PAGEPAGE4數(shù)列高考試題選擇題1.（2009廣東）已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時(shí)，A.B.C.D.【解析】由得，，則，，選C.2.(2009年廣東)已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且·=2，=1，則=A.B.C.D.2【答案】B【解析】設(shè)公比為,由已知得,即,又因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為正數(shù)，所以,故,選B3.（2009福建）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且=6，=4，則公差d等于A．1BC.-2D3【答案】：C[解析]∵且.故選C4.（2009安徽）已知為等差數(shù)列，，則等于（） A.-1 B.1 C.3 D.7【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.選B?！敬鸢浮緽5.（2009江西）公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若是的等比中項(xiàng),,則等于A.18B.24C.60D.90答案：C【解析】由得得,再由得則,所以,.故選C6.（2009湖南）設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則等于【C】A．13B．35C．49D．63解:故選C.或由,所以故選C.7.（2009遼寧）已知為等差數(shù)列，且－2＝－1,＝0,則公差d＝（A）－2（B）－（C）（D）2【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1d＝－【答案】B8.（2009遼寧）設(shè)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若=3，則=（A）2（B）（C）（D）3【解析】設(shè)公比為q,則＝1＋q3＝3q3＝2于是【答案】B9.（2009寧夏海南）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且4，2，成等差數(shù)列。若=1，則=（A）7（B）8（3）15（4）16解析：4，2，成等差數(shù)列，,選C.10.（2009湖北）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù)，例如：解:是等差數(shù)列,由,得.2.（2009浙江）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則．答案：15【解析】對(duì)于3.（2009浙江）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則．【命題意圖】此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，通過對(duì)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)的考查充分體現(xiàn)了通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的知識(shí)聯(lián)系．【解析】對(duì)于4.（2009浙江）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，，成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，，，成等比數(shù)列．答案：【命題意圖】此題是一個(gè)數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題，既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)，也考查了通過已知條件進(jìn)行類比推理的方法和能力【解析】對(duì)于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，，成等比數(shù)列．5.（2009北京）若數(shù)列滿足：，則；前8項(xiàng)的和.（用數(shù)字作答）【解析】本題主要考查簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.，易知，∴應(yīng)填255.6.（2009北京）已知數(shù)列滿足：則________；=_________.【答案】1，0【解析】本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí).屬于創(chuàng)新題型.依題意，得，.∴應(yīng)填1，0.7.（2009江蘇）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，，令，若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則=.【解析】考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項(xiàng)。有連續(xù)四項(xiàng)在集合，四項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為，=-98.(2009山東)在等差數(shù)列中,,則.【解析】:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則由已知得解得,所以.答案:13.【命題立意】:本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及基本計(jì)算.9.（2009全國(guó)卷Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為。若，則=×答案：3解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運(yùn)算，由得q3=3故a4=a1q3=3。10.(2009湖北)已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），若，則m所有可能的取值為__________。11.【答案】4532【解析】（1）若為偶數(shù)，則為偶,故①當(dāng)仍為偶數(shù)時(shí)，故②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，故得m=4。（2）若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，故必為偶數(shù)，所以=1可得m=512.（2009全國(guó)卷Ⅱ）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若則9.解：為等差數(shù)列，13.（2009遼寧）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且則【解析】∵Sn＝na1＋n(n－1)d∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4【答案】14.（2009寧夏海南）等差數(shù)列{}前n項(xiàng)和為。已知+-=0，=38,則m=_______解析：由+-=0得到。答案1015.（2009陜西）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則.答案:2n解析:由可得的公差d=2,首項(xiàng)=2,故易得2n.16.(2009陜西)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則.答案：117.（2009寧夏海南）等比數(shù)列{}的公比,已知=1，，則{}的前4項(xiàng)和=【答案】【解析】由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝。18.(2009湖南)將正⊿ABC分割成（≥2，n∈N）個(gè)全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于⊿ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A,B,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)=，…，f(n)=(n+1)(n+2)【答案】：【解析】當(dāng)n=3時(shí)，如圖所示分別設(shè)各頂點(diǎn)的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知即進(jìn)一步可求得。由上知中有三個(gè)數(shù)，中有6個(gè)數(shù)，中共有10個(gè)數(shù)相加，中有15個(gè)數(shù)相加….，若中有個(gè)數(shù)相加，可得中有個(gè)數(shù)相加，且由可得所以=19.（2009重慶）設(shè)，，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式=．【答案】:【解析】由條件得且所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則三、解答題1.(2009年廣東)（本小題滿分14分）已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)且）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿足－=+（）.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{前項(xiàng)和為，問>的最小正整數(shù)是多少?【解析】（1）,,,.又?jǐn)?shù)列成等比數(shù)列，，所以；又公比，所以；又,,；數(shù)列構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列，，當(dāng)，；()；（2）；由得，滿足的最小正整數(shù)為112.2.（2009全國(guó)卷Ⅰ）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）在數(shù)列中，（I）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式:()（II）由（I）知,=而,又是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型，易得=評(píng)析：09年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)(一)試題將數(shù)列題前置,考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。3.（2009浙江）（本題滿分14分）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，其中是常數(shù)．（I）求及；（II）若對(duì)于任意的，，，成等比數(shù)列，求的值．解析：（Ⅰ）當(dāng)，（）經(jīng)驗(yàn)，（）式成立，（Ⅱ）成等比數(shù)列，，即，整理得：，對(duì)任意的成立，4.（2009北京）（本小題共13分）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為.數(shù)列定義如下：對(duì)于正整數(shù)m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，求數(shù)列的前2m項(xiàng)和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題.（Ⅰ）由題意，得，解，得.∴成立的所有n中的最小整數(shù)為7，即.（Ⅱ）由題意，得，對(duì)于正整數(shù)，由，得.根據(jù)的定義可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴.（Ⅲ）假設(shè)存在p和q滿足條件，由不等式及得.∵,根據(jù)的定義可知，對(duì)于任意的正整數(shù)m都有，即對(duì)任意的正整數(shù)m都成立.當(dāng)（或）時(shí)，得（或），這與上述結(jié)論矛盾！當(dāng)，即時(shí)，得，解得.∴存在p和q，使得；p和q的取值范圍分別是，.5.（2009北京）（本小題共13分）已知數(shù)集具有性質(zhì)；對(duì)任意的，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于.（Ⅰ）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（Ⅱ）證明：，且；（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列.【解析】本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、分分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．本題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題.（Ⅰ）由于與均不屬于數(shù)集，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P.由于都屬于數(shù)集，∴該數(shù)集具有性質(zhì)P.（Ⅱ）∵具有性質(zhì)P，∴與中至少有一個(gè)屬于A，由于，∴，故.從而，∴.∵，∴，故.由A具有性質(zhì)P可知.又∵，∴，從而，∴.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，有，即，∵，∴，∴，由A具有性質(zhì)P可知.，得，且，∴，∴，即是首項(xiàng)為1，公比為成等比數(shù)列.6.（2009江蘇）（本小題滿分14分）設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)?！窘馕觥勘拘☆}主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算和求解的能力。滿分14分。（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因?yàn)?，所以，即，又由得，解得?(2)（方法一）=,設(shè)，則=,所以為8的約數(shù)（方法二）因?yàn)闉閿?shù)列中的項(xiàng)，故為整數(shù)，又由（1）知：為奇數(shù)，所以經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有。7.（2009江蘇）（本題滿分10分）對(duì)于正整數(shù)≥2，用表示關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中（和可以相等）；對(duì)于隨機(jī)選取的（和可以相等），記為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率。（1）求和；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)≥2，有.【解析】[必做題]本小題主要考查概率的基本知識(shí)和記數(shù)原理，考查探究能力。滿分10分。8.(2009山東)（本小題滿分12分）等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值；（11）當(dāng)b=2時(shí)，記證明：對(duì)任意的，不等式成立解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,又因?yàn)閧}為等比數(shù)列,所以,公比為,（2）當(dāng)b=2時(shí)，,則,所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立.當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即成立.則當(dāng)時(shí),左邊=所以當(dāng)時(shí),不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.9.(2009山東)（本小題滿分12分）等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值；（11）當(dāng)b=2時(shí)，記求數(shù)列的前項(xiàng)和解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,又因?yàn)閧}為等比數(shù)列,所以,公比為,所以（2）當(dāng)b=2時(shí)，,則相減,得所以【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前項(xiàng)和.10.（2009全國(guó)卷Ⅱ文）（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列{}中，求{}前n項(xiàng)和.解析：本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運(yùn)用能力，利用方程的思想可求解。解：設(shè)的公差為，則即解得因此11.（2009廣東）（本小題滿分14分）已知曲線．從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.解：（1）設(shè)直線：，聯(lián)立得，則，∴（舍去），即，∴（2）證明：∵∴由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即在恒成立，又，則有，即.12.（2009安徽）（本小題滿分13分）首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足（I）證明：若為奇數(shù)，則對(duì)一切都是奇數(shù)；（II）若對(duì)一切都有，求的取值范圍.解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野。本小題滿分13分。解：（I）已知是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任何，都是奇數(shù)。（II）（方法一）由知，當(dāng)且僅當(dāng)或。另一方面，若則；若，則根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，綜合所述，對(duì)一切都有的充要條件是或。（方法二）由得于是或。因?yàn)樗运械木笥?，因此與同號(hào)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，，與同號(hào)。因此，對(duì)一切都有的充要條件是或。13.（2009安徽）（本小題滿分12分）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和（Ⅰ）求數(shù)列{}與{}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，＜【思路】由可求出，這是數(shù)列中求通項(xiàng)的常用方法之一，在求出后，進(jìn)而得到，接下來用作差法來比較大小，這也是一常用方法?！窘馕觥?1)由于當(dāng)時(shí),又當(dāng)時(shí)數(shù)列項(xiàng)與等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1,公比為(2)由(1)知由即即又時(shí)成立,即由于恒成立.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),14.（2009江西）（本小題滿分12分）數(shù)列的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為.(1)求;(2)求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和.解:(1)由于,故,故()(2)兩式相減得故15.（2009江西）（本小題滿分14分）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，，且對(duì)滿足的正整數(shù)都有（1）當(dāng)時(shí)，求通項(xiàng)（2）證明：對(duì)任意，存在與有關(guān)的常數(shù)，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，都有解：（1）由得將代入化簡(jiǎn)得所以故數(shù)列為等比數(shù)列，從而即可驗(yàn)證，滿足題設(shè)條件.(2)由題設(shè)的值僅與有關(guān),記為則考察函數(shù),則在定義域上有故對(duì)，恒成立.又,注意到,解上式得取,即有.16.（2009天津）（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的公差d不為0，設(shè)（Ⅰ）若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若成等比數(shù)列，求q的值。（Ⅲ）若【答案】（1）（2）（3）略【解析】（1）解：由題設(shè)，代入解得，所以（2）解：當(dāng)成等比數(shù)列，所以，即，注意到，整理得（3）證明：由題設(shè)，可得，則①②①-②得，①+②得，③③式兩邊同乘以q，得所以（3）證明：=因?yàn)?，所以若，取i=n，若，取i滿足，且，由（1）（2）及題設(shè)知，，且當(dāng)時(shí)，，由，即，所以因此當(dāng)時(shí)，同理可得因此綜上，【考點(diǎn)定位】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力。17.(2009湖北)（本小題滿分13分）（注意：在試題卷上作答無效）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（n為正整數(shù)）。（Ⅰ）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，試比較與的大小，并予以證明。19.解析：（I）在中，令n=1，可得，即當(dāng)時(shí)，，..又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.于是.(II)由（I）得，所以由①-②得于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比較的大小由可猜想當(dāng)證明如下：證法1：（1）當(dāng)n=3時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立。（2）假設(shè)時(shí)所以當(dāng)時(shí)猜想也成立綜合（1）（2）可知，對(duì)一切的正整數(shù)，都有證法2：當(dāng)時(shí)綜上所述，當(dāng)，當(dāng)時(shí)18.（2009四川）（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。（I）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（III）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；【解析】（I）當(dāng)時(shí)，又∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，…………………3分（II）不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由（I）知∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)∴∴對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有∴不存在正整數(shù)，使得成立?！?分（III）由得又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，…………………14分19.（2009全國(guó)卷Ⅱ）（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為已知（I）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（I）由及，有由，．．．①則當(dāng)時(shí)，有．．．．．②②－①得又，是首項(xiàng)，公比為２的等比數(shù)列．（II）由（I）可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列．，評(píng)析：第（I）問思路明確，只需利用已知條件尋找．第（II）問中由（I）易得，這個(gè)遞推式明顯是一個(gè)構(gòu)造新數(shù)列的模型：，主要的處理手段是兩邊除以．總體來說，09年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)I、Ⅱ這兩套試題都將數(shù)列題前置,主要考查構(gòu)造新數(shù)列（全國(guó)I還考查了利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和的方法），一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。20.（2009湖南）（本小題滿分13分）對(duì)于數(shù)列,若存在常數(shù)M＞0,對(duì)任意的，恒有,則稱數(shù)列為數(shù)列.（Ⅰ）首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請(qǐng)說明理由;（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和.給出下列兩組判斷：A組：①數(shù)列是B-數(shù)列,②數(shù)列不是B-數(shù)列;B組：③數(shù)列是B-數(shù)列,④數(shù)列不是B-數(shù)列.請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；(Ⅲ)若數(shù)列是B-數(shù)列，證明：數(shù)列也是B-數(shù)列。解:（Ⅰ）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為,則.于是==所以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列（Ⅱ）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列.此命題為假命題.事實(shí)上設(shè)=1，，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但=n，.由n的任意性知，數(shù)列不是B-數(shù)列。命題2：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列不是B-數(shù)列。此命題為真命題。事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對(duì)任意的，有,即.于是,所以數(shù)列是B-數(shù)列。（注：按題中要求組成其它命題解答時(shí)，仿上述解法）(Ⅲ)若數(shù)列是B-數(shù)列，則存在正數(shù)M，對(duì)任意的有.因?yàn)?記，則有.因此.故數(shù)列是B-數(shù)列.21.（2009遼寧）（本小題滿分10分）等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，已知,,成等差數(shù)列（1）求{}的公比q；（2）求－＝3，求解：（Ⅰ）依題意有由于，故又，從而5分（Ⅱ）由已知可得故從而10分22.（2009陜西）（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，.令，證明：是等比數(shù)列；(Ⅱ)求的通項(xiàng)公式。（1）證當(dāng)時(shí)，所以是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。（2）解由（1）知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。所以。23.(2009陜西)（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，.猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(Ⅱ)證明：。證（1）由由猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，已證命題成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即易知，那么=即也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立（2）當(dāng)n=1時(shí)，，結(jié)論成立當(dāng)時(shí)，易知24.（2009四川）（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。（I）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（III）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；【解析】（I）當(dāng)時(shí)，又∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，…………………3分（II）不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由（I）知∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)∴∴對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有∴不存在正整數(shù)，使得成立?！?分（III）由得又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，…………………14分25.（2009湖北）（本小題滿分12分）已知{an}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a6＝55,a2+a7＝16.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：（Ⅱ）若數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}滿足等式：an＝＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn解（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則依題設(shè)d>0由a2+a7＝16.得①由得②由①得將其代入②得。即（2）令兩式相減得于是=-4=26.(2009湖南)（本小題滿分13分）對(duì)于數(shù)列若存在常數(shù)M＞0,對(duì)任意的，恒有則稱數(shù)列為B-數(shù)列首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請(qǐng)說明理由;請(qǐng)以其中一組的一個(gè)論斷條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，給出下列兩組論斷；A組：①數(shù)列是B-數(shù)列②數(shù)列不是B-數(shù)列B組：③數(shù)列是B-數(shù)列④數(shù)列不是B-數(shù)列請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題。判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；（3）若數(shù)列都是數(shù)列，證明：數(shù)列也是數(shù)列。解（1）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為,則，于是因此｜-｜+｜-｜+…+｜-｜=因?yàn)樗约垂适醉?xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列。（2）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列次命題為假命題。事實(shí)上，設(shè)，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但由的任意性知，數(shù)列是B-數(shù)列此命題為。命題2：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列此命題為真命題事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對(duì)任意的有即。于是所以數(shù)列是B-數(shù)列。（III）若數(shù)列{}是數(shù)列，則存在正數(shù)，對(duì)任意的有注意到同理：記，則有因此+故數(shù)列是數(shù)列27.（2009天津）（本小題滿分14分）已知等差數(shù)列{}的公差為d（d0），等比數(shù)列{}的公比為q（q>1）。設(shè)=+…..+,=-+…..+(-1,n若==1，d=2，q=3，求的值；若=1，證明（1-