簡并微擾理論第1頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三假設(shè)En(0)是簡并的，那末屬于H(0)的本征值En(0)有k個歸一化本征函數(shù)：|n1>,|n2>,......,|nk><n|n>=滿足本征方程：于是我們就不知道在k個本征函數(shù)中究竟應取哪一個作為微擾波函數(shù)的0級近似。所以在簡并情況下，首先要解決的問題是如何選取0級近似波函數(shù)的問題，然后才是求能量和波函數(shù)的各級修正。0級近似波函數(shù)肯定應從這k個|n>中挑選，而它應滿足上節(jié)按冪次分類得到的方程：共軛方程（一）簡并微擾理論第2頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三|ψn(0)>已是正交歸一化系數(shù)c

由一次冪方程定出左乘<n|得：得：上式是以展開系數(shù)c為未知數(shù)的齊次線性方程組，它有不含為零解的條件是系數(shù)行列式為零，即根據(jù)這個條件，我們選取0級近似波函數(shù)|ψn(0)>的最好方法是將其表示成k個|nk>的線性組合，因為反正0級近似波函數(shù)要在|nk>(=1,2,...,k)中挑選。第3頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三 解此久期方程可得能量的一級修正En(1)的k個根：En(1),=1,2,...,k.因為En=En(0)+E(1)n

所以，若這k個根都不相等，那末一級微擾就可以將k度簡并完全消除；若En(1)有幾個重根，則表明簡并只是部分消除，必須進一步考慮二級修正才有可能使能級完全分裂開來。為了確定能量En

所對應的0級近似波函數(shù)，可以把E(1)n

之值代入線性方程組從而解得一組c(=1,2,...,k.)系數(shù)，將該組系數(shù)代回展開式就能夠得到相應的0級近似波函數(shù)。為了能表示出c

是對應與第

個能量一級修正En

(1)的一組系數(shù)，我們在其上加上角標

而改寫成c

。這樣一來，線性方程組就改寫成：第4頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三例1.氫原子一級Stark效應（1）Stark效應氫原子在外電場作用下產(chǎn)生譜線分裂現(xiàn)象稱為Stark效應。我們知道電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ庫侖場作用，造成第n個能級有n2度簡并。但是當加入外電場后，由于勢場對稱性受到破壞，能級發(fā)生分裂，簡并部分被消除。Stark效應可以用簡并情況下的微擾理論予以解釋。（2）外電場下氫原子Hamilton量取外電場沿z正向。通常外電場強度比原子內(nèi)部電場強度小得多，例如,強電場≈107伏/米，而原子內(nèi)部電場≈1011

伏/米，二者相差4個量級。所以我們可以把外電場的影響作為微擾處理。（二）實例第5頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三（3）H0的本征值和本征函數(shù)下面我們只討論n=2的情況，這時簡并度n2=4。屬于該能級的4個簡并態(tài)是：第6頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三（4）求H’

在各態(tài)中的矩陣元由簡并微擾理論知,求解久期方程,須先計算出微擾Hamilton量H’

在以上各態(tài)的矩陣元。我們碰到角積分<Yl'm'|cosθ|Ylm>需要利用如下公式：于是:第7頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三僅當Δ=±1,Δm=0時，H’的矩陣元才不為0。因此矩陣元中只有H’12,H’21不等于0。因為所以欲使上式不為0，由球諧函數(shù)正交歸一性要求量子數(shù)必須滿足如下條件：第8頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三（5）能量一級修正解得4個根：第9頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三第10頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三求零級近似波函數(shù)第11頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三（1）當時，有；則與能級對應的零級近似波函數(shù)為：第12頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三（2）當時，有，則與能級對應的零級近似波函數(shù)為：（3）當時，有，而和不同時為零，則與能級對應的零級近似波函數(shù)為：第13頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三相當于一電偶極矩位于電場中電矩平行于外電場電矩反平行于外電場電矩垂直于外電場zyzy定性解釋：2．氫原子電偶極矩特性第14頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三1.當與方向相反，，，，即是3.當與相互垂直，，，，即是或2.當與方向相同，，，，即是第15頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三例2.有一粒子，其Hamilton量的矩陣形式為：H=H0+H’， 其中求能級的一級近似和波函數(shù)的0級近似。解：H0的本征值問題是三重簡并的，這是一個簡并微擾問題。解得：E(1)=0,±α.記為：E1(1)=-αE2(1)=0E3(1)=+α故能級一級近似：簡并完全消除(1)求本征能量由久期方程|H’-E(1)I|=0得：第16頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三(2)求解0級近似波函數(shù)將E1(1)=–α代入方程，得：由歸一化條件：則將E2(1)=0代入方程，得：則由歸一化條件：第17頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三測驗題1、非簡并微擾論能實際應用的條件是什么？并說明其物理意義。對于連續(xù)譜的情況，收斂性條件是否滿足？為什么？此條件能否適用于簡并情況？2、從數(shù)學的角度，怎么定義一個體系是微擾的還是非微擾的？3、在定態(tài)微擾論中，為什么要分為非簡并和簡并兩類問題討論？試從物理圖像和數(shù)學適用條件說明之。4、有人說：“