年春學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷2023.4.28一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】；；；．故選：D．2.已知為原點(diǎn)，，，則的邊上的中線長為（

）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【詳解】線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的邊上的中線長為．故選：B3.已知向量分別是直線，的方向向量，若，則（

）A.8 B.20 C. D.【答案】A【詳解】向量，，，分別是直線，的方向向量，若，則存在實(shí)數(shù)使得，所以，，，解得，，，所以．故選：．4.函數(shù)的圖象在處的切線在軸上的截距是（

）A.1 B. C. D.0【答案】C【詳解】由題意可得：，，則，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，故切線方程為，則，令，則，解得，故函數(shù)的圖象在處的切線在軸上的截距是．故選：C．5.已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A. B. C.0 D.2【答案】A【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，易知，則，解之得，故選：A6.設(shè)正方體的棱長為1，則點(diǎn)到的距離為（）A B. C.D.【答案】B【詳解】方法一：如圖，到的距離即為正三角形的高，又因?yàn)檎襟w的棱長為1，則正三角形的邊長為，易得到的距離即為．方法二：分別以為方向?yàn)檩S正向建立空間直角坐標(biāo)系，則，易得直線的單位方向向量為，所以到的距離為．故答案為：．7.已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A. B. C. D.【答案】A【詳解】設(shè)直線平行于直線，則直線的斜率為2，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象相切，點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最小，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)椋瑒t，解得，又在函數(shù)的圖象上，則，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為．故選：A．8.若曲線有三條過點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A. B. C. D.【答案】B【詳解】設(shè)該切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，所以切線方程為，又切線過點(diǎn)，則，整理得．要使過點(diǎn)的切線有3條，需方程有3個(gè)不同的解，即函數(shù)圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，且極小值、極大值分別為，如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，即過點(diǎn)的切線有3條．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選：B．多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分）9.函數(shù)的定義域?yàn)?，它的?dǎo)函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的有（

）A.是的極小值點(diǎn)B.C.函數(shù)在上有極大值D.函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)【答案】ACD【詳解】當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以有，因此選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在上沒有極大值，因此選項(xiàng)C不正確；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因此不是的極值點(diǎn)，只有當(dāng)和時(shí)函數(shù)有極值點(diǎn)，所以選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)D不正確，故選：ACD10.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中正確的是（

）A.若兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B.若直線的方向向量，平面的法向量是，則C.若兩個(gè)不同平面，的法向量分別為，，則D.若平面經(jīng)過三點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，則【答案】ACD【詳解】因?yàn)閮蓷l不重合直線，的方向向量分別是，，所以，所以共線，又直線，不重合，所以，故A正確；因?yàn)橹本€的方向向量，平面的法向量是且，所以，故B不正確；兩個(gè)不同平面，的法向量分別為，，則有，所以，故C正確；平面經(jīng)過三點(diǎn)，，，所以又向量是平面的法向量，所以則，故D正確，故選：ACD．11.如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱和的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的（

）A.平面 B.C.是平面的一個(gè)法向量 D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ACD【詳解】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，對于A，由于分別是的中點(diǎn)，所以，平面，平面，故平面，故A正確，對于B，，故，故與不垂直，進(jìn)而可得與不垂直，故B錯(cuò)誤，對于C，由，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量，故C正確，對于D，點(diǎn)到平面的距離為，故D正確，故選：ACD12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的有（

）A.一定有極大值 B.當(dāng)時(shí)，有極小值C.當(dāng)時(shí)，可能無零點(diǎn) D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則【答案】ABC【詳解】由題意可得：，若，則恒成立，即在定義域上單調(diào)遞增，無極值，故A錯(cuò)誤；若，令，易得：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即有極大值，故B錯(cuò)誤；若，由上知在定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故使得，故C錯(cuò)誤；若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則由上可知①時(shí)，恒成立，滿足題意；②時(shí)，則，即，綜上可得，故D正確．二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.曲線在x＝1處的切線方程為__________．【答案】14.若函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是________．【答案】【詳解】由得，由于在上是單調(diào)增函數(shù)，故在上恒成立，故，故答案為：15.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，若點(diǎn)在平面內(nèi)，則，，，應(yīng)滿足的關(guān)系為_________．【答案】【詳解】點(diǎn)，，，所以：，，設(shè)平面的法向量為，則：，令得：在平面內(nèi)，所以即：故答案為：16.已知函數(shù)．若恒成立，則的取值范圍是的．【答案】．【詳解】的定義域?yàn)?，所以．令，則，解得，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如右：單調(diào)遞減極小值為單調(diào)遞增恒成立等價(jià)于即可．令，則，令，則，令，由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，取到最小值為，即，所以的取值范圍為．三、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明或演算步驟．）17.函數(shù)過點(diǎn)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【詳解】（1）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，解得，∴，∴，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以的增區(qū)間為，，減區(qū)間為．－－－－5分（2）由（1）可得：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．－－－7分∴，又，，∴．－－－－10分18.已知函數(shù)．（1）若在處取得極值，求a的值；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，解得，－－－3分當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，符合題意．－－－－－－5分（2）解：由，其中，當(dāng)時(shí)，可得，單調(diào)遞減，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；－－6分當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)極小值，也是最小值，最小值為，－－－9分當(dāng)時(shí)，，且，要使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．－－－12分19.如圖，平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，，．（1）證明：AB垂直平面PDE；（2）求直線與平面DCE所成角的正弦值．【詳解】（1）略．－－－－5分（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，．，，因?yàn)?，所以又，平面，，所以平面，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為．－－－－－12分20.如圖，正方體的棱長為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到平面的距離為；（2）求到平面的距離．【詳解】（1）以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，－－－－2分所以，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，所以平面所的法向量為，又所以點(diǎn)到平面的距離．－－－－7分（2）由（1）可得平面的法向量為，∵，∴，，，∴平面，

所以到平面的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，由，所以到平面的距離為．－－－12分21.如圖，已知三角形是等腰三角形，，，C，D分別為，的中點(diǎn)，將沿CD折到△PCD的位置如圖2，且，取線段PB的中點(diǎn)為E．（1）求證：平面PAD；（2）求二面角的正弦值．【詳解】（1）證明：取PA中點(diǎn)F，連接DF，EF，∵E為PB的中點(diǎn)，則，，∴，，又∵C，D分別為，的中點(diǎn)，∴，，∴，，∴四邊形CDEF為平行四邊形，∴．∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD；－－－5分（2）由題知，，，∴，則，∵在中，，C，D分別為，的中點(diǎn)，∴，∴，，∴AD，CD，PD兩兩互相垂直．－－－7分如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD，CD，PD所在直線為x軸、y軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，注：從此處運(yùn)用坐標(biāo)法證得（1）得7分．設(shè)平面ECA，平面ECB的法向量分別為，，則，取，可得；，取，得．∴．設(shè)二面角的平面角為，則．－－－－－12分22.已知，．（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）對一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）解：因?yàn)椋瑒t，