性是其對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為滯后環(huán)節(jié)伯德圖如圖4-23所示。其對數(shù)幅頻特性與ω?zé)o關(guān)，是一條與ω軸重合的零分貝線。滯后相角由式（4-92）計(jì)算，分別與滯后時(shí)間常數(shù)τ和角頻率ω成正比。圖4-23滯后環(huán)節(jié)的Bode圖

(八）滯后環(huán)節(jié)第50頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四4-3

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制

系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性在系統(tǒng)的分析與綜合中有很重要的意義，本節(jié)將通過一些示例介紹系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性（包括它的極坐標(biāo)和伯德圖）的繪制方法和步驟。自動控制系統(tǒng)通常由若干環(huán)節(jié)組成，根據(jù)它們的基本特性，可以把系統(tǒng)分解成一些典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)，再按照串聯(lián)的規(guī)律將這些典型環(huán)節(jié)的頻率特性組合起來得到整個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。因此，將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式是繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的基本步驟。第51頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四一、繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖的步驟將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式；典型環(huán)節(jié)幅頻特性相乘得到系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性，典型環(huán)節(jié)相頻特性相加得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性；如幅頻特性有漸近線，則根據(jù)開環(huán)頻率特性表達(dá)式的實(shí)部和虛部，求出漸近線；最后在G(jω)H(jω)平面上繪制出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖。第52頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成典型環(huán)節(jié)乘積（即串聯(lián)）的形式；如果存在轉(zhuǎn)折頻率，在ω軸上標(biāo)出轉(zhuǎn)折頻率的坐標(biāo)位置；由各串聯(lián)環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性疊加后得到系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近線；修正誤差，畫出比較精確的對數(shù)幅頻特性；畫出各串聯(lián)典型環(huán)節(jié)相頻特性，將它們相加后得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性。二、繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性伯德圖的步驟第53頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四例4-1已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為它由一個(gè)放大環(huán)節(jié)和兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，其對應(yīng)的頻率特性是幅頻特性和相頻特性分別為第54頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四（1）極坐標(biāo)圖當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。當(dāng)ω由零增至無窮大時(shí)，幅值由K衰減至零，相角00變至-1800，且均為負(fù)相角。頻率特性與負(fù)虛軸的交點(diǎn)頻率為，交點(diǎn)坐標(biāo)是。其極坐標(biāo)圖如圖4-24所示。圖4-24開環(huán)系統(tǒng)極坐標(biāo)圖[G]第55頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四（2)伯德圖

（a）對數(shù)幅頻特性

由開環(huán)傳遞函數(shù)知，對數(shù)幅頻特性的漸近線有兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率和，且，將它們在ω軸上標(biāo)出（圖4-25）；

在縱坐標(biāo)上找到20lgK的點(diǎn)A，過A點(diǎn)作平行于橫軸的直線AB，這條平行線對應(yīng)放大環(huán)節(jié)的幅頻特性；在轉(zhuǎn)折頻率處作ω軸的垂線（虛線）交平行線AB于B點(diǎn)，以B為起點(diǎn)作斜率為-20dB/dec的斜線BC，C點(diǎn)對應(yīng)轉(zhuǎn)折頻率，折線ABC對應(yīng)放大環(huán)節(jié)K和慣性環(huán)節(jié)的疊加；

圖4-25開環(huán)系統(tǒng)Bode圖L第56頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四以C為起點(diǎn)，作斜率為-40dB/dec的斜線CD，折線ABCD即為系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近線。

（b）對數(shù)相頻特性在圖4-25上分別畫出三個(gè)環(huán)節(jié)的相頻特性曲線，（1）為放大環(huán)節(jié)，（2）為慣性環(huán)節(jié)1和（3）為慣性環(huán)節(jié)2，然后將它們在縱軸方向上相加得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性曲線（4）。例4-2試?yán)L制傳遞函數(shù)為（4-93）（4-94）的對數(shù)幅頻特性。第57頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四解：有n個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)，對數(shù)幅頻特性應(yīng)是一條過橫軸上ω=1且斜率為-n×20dB/dec的直線。式(4-93）和（4-94）中分別含有一個(gè)和兩個(gè)積分環(huán)節(jié)（串聯(lián)），當(dāng)不考慮KV和Ka的影響時(shí)，它們的對數(shù)幅頻特性應(yīng)是過ω=1且斜率分別為-0dB/dec和-40dB/dec的直線，如圖4-26和圖4-27中虛線所示?？紤]到KV和Ka的作用，上述兩條直線應(yīng)分別在縱軸方向上平移20lgKv和20lgKa分貝（如圖中實(shí)線所示），即ω=1所對應(yīng)的坐標(biāo)值應(yīng)分別為20lgKv和20lgKa分貝。設(shè)對數(shù)幅頻特性與零分貝線（橫軸）的交點(diǎn)頻率值分別為ωv和ωa，則有(4-95)和(4-96)第58頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四由上面兩式分別得到（4-97）（4-98）通過上面的分析，在繪制傳遞函數(shù)為式（4-93）和（4-94）的對數(shù)幅頻特性時(shí)，可用下述兩種方法之一進(jìn)行。圖4-26與的關(guān)系圖4-27與的關(guān)系第59頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

方法一：對于式（4-93），先過橫軸上ω=1點(diǎn)作橫軸的垂直線，過縱軸上20lgKv點(diǎn)作橫軸的平行線，這兩條直線交于A點(diǎn)，然后過A點(diǎn)作斜率為-20dB/dec的直線即為所求的對數(shù)幅頻特性（圖4-26）；對于式（4-94），過橫軸上ω=1點(diǎn)作橫軸的垂線過縱軸上20lgKa

點(diǎn)作橫軸的平行線，這兩條直線交于A點(diǎn)，然后過A點(diǎn)作斜率為-40dB/dec的直線即為所求的對數(shù)幅頻特性（圖4-27）。

方法二：對于式（4-93），先根據(jù)式（4-97）在橫軸上找到頻率為ωV點(diǎn)，過該點(diǎn)作斜率為-20dB/dec的直線即為所求的對數(shù)幅頻特性（圖4-26）；對于式（4-94），根據(jù)式（4-98）在橫軸上找到頻率為ωa的點(diǎn)，過該點(diǎn)作斜率為-40dB/dec的直線即為所求的對數(shù)幅頻特性（圖4-27）。第60頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

反之，通過對數(shù)幅頻特性，也可以用上述兩種方法的逆過程，求出式（4-93）和式（4-94）中的開環(huán)放大系數(shù)Kv和Ka。對于含有一個(gè)或兩個(gè)積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)（含有兩個(gè)以上積分環(huán)節(jié)的實(shí)際系統(tǒng)很少見），由于頻率特性的低頻段形狀主要由積分環(huán)節(jié)決定，因此，在繪制其對數(shù)幅頻特性或通過對數(shù)幅頻特性求系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)時(shí)，可用上述兩種方法中的一個(gè)進(jìn)行。這在下面的示例中將得到進(jìn)一步應(yīng)用。第61頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四試?yán)L制該系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖和伯德圖。解:

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成它由一個(gè)放大環(huán)節(jié)、一個(gè)積分環(huán)節(jié)和一個(gè)振蕩環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，對應(yīng)的頻率特性表達(dá)式為例4-3已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為第62頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四（1）極坐標(biāo)圖當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由于系統(tǒng)含有一積分環(huán)節(jié)，當(dāng)ω→0時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性|G(jω)H(jω)|→∞。為使頻率特性曲線比較精確，還須求出它的漸近線。由系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性可得當(dāng)ω→0時(shí)有

limG（jω）H（jω）＝－2ζKvT－j∞

ω→0即漸近線是一條與實(shí)軸交點(diǎn)為－2ζKvT且垂直于實(shí)軸的直線，圖4-28繪制出該系統(tǒng)在不同阻尼比的漸近線（虛線)及對應(yīng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖。第63頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四-0.3KvT0ReIm-KvT-1.7KvT-3.3KvT-0.6KvT0ω0ω0ω圖4-28例4-3極坐標(biāo)圖第64頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四（2）

伯德圖

（a）對數(shù)幅頻特性由開環(huán)頻率特性表達(dá)式知，對數(shù)幅頻特性的漸近線有一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率（對應(yīng)振蕩環(huán)節(jié)），將它在圖4-29的橫軸上標(biāo)出。該系統(tǒng)還含有一個(gè)積分節(jié)和放大環(huán)節(jié)，參照例4-2，對數(shù)幅頻特性的低頻段主要由積分環(huán)節(jié)和放大環(huán)節(jié)決定。當(dāng)轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，對數(shù)幅頻特性如圖4-29所示，斜率為-20dB/dec的折線段在頻率為

處穿過零分貝線直到振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處轉(zhuǎn)折為斜率為-60dB/dec的線段。當(dāng)轉(zhuǎn)折頻率為時(shí)，對數(shù)幅頻特性如圖4-30所示.圖4-29例4-3Bode圖123第65頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四斜率為-20dB/dec的折線段的延長線（圖中虛線）與橫軸交點(diǎn)頻率應(yīng)為ωv，從轉(zhuǎn)折頻率開始，對數(shù)頻特性轉(zhuǎn)折成斜率為-60dB/dec的直線。

(b)對數(shù)相頻特性在圖4-29上分別畫出積分環(huán)節(jié)的相頻特性（1）和振蕩環(huán)節(jié)相頻特性（2），然后將它們在縱軸方向上相加便得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性曲線（3）。例4-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖和伯德圖。圖4-30例4-3對數(shù)幅頻特性第66頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四解該系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成（4-99）它由一個(gè)放大環(huán)節(jié)、一個(gè)比例微分環(huán)節(jié)和一個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，其對應(yīng)的頻率特性表達(dá)式為（4-100）幅頻特性和相頻特性分別是（4-101）（4-102）

第67頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四（1）極坐標(biāo)圖根據(jù)幅頻特性和相頻特性可得到當(dāng)和時(shí)的極限值分別為（4-103）（4-104）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

即當(dāng)慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)T大于比例微分環(huán)節(jié)的微分時(shí)間常數(shù)時(shí)，隨著頻率增加，幅值衰減，相角滯后，系統(tǒng)具有低通性質(zhì)；反之，當(dāng)時(shí)，隨著頻率增加，幅值加大，相角趨前，系統(tǒng)具有高通性質(zhì)；圖4-31例4-4極坐標(biāo)圖第68頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四而當(dāng)時(shí)，比例微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)作用相互抵消，系統(tǒng)只起放大作用。三種情況的極坐標(biāo)圖如圖4-31所示。

（２）伯德圖

由式（4-100）知，系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性漸近線有兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率和，圖4-32

(a)、(b)、(c)分別繪制了當(dāng)和三種情況下的伯德圖。第69頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四圖4-32例4-4Bode圖第70頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四解：該系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性表達(dá)式為它是由比例、積分、慣性和滯后環(huán)節(jié)串聯(lián)組成。如果滯后時(shí)間常數(shù)很小而可以忽略不計(jì)時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)幅頻和相頻特性為

對應(yīng)的極坐標(biāo)圖和伯德圖分別如圖4—33和4—34所示。當(dāng)滯后環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)較大而不能忽略時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性由于不受影響，但相頻特性須加一滯后相角-57.3度，即對應(yīng)的極坐標(biāo)圖和伯德圖分別如圖4-36和4-37所示。例4-5已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖和伯德圖。第71頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四圖4-34例4-5Bode圖（無滯后環(huán)節(jié)）圖4-33例4-5極坐標(biāo)圖（無滯后環(huán)節(jié)）0-KvTReIm[GH]0ω第72頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

圖4-35例4-5極坐標(biāo)圖（有滯后環(huán)節(jié)）圖4-36例4-5Bode圖（有滯后環(huán)節(jié)）第73頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

比較圖4-35與4-33和圖4-36與4-34，會發(fā)現(xiàn)由于滯后環(huán)節(jié)的影響，頻率特性的極坐標(biāo)圖和對數(shù)相頻特性曲線形狀發(fā)生了很顯著的變化，它對系統(tǒng)的性能，特別是系統(tǒng)的穩(wěn)定性將產(chǎn)生很大的影響，有關(guān)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈奎斯特判據(jù)將在下節(jié)介紹，這里不再贅述。第74頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

4-4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

第三章已經(jīng)介紹，閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)特征方程根的性質(zhì)唯一確定。對于三階以下系統(tǒng)，解出特征根就能判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。三階以上的高階系統(tǒng)，求解特征根通常都很困難，前面介紹了兩種判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，基于特征方程的根與系數(shù)關(guān)系的勞斯判據(jù)和根軌跡法。奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù)（簡稱奈氏判據(jù)）是判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的又一重要方法。它是將系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性與復(fù)變函數(shù)位于S平面右半部的零、極點(diǎn)數(shù)目聯(lián)系起來的一種判據(jù)。奈氏判據(jù)是一種圖解法，它依據(jù)的是系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。由于系統(tǒng)的開環(huán)特性可用解析法或?qū)嶒?yàn)法獲得，因此，應(yīng)用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性兼有方便和實(shí)用的優(yōu)點(diǎn)。奈氏判據(jù)還有助于建立相對穩(wěn)定性的概念。第75頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四一、幅角定理（映射定理）幅角定理又稱映射定理，它是建立在復(fù)變函數(shù)理論基礎(chǔ)上的。由于奈氏判據(jù)是以幅角定理為依據(jù)的，因此有必要先簡要地介紹幅角定理。 設(shè)有一復(fù)變函數(shù)（4-105）稱之為輔助函數(shù)，其中是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù).通?？蓪懗扇缦滦问?/p>

（4-106）式中是系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)，將式（4-106）代入式（4-105）得（4-107）比較式（4—107）和式（4—106）可知，輔助函數(shù)的零點(diǎn)即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，即系統(tǒng)特征方程的根。因此，如果輔助函數(shù)的零點(diǎn)都具有負(fù)的實(shí)部，即都位于S平面左半部，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)便不穩(wěn)定。第76頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四假設(shè)復(fù)變函數(shù)為單值，且除了S平面上有限的奇點(diǎn)外，處處都為連續(xù)的正則函數(shù),也就是說在S平面上除奇點(diǎn)外處處解析，那么，對于S平面上的每一個(gè)解析點(diǎn)，在平面上必有一點(diǎn)（稱為映射點(diǎn)）與之對應(yīng)。例如，當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

則其輔助函數(shù)是除奇點(diǎn)和外，在S平面上任取一點(diǎn)，如則（一）S平面與平面的映射關(guān)系

第77頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四如圖4—37所示，在平面上有點(diǎn)與S平面上的點(diǎn)對應(yīng),就叫做在平面上的映射點(diǎn)。圖4-37S平面上的點(diǎn)在F（S）平面上的映射第78頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四如圖4—38所示，如果解析點(diǎn)在S平面上沿封閉曲線（不經(jīng)過的奇點(diǎn)）按順時(shí)針方向連續(xù)變化一周，那么輔助函數(shù)在平面上的映射也是一條封閉曲線，但其變化方向可以是順時(shí)針的，也可以是逆時(shí)針的，這要依據(jù)輔助函數(shù)的性質(zhì)而定。圖4-38S平面到F(s)平面的映射第79頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四（二）幅角定理（映射定理）

設(shè)在S平面上，除有限個(gè)奇點(diǎn)外，為單值的連續(xù)正則函數(shù)，若在S平面上任選一封閉曲線s，并使s不通過的奇點(diǎn)，則S平面上的封閉曲線s映射到F(s)平面上也是一條封閉曲線F。當(dāng)解析點(diǎn)s按順時(shí)針方向沿s變化一周時(shí)，則在平面上，F(xiàn)曲線按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的周數(shù)N（每旋轉(zhuǎn)2弧度為一周），或F按逆時(shí)針方向包圍F(s)平面原點(diǎn)的次數(shù)，等于封閉曲線s內(nèi)包含F(xiàn)(s)的極點(diǎn)數(shù)P與零點(diǎn)數(shù)Z之差。即N=P-Z（4—108）式中，若N>0，則F按逆時(shí)針方向繞F(s)平面坐標(biāo)原點(diǎn)N周；若N<0，則F按順時(shí)針繞F(s)平面坐標(biāo)原點(diǎn)N周；且若N=0，則F不包圍F(s)平面坐標(biāo)原點(diǎn)。在圖4—38中,在S平面上有三個(gè)極點(diǎn)P1、P2、P3和三個(gè)零點(diǎn)Z1、Z2、Z3。被s曲線包圍的零點(diǎn)有Z1、Z2兩個(gè)，即Z=2，包圍的極點(diǎn)只有P2，即P=1，由式（4—108）得N=P-Z=1-2=-1說明s映射到F(s)平面上的封閉曲線F順時(shí)針繞F(s)平面原點(diǎn)一周。由幅角定理，我們可以確定輔助函數(shù)被封閉曲線s所包圍的極點(diǎn)數(shù)P與零點(diǎn)數(shù)Z的差值P-Z。

第80頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四前面已經(jīng)指出，的極點(diǎn)數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)，因此當(dāng)從平面上確定了封閉曲線F的旋轉(zhuǎn)周數(shù)N以后，則在S平面上封閉曲線s包含的零點(diǎn)數(shù)Z（即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)）便可簡單地由下式計(jì)算出來 Z=P-N（4-109）封閉曲線s和F的形狀是無關(guān)緊要的，因?yàn)樗挥绊懮鲜鼋Y(jié)論。

關(guān)于幅角定理的數(shù)學(xué)證明請讀者參考有關(guān)書籍，這里僅從幾何圖形上簡單說明。 設(shè)有輔助函數(shù)為

（4-110）其零、極點(diǎn)在S平面上的分布如圖4—39所示，在S平面上作一封閉曲線s,s不通過上述零、極點(diǎn)，在封閉曲線s上任取一點(diǎn),其對應(yīng)的輔助函數(shù)的幅角應(yīng)為

(4-111)第81頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)解析點(diǎn)s1沿封閉曲線s按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周后再回到s1點(diǎn)，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，所有位于封閉曲線s外面的輔助函數(shù)的零、極點(diǎn)指向s1的向量轉(zhuǎn)過的角度都為0，而位于封閉曲線s內(nèi)的輔助函數(shù)的零、極點(diǎn)指向s1的向量都按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)過2弧度（一周）。這樣，對圖4—39（a），Z=1，P=0，，即N=－1，繞平面原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周；對圖4—39（b），Z=0，P=1，，即N=1，繞平面原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周；對圖4—39（c），Z=1，P=1，，即N=0，不包圍平面原點(diǎn)。將上述分析推廣到一般情況則有

（4-112）由此得到幅角定理表達(dá)式為

N=P-Z（4-113）圖4-39Fs第82頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四圖4-39圖4-39第83頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四

二、基于輔助函數(shù)的奈氏判據(jù)

為了分析反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，只須判斷是否存在S平面右半部的閉環(huán)極點(diǎn)。為此，在S平面上作一條完整的封閉曲線s，使它包圍S平面右半部且按順時(shí)針環(huán)繞。如圖4—40所示，該曲線包括S平面的整個(gè)虛軸（由到）及右半平面上以原點(diǎn)為圓心，半徑為無窮大的半圓弧組成的封閉軌跡。這一封閉無窮大半圓稱作奈氏軌跡。顯然，由奈氏軌跡包圍的極點(diǎn)數(shù)P和零點(diǎn)數(shù)Z，就是F(s)位于S平面右半部的極點(diǎn)數(shù)和零點(diǎn)數(shù)。圖4-40Nyquist軌跡前面已經(jīng)指出，輔助函數(shù)的極點(diǎn)等于系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)，的零點(diǎn)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。因此，如果奈氏軌跡中包圍的零點(diǎn)數(shù)Z=0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，此時(shí)由映射到平面上的封閉曲線F

逆時(shí)針繞坐標(biāo)原點(diǎn)的周數(shù)應(yīng)為N=P（4-114）由此得到應(yīng)用幅角定理分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)如下：s第84頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四若輔助函數(shù)的解析點(diǎn)s沿奈氏軌跡s按順時(shí)針連續(xù)環(huán)繞一周，它在平面上的映射F按逆時(shí)針方向環(huán)繞其原點(diǎn)P周，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。

通常情況下，開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即S平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0。此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是不包圍平面坐標(biāo)原點(diǎn)，即N=0。三、基于開環(huán)傳遞函數(shù)的奈氏判據(jù)用輔助函數(shù)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性仍然不大方便，實(shí)際上，開環(huán)傳遞函數(shù)與輔助函數(shù)之間的關(guān)系非常簡單，即

（4-115）上式意味著將平面的縱軸向右平移一個(gè)單位后構(gòu)成的平面即為GH平面（如圖4-41）。平面的坐標(biāo)原點(diǎn)是GH平面的點(diǎn)。因此，F(xiàn)繞平面原點(diǎn)的周數(shù)等效于繞GH平面點(diǎn)的周數(shù)。(-1,j0)00[GH][F]1圖4-41第85頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四由分析，得到基于開環(huán)傳遞函數(shù)的奈氏判據(jù)如下：

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是奈氏軌跡映射在GH平面上的封閉曲線逆時(shí)針包圍點(diǎn)P周，其中P為開環(huán)傳遞函數(shù)在S平面右半部的極點(diǎn)數(shù)。當(dāng)在S平面右半部沒有極點(diǎn)時(shí)，即P=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是在GH平面上不包圍點(diǎn)。第86頁，共144頁，2023年，2月20日，星期四四、基于開環(huán)頻率特性的奈氏判據(jù)（一）與之間的關(guān)系

前面曾經(jīng)指出，頻率特性是特定情況下的傳遞函數(shù)。下面分兩種情況來研究與之間的關(guān)系。1、當(dāng)在S平面虛軸上（包括原點(diǎn)）無極點(diǎn)時(shí)，奈氏軌跡可分成三個(gè)部分如圖4—42所示，（1）