第12章非參數(shù)統(tǒng)計1習慣上把檢驗問題劃分為參數(shù)檢驗問題和非參數(shù)檢驗問題，相應的統(tǒng)計假設分別為參數(shù)性假設和非參數(shù)性假設。2前面所講的統(tǒng)計假設檢驗，首先要對總體參數(shù)提出一個假設，如假設總體平均數(shù)等于某個特定的值0。然后通過樣本數(shù)據(jù)計算統(tǒng)計量，推斷這個假設是否可以被接受。如果可以被接受，樣本很可能抽自這個總體，否則，很可能是抽自另外一個總體。這樣的統(tǒng)計推斷類型稱為參數(shù)統(tǒng)計(parametricstatistics)或參數(shù)檢驗(parametrictest)。統(tǒng)計量的抽樣分布與總體分布類型有關，t分布、2分布和F分布都是建立在總體為正態(tài)分布的基礎上，或者說必須抽自正態(tài)總體。我們這里所說的“正態(tài)總體”，完全是為了數(shù)學理論上嚴謹性的需要。在實際應用時，當總體峭度稍稍偏離正態(tài)分布，或者說當總體為近似正態(tài)分布時，t檢驗、2檢驗和F檢驗仍可使用。在樣本含量很大時，根據(jù)中心極限定理，即使總體偏離正態(tài)分布，也可認為樣本平均數(shù)服從正態(tài)分布，從而保證檢驗的有效性。3當總體分布完全偏離正態(tài)分布、樣本含量又較小時，上述參數(shù)檢驗的方法就不能再使用了，其結果是無效的。此時可考慮非參數(shù)統(tǒng)計(nonparametricstatistics)或稱非參數(shù)檢驗法(nonparametrictest)。非參數(shù)檢驗在檢驗時不需要利用總體參數(shù)（如平均數(shù)、標準差等）的信息，故此得名，它主要是利用樣本數(shù)據(jù)之間的大小比較及大小順序，對2個或多個樣本所屬總體是否相同進行檢驗。因為非參數(shù)檢驗不涉及總體參數(shù)，也就不依賴于總體分布的形式，所以它是一種與總體分布狀況無關的檢驗方法，因此也稱為無分布檢驗法(distribution-freetest)。當樣本觀測值的總體分布類型未知或知之甚少，無法肯定其性質，特別是觀測值明顯偏離正態(tài)分布，不具備參數(shù)檢驗的條件時常用非參數(shù)檢驗。4非參數(shù)檢驗要解決的問題不是對總體參數(shù)(如、等)做檢驗，而是對總體的某些一般性假設做檢驗。即使分布時正態(tài)的，非參數(shù)方法和參數(shù)方法差不多一樣有效。例如，檢驗兩個總體分布是否相等，如推斷總體的位置，中位數(shù)是否等于某一特定的值。很多非參數(shù)的統(tǒng)計方法并不是直接分析原始數(shù)據(jù)，而是先計算變量的秩，然后再用適當?shù)姆椒▽χ茸鰴z驗。因此非參數(shù)檢驗具有計算簡便、直觀、易于掌握、檢驗速度較快等優(yōu)點。但需要指出的是，當資料符合參數(shù)檢驗條件時，非參數(shù)檢驗的效率始終低于參數(shù)檢驗法，這是因為非參數(shù)檢驗沒有利用已有的總體分布信息，也沒用充分利用樣本提供的信息，因而檢驗功效較低，犯II型錯誤的可能性較大。5非參數(shù)檢驗的方法很多，幾乎對于每一種參數(shù)檢驗方法，都有相對應的非參數(shù)檢驗法。實際上，第7章擬合優(yōu)度檢驗也是一種非參數(shù)檢驗。在做擬合優(yōu)度檢驗時并不要求總體分布必須服從正態(tài)分布，也沒有對總體參數(shù)提出一個假設值，只是檢測觀測數(shù)與理論數(shù)之間是否相符。與卡方獨立性檢驗對應的參數(shù)檢驗是相關系數(shù)的檢驗，二者都用于檢驗兩個變量之間的相關關系，但前者適于兩個分類變量之間的相關關系檢驗，后者適合兩個正態(tài)分布的連續(xù)變量之間的相關關系檢驗。其他的非參數(shù)檢驗方法還有中位數(shù)檢驗、游程檢驗、符號檢驗、符號秩和檢驗、二組或多組資料的秩和檢驗、等級相關等，本章介紹幾種常用的非參數(shù)檢驗方法。6主要內容12.1

秩和檢驗12.2符號檢驗12.3秩相關12.4游程檢驗7一、兩組非配對數(shù)據(jù)的秩和檢驗檢驗兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)差異的顯著性，有成組數(shù)據(jù)t檢驗、配對(成對)數(shù)據(jù)t檢驗，但這兩種方法都要求樣本是從正態(tài)總體或近似正態(tài)總體中抽取的。本節(jié)介紹另一種檢驗獨立樣本的方法，稱為Wilcoxon秩和檢驗(ranksumtest)，相當于參數(shù)統(tǒng)計中的成組數(shù)據(jù)t檢驗。兩組非配對數(shù)據(jù)的秩和檢驗是從兩個總體中獨立隨機地獲得的兩個樣本之間的比較。通常是一組為對照組，一組為處理組，零假設為這兩個樣本是從同一總體中抽取的。在零假設下，把兩組數(shù)據(jù)合并，將合并的數(shù)據(jù)從小到大排列好，每個數(shù)據(jù)對應的序號稱為秩(rank)。最小的秩為1，下一個是2...。在按秩排列后，再將樣本分開，再分別計算兩個樣本的秩和(ranksum)。以秩和作為檢驗統(tǒng)計量，來檢驗變量的分布在兩組中的位置是否相同。12.1秩和檢驗8例12.1考察兩種不同類型的肥料A和B對玉米的增產效應。共選擇10塊試驗地，隨機抽取n1=5塊地施用A肥料，n2=5塊地施用B肥料。產量列于表12-1。用秩和檢驗法檢驗兩種肥料對玉米的產量影響是否顯著。解：(1)假設H0：A、B兩總體分布位置相等；HA：A、B兩總體分布位置不等。零假設所提出的A、B兩總體分布位置相等，含義是：施用A肥料與施用B肥料的總體產量相同。備擇假設的含義是兩個總體的產量不同。因為不管是A比B好，還是B比A好，備擇假設均成立，所以這個問題屬于雙側檢驗。表12-1施用兩種不同肥料得到的玉米產量/kgA8476867094B12290921061009(2)編秩次。將全部結果作為一組數(shù)據(jù)，由低到高排列，標上秩，列在表12-2中。表12-2肥料試驗的秩肥料種類AAAABBABBB產量70768486909294100106122秩12345678910(3)求秩和。假如兩種肥料的增產效應相同，那么在表12-2中A、B應相間出現(xiàn)；若增產效應不相同，則會出現(xiàn)A的連續(xù)出現(xiàn)多于B，或B的連續(xù)出現(xiàn)多于A。一個最方便的比較方法是，分別求出這兩個樣本的秩和，粗略地比較這兩個秩和的大小，若兩個秩和相差不多，則肥料有相同的增產效應，否則兩種肥料的增產效應不同。10n=10時，總秩和為。因此，B的秩和為55-17=38。A的秩和大約只有B的秩和的一半，說明A肥料的增產效應遠不如B肥料的，可以拒絕H0。但若A的秩和與B的秩和之間有差異，而差異又不是很懸殊，這時很難做出抉擇。為了能以一定的顯著水平接受或拒絕H0，還必須研究秩和的抽樣分布。將A的秩相加，得A的秩和為17。用總的秩和減去A的秩和，很容易求出B的秩和。假若秩的總數(shù)為n：1,2,...,n，總的秩和可用下式求出：11列成概率分布表，即可得到某一秩和在某一顯著水平下的上下限。附表14對不同的n1,n2給出了T的下限T1和上限T2。若T1<T<T2，則可接受H0；若TT2或TT1，則拒絕H0。本例nA=5，nB=5，從附表14可查出，=0.05時，

T1=19，T2=36，統(tǒng)計量T=17，T<T1，故拒絕H0，結論是兩種肥料有顯著不同的效果。(4)統(tǒng)計推斷。兩樣本含量不同時，以含量小的那個樣本的秩和作為檢驗統(tǒng)計量；兩樣本含量相同時，可任選一個作為檢驗統(tǒng)計量，記為T。本例選A的秩和作為檢驗統(tǒng)計量。在兩種肥料增產效應相同的假設下，10個秩中的任何5個都等可能地屬于A(實際上，任何一個或一些秩都等可能地屬于A)。由(2.6)式可計算每一秩和出現(xiàn)的概率。1213這里的n應充分大，但在實際應用時，只要n2?10(n1n2)就能得到滿意的結果。因此，附表14只給出了n1n210時T的臨界值，>10則可用上述u檢驗。例12.2調查四年級學生中有視力障礙(A)和視力正常(B)的IQ得分。普遍認為有視力障礙的學生的IQ比視力正常學生低。但心理學家認為，有視力障礙的學生由于注意力特別集中，IQ得分不是低而是高。調查結果列在表12-3中，用秩和檢驗法檢驗有視力障礙的學生的IQ得分是否更高。當n→時，T漸近正態(tài)分布N，可用u檢驗(12.2式)。應做連續(xù)性矯正：上側檢驗時-0.5，下側檢驗時+0.5，或者當T>時-0.5，

T<時+0.5。14表12-3學生的IQ得分

有視力障礙學生的IQ（A）視力正常學生的IQ（B）

Y1Y2Y12Y221049410816883611010312100106091061141123612996113126127691587611595132259025111102123211040102100104041000012898163849604110103121001060911711613689134561051102510711449和1116126312504413388915解：

(1)假設。H0：總體A的IQ分布與總體B的IQ分布相同；HA：總體A的IQ分布高于總體B的IQ分布。因為備擇假設是總體A的IQ分布(位置)高于總體B，所以本實驗為上尾單側檢驗。(2)編秩次。將結果列成表12-4。表12-4例12.2IQ得分的秩次表樣本BBBBABBBABAIQ949598100102102103103104105106秩12345.55.57891011

樣本BAAAABABABAIQ107110110111113114115116117126128秩1213141516171819202122(3)求秩和。以樣本A的秩和T為檢驗統(tǒng)計量：T=5.5+9+11+13+14+15+16+18+20+22=143.5n1(A)=10，n2(B)=1216(4)統(tǒng)計推斷。將T代入（12.2）式，得：取=0.05，u0.05=1.645，u>u0.05，拒絕H0。結論是：有視力障礙的學生比視力正常的學生有較高的IQ。在這里有必要對相等值(或稱為結值，tiedvalue)特別說明一下。所謂相等值是指兩個或多個相等的觀測值。對于相等值的最常用處理方法是，計算與這些相等值對應的秩次平均數(shù)，將平均數(shù)放在相應的位置上。17表12-3的樣本A中，有兩個學生的IQ得分均為110，樣本B中有兩個學生的得分均為103。當兩個相等的值出現(xiàn)在同一個樣本中時，哪一個在前哪一個在后都可以，在表12-4中，它們分別放在7和8,13和14上。但當兩個相等的值出現(xiàn)在不同的組中時，前后位置不能隨意放置，因為放置的位置不同會影響到T值。這時應取這兩個秩的平均數(shù)，放在相應的兩個位置上。如A和B的兩個102，它們的秩的平均數(shù)為(5+6)/2=5.5，分別放在表12-4的第5和第6位置上。

兩組非配對數(shù)據(jù)的秩和檢驗和成組數(shù)據(jù)的t檢驗的比較：表12-3的數(shù)據(jù)做成組數(shù)據(jù)t檢驗（設兩組數(shù)據(jù)具正態(tài)性）：18H0：1=2；HA：

1>2n1=10；n2=12經檢驗，s12和s22具齊性。將以上各值代入(5.6)式：19從附表4a查出，t20,0.05=1.725，結論仍是拒絕H0。一般來講，對于同樣數(shù)據(jù)，t檢驗比秩和檢驗更有效。但t檢驗要求總體分布是正態(tài)的，因而限制了t檢驗的使用范圍。另外，秩和檢驗還可以檢驗直接按等級記載的實驗數(shù)據(jù)。因此，秩和檢驗是使用范圍更廣的一種檢驗方法。二、多組數(shù)據(jù)的秩和檢驗多組數(shù)據(jù)的秩和檢驗法又稱Kruskal-Wallis檢驗法，該法利用多個樣本的秩和來推斷它們分別代表的總體的分布位置是否相同，由于其檢驗統(tǒng)計量用H表示，也稱H檢驗法。20檢驗統(tǒng)計量H的計算公式：其中N為觀測值總數(shù)；ni為第i組的含量；Ti為第i組的秩和，每個觀測值的秩次的計算方法與兩組非配對數(shù)據(jù)的秩和檢驗相同。當分組數(shù)k3，且每組含量大于等于5時，統(tǒng)計量H的抽樣分布近似于df=k-1時的2分布，于是可以用df=k-1時的2值作為臨界值來判斷各組秩和的差異是否顯著。對于k=3，且每組含量小于5時，需要用Kruskal-Wallis的正確概率表進行比較，這里不作介紹。21如果在樣本中有較多的平均秩次，應對H值進行校正，校正公式如下：式中C為校正系數(shù)，計算公式如下：式中t為具有相同數(shù)值的個數(shù)。下面舉例說明多組數(shù)據(jù)秩和檢驗的步驟。22例用4種方法對某種樣品脫水處理，每種方法重復5次，測脫水百分率，比較4種方法脫水效果有無顯著差異。方法一方法二方法三方法四測得值秩次測得值秩次測得值秩次測得值秩次1.69.51.561.451.111.7141.69.51.69.51.121.9171.69.51.69.51.231.9171.7141.7141.342.019.52.019.51.9171.69.5Ti7758.55519.5ni5555解：

(1)假設。H0：4種方法脫水百分率相等；HA：4種方法脫水百分率不相等。(2)編秩次。將各組數(shù)據(jù)混合，從小到大排隊，統(tǒng)一編秩次，結果見上表的秩次列。23(3)求秩和。分別將各組秩次相加求和，計算H值：(4)統(tǒng)計推斷。由于本例數(shù)據(jù)多于3組，自由度等于k-1=3時的2臨界值，5%的2臨界值為7.81，1%的2臨界值為11.34。H大于7.81，表明4種方法脫水百分率有顯著差異。當H檢驗顯著后，如需進一步判斷究竟哪些組間差異顯著，須進行多重比較，方法與方差分析中的多重比較類似，只要將各組的均數(shù)換成秩和。24例如，如果用Duncan多重極差檢驗，假定每組的樣本含量相等(n)，對于任意兩組的秩和，它們之差要達到顯著的最小極差為：式中，n為各組的樣本含量，k為要比較的兩組秩和所包含的范圍；r(k,)值可從附表9查得（取自由度為無窮大，附表最后一行）。kSEr0.05(k,)Rk0.05r0.01(k,)Rk0.0126.77002.7718.753.6424.64310.00002.9229.203.8038.00413.22883.0239.953.9051.5925將各組秩和之差與上表中的Rk比較，得多重比較結果如下：判斷結果：方法一、方法二和方法三彼此間差異不顯著（P>0.05），但都極顯著地高于方法四（P<0.01）。組別秩和TiTi-19.5Ti-55.5Ti-58.5177.057.5**22.018.5258.539.0**3.5355.035.5**419.52612.2符號檢驗兩組非配對數(shù)據(jù)的秩和檢驗，相當于參數(shù)統(tǒng)計中的成組數(shù)據(jù)t檢驗。本節(jié)介紹符號檢驗(signtest)，它是非參數(shù)統(tǒng)計中配對數(shù)據(jù)的檢驗方法。符號檢驗只考慮每對數(shù)據(jù)差的符號，不考慮差值的大小。正號用“+”表示，負號用“-”表示。其檢驗的基本思想與原理：假定兩個樣本所屬的總體服從相同的分布，則正號或負號出現(xiàn)的頻率應相等，或至少相差不應過大，相差超過一定的臨界值時，就認為兩個樣本所屬的總體有顯著差異，它們不服從相同的分布。與秩和檢驗一樣，這種檢驗同樣不需要考慮總體分布的類型。符號檢驗比配對數(shù)據(jù)t檢驗有更廣泛的用途。例12.3用兩種方法測定同一種藥用植物的有效成分(mg/kg)，共做20次重復測定，得到結果見表12-5。用符號檢驗法檢驗方法A的檢測結果的是否顯著大于方法B。27表12-5例12.3的實驗結果實驗序號方法A方法B差符號148.037.0+11.0+233.041.0-0.8-337.523.4+14.1+448.017.0+31.0+542.531.5+11.0+640.040.00.00742.031.0+11.0+836.036.00.00911.35.7+5.6+1022.011.5+10.5+1136.021.0+15.0+1227.36.1+21.2+1314.226.5-12.3-1432.121.3+10.8+1552.044.5+7.5+1638.028.0+10.0+1717.322.6-5.3-1820.020.00.001921.011.0+10.0+2046.122.3+23.8+28解：同一種實驗材料用兩種不同的方法測定，其實驗數(shù)據(jù)是配對的。每對數(shù)據(jù)有一個差值，若A結果高于B結果，差值是正的，用“+”表示，其個數(shù)記為n+，反之，用“-”表示，其個數(shù)記為n-，差值為0的個數(shù)記為n0。檢驗的假設為：H0：兩種方法測得結果具有相同分布HA：方法A測得結果大于方法B所測得結果符號檢驗是不考慮差值為0的，除3個差值為0的以外，共有17個差值，n=17。其中，n+=14，n-=3。若總體A和總體B有相同的分布，這17個符號中的“+”號與“-”號應大約各占1/2。若與這個值偏離較大，說明A和B可能有不同的分布。符號檢驗所用的統(tǒng)計量S是n+、n-較小的一個。29本例的n+=14，n-=3，統(tǒng)計量S=3。表明用方法A所測得的結果絕大多數(shù)高于用方法B測得的結果，因而拒絕H0。顯然，這樣的拒絕是缺乏足夠理論依據(jù)的。必須在進一步研究S的抽樣分布后，才能以一定的顯著性水平拒絕H0。在零假設：總體A和總體B有相同的分布下，“+”號的概率和“-”號的概率應各占1/2。本例共有17個符號，其中出現(xiàn)3個“-”號和14個“+”號。實際上，符號檢驗相當于檢驗二項分布參數(shù)=1/2。在實際應用時，只需事先計算出滿足P(SS)=中的S，當SS時拒絕H0。附表15給出了不同n的S。如本例n=17，從表中查出，當n=17、=0.05時S0.05=4。統(tǒng)計量S=3，S<S0.05，結論是拒絕H0。故用A

法所測的結果高于用B法所測得的結果。3031使用u檢驗為了更嚴格起見，對(12.4)式還應做連續(xù)性矯正。當S>時用S-0.5矯正，當S<時用S+0.5矯正。當n→時，S漸近正態(tài)分布N(,2)。其中32例12.4一位教育學家，研究一種新的語言學習方法。他認為，在相同的時間內，除用通常的方法學習外，再加上一些新的措施，能提高學生學習語言的能力。實驗是這樣安排的：以不同學校四年級各班的學生為研究對象，每班選出兩名語言能力相似的學生作為“對子”，共抽出25對。將各對隨機分成兩組，一組為對照組A，另一組為實驗組B。對照組的學生仍回原班學習，實驗組學生在上語文課時，集中到一個教室用新的方法學習；實驗組學生除按通常的方法學習外，還要寫讀書報告并進行課堂討論。在學期末，兩組學生用同樣的問題進行測驗，測驗的成績列在表12-6中。用符號檢驗法檢驗這種新的學習方法效果是否顯著。33表12-6用兩種不同學習方法學習語文的成績

對子序號B組得分A組得分差(di)符號di216765+2+426672-6-3637774+3+949081+9+8157276-4-166959500076863+5+2589585+10+10099890+8+64106064-4-16117278-6-36129486+8+64139689+7+49147375-2-4159693+3+9169078+12+144179292000186367-4-16199588+7+49208879+9+81217560+15+225229590+5+25237882-4-16248573+12+144258286-4-16和

81

122934解：

H0：兩種學習方法效果相同HA：B學習方法效果優(yōu)于A學習方法根據(jù)備擇假設，B學習方法的效果優(yōu)于A學習方法，為上尾單側檢驗，檢驗統(tǒng)計量S=15。

n-=8，n+=15。第6對和第17對的差為0，故n0=2，n=23。將以上數(shù)據(jù)代入(12.4)式從附表3中查出u0.05=1.645，u<u0.05，接受H0。結論是，新的學習方法與老的學習方法無顯著差異。下面將符號檢驗與配對數(shù)據(jù)t檢驗做一比較。設差值(di)具有正態(tài)性，配對數(shù)據(jù)t檢驗的假設為：35由表12-6的最后一行得出t24,0.05=1.17，t>t24,0.05。拒絕H0。結論是，新的學習方法比老的學習方法好。這里t檢驗與符號檢驗的結果不一致。一般，配對數(shù)據(jù)t檢驗比符號檢驗更有效，因為t檢驗不僅考慮了符號的正負，還考慮了差值的大小。因此，可以用配對數(shù)據(jù)t檢驗時，盡量不用符號檢驗。當然符號檢驗也有它的優(yōu)點：方法簡單、不用考慮總體分布類型以及可以對出現(xiàn)的定性資料做檢驗等。所以它的用途比成對數(shù)據(jù)t檢驗更廣泛。符號檢驗法當樣本的配對數(shù)少于6對時，不能檢出差別；對子數(shù)7~12時，檢驗敏感性較低；只有對子數(shù)在20以上時效果較好，但效率仍只有t檢驗的65%。3612.3秩相關參數(shù)統(tǒng)計中，Pearson相關系數(shù)r是變量X和變量Y之間的相關程度的定量計量。非參數(shù)統(tǒng)計中，用Spearman1904年提出的秩相關系數(shù)(rankcorrelationcoefficient)rS衡量兩個變量間的相關程度：該式由參數(shù)統(tǒng)計的Pearson樣本相關系數(shù)r演變來，用變量X和Y的秩U和V取代變量X和Y，再經化簡得到。化簡的依據(jù)是，在推導秩相關系數(shù)時，一旦樣本含量n確定下來，秩的和、秩的平均數(shù)以及秩的平方和也就確定下來了。37上述公式計算起來很簡單，但相等值數(shù)量較多時結果有較大偏差，這時要直接使用Pearson相關系數(shù)公式，用秩取代Pearson相關系數(shù)公式中的原來變量：如此得到的結果不受相等值影響，只是計算困難些。秩相關系數(shù)顯著性檢驗的零假設H0：U和V不相關。備擇假設HA：U和V相關。n充分大時，服從N(0,1)分布，即rs服從分布，可近似地做u檢驗；n較小時，臨界值可從附表16秩相關系數(shù)顯著性檢驗表中查出，當rsrs,n,時，拒絕零假設。3839例12.5調查10名學生，平均每周所用的學習時間和學習成績，結果列在表12-7中。用秩相關法分析學習時間和得分的相關性。表12-7學習時間和得分間的秩相關計算學習時間(h/周)得分學習時間的秩U得分的秩V秩差U-V秩差的平方(U-V)2249067.5-1.52.2517502.511.52.2520684400419087.50.50.2552921091.01.00237855004695910-1.01.0017632.53-0.50.25155312-1.01.002982761.01.00和

9.0040解：將學習時間和得分按由小到大排列，得出相應的秩。在用于學習的時間中，有兩個17h，所在位次為2和3，則秩為(2+3)/2=2.5，在得分列中有兩個90分，它們的秩均為7.5。將表中的數(shù)據(jù)代入(12.5)式，得出平均每周學習小時數(shù)與得分間的秩相關系數(shù)。從附表16查出rs,10,0.01=0.794,rs>rs,10,0.01結論是相關極顯著。因此，學習成績與所做的努力關系極為密切。這里，相等值對于用(12.5)式計算rs有一定影響，直接用(12.6)式計算的rs為0.94512，由于相等值數(shù)量較少，對用(12.5)式計算的結果影響較小。4112.4游程檢驗用樣本數(shù)據(jù)推斷總體時，觀測值的隨機性很重要。對于小概率事件，在一段時間內所收集的樣本，是否為隨機樣本，會有各種爭議。例如，某地區(qū)罕見病例的收集，只能逐漸積累，不能在很短的時間內由隨機抽樣獲得，這樣的樣本是非隨機的。為了能用統(tǒng)計學方法處理這樣的問題，必須證實它們類似于真正的隨機樣本。游程檢驗(runtest)是判斷樣本是否為隨機樣本的一種檢驗方法，包括游程總數(shù)檢驗(numberofruntest)和游程長度檢驗(lengthofruntest)。重點介紹游程總數(shù)檢驗。42假設觀測了連續(xù)出生的20個新生嬰兒的體重，將體重在中位數(shù)以上的記為a，中位數(shù)以下的記為b，按出生順序得到以下序列：序列I

a

bb

aaa

bb

a

bbbb

aaa

bb

aa在這個序列中，只有a和b兩種元素，元素a(或b)被另一種元素b(或a)分隔為一些子列。其中的每一個子列稱為一個游程(run)。每一個游程內所含元素的個數(shù)稱為該游程的游程長度(lengthofrun)。全部游程數(shù)稱為游程總數(shù)(numberofruns)。序列I中有5個a游程(a

aaa

a