2023屆內(nèi)蒙古赤峰實(shí)驗(yàn)中學(xué)、橋北四中高三下學(xué)期大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．設(shè)全集，已知集合，，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡(jiǎn)集合，先求出，再求出其補(bǔ)集即可得解.【詳解】或，，所以，所以，即.故選：D2．已知純虛數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．3 C．1或3 D．0【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的條件可列出方程及不等式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，故，則，解得.故選：B3．已知平面向量，滿(mǎn)足，，的夾角為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算即可.【詳解】，，的夾角為，得，，.故選：D.4．一百零八塔是中國(guó)現(xiàn)存的大型古塔群之一，位于銀川市南60公里的青銅峽水庫(kù)西岸崖壁下，佛塔依山勢(shì)自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇數(shù)排列成十二行，塔體分為4種類(lèi)型：第1層塔身覆缽式，2~4層為八角鼓腹錐頂狀，5~6層呈葫蘆狀，7~12層呈寶瓶狀，現(xiàn)將一百零八塔按從上到下，從左到右的順序依次編號(hào)1，2，3，4，…，108．則編號(hào)為26的佛塔所在層數(shù)和塔體形狀分別為（

）一百零八塔全景A．第5行，呈葫蘆狀 B．第6行，呈葫蘆狀C．第7行，呈寶瓶狀 D．第8行，呈寶瓶狀【答案】C【分析】根據(jù)題意算出佛塔依山勢(shì)自上而下前6行的總數(shù)，然后確定編號(hào)為26的佛塔所在層數(shù)和塔體形狀即可.【詳解】因?yàn)椋示幪?hào)為26的佛塔在第7行，呈寶瓶狀．故選：C5．已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，點(diǎn)，在拋物線C上，若，則（

）．A．4 B．2 C． D．【答案】A【分析】由焦準(zhǔn)距求出，結(jié)合拋物線第一定義得，整理得，由代換即可求解.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，所以，依題意，，而，，故，即，則，故，故選：A．6．定義：兩個(gè)正整數(shù)a，b，若它們除以正整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱(chēng)a，b對(duì)于模m同余，記作，比如：.已知，滿(mǎn)足，則p可以是（

）A．23 B．31 C．32 D．19【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求得除以的余數(shù)，再結(jié)合選項(xiàng)即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橐布矗食缘挠鄶?shù)為除以的余數(shù)2，又除以7的余數(shù)也為2，滿(mǎn)足題意，其它選項(xiàng)都不滿(mǎn)足題意.故選：A.7．如圖，在直三棱柱中，，，設(shè)，分別是棱上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．平面平面 B．平面C．平面 D．三棱錐體積為定值【答案】C【分析】根據(jù)面面垂直、線面平行、線面垂直、錐體體積等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，過(guò)作，垂足為，根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知平面，由于平面，所以，由于平面，所以平面，即平面，由于平面，所以平面平面，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，根據(jù)三棱柱的性質(zhì)可知，即，由于平面，平面，所以平面，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若平面，即平面，由于平面，所以，這與已知不垂直矛盾，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，由于三角形的面積為定值、到平面的距離為定值，所以為定值，所以D選項(xiàng)正確.故選：C8．若等比數(shù)列滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程組，解之可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，所以，又，所以，故選：A.9．已知四面體ABCD的所有頂點(diǎn)在球O的表面上，平面BCD，，，，則球O的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作圖，先找到外接球的球心，算出底面三角形BCD外接圓的半徑,再構(gòu)造三角形運(yùn)用勾股定理求出外接球的半徑.【詳解】如圖，設(shè)底面的外接圓的圓心為，外接圓的半徑為r，由正弦定理得，過(guò)作底面BCD的垂線，與過(guò)AC的中點(diǎn)E作側(cè)面ABC的垂線交于O，則O就是外接球的球心，并且，外接球的半徑，球O的體積為；故選：D.10．某盞吊燈上并聯(lián)著個(gè)燈泡，如果在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)燈泡能正常照明的概率都是0.8，那么在這段時(shí)間內(nèi)該吊燈上的燈泡至少有兩個(gè)能正常照明的概率是（

） 【答案】B【解析】先計(jì)算個(gè)都不亮和只有個(gè)亮的概率，利用對(duì)立事件概率公式即可求至少有兩個(gè)能正常照明的概率.【詳解】個(gè)都不亮的概率為，只有個(gè)亮的概率為，所以至少有兩個(gè)能正常照明的概率是，故選：B11．如圖所示，，是雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，的右支上存在一點(diǎn)滿(mǎn)足，與的左支的交點(diǎn)滿(mǎn)足，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】在和中，由正弦定理結(jié)合條件得到，設(shè)（），由雙曲線的定義和勾股定理得到，結(jié)合即可求解.【詳解】在中，由正弦定理得：①，在中，由正弦定理得：②，又，則，所以得：，又，則，即；設(shè)（），由雙曲線的定義得：，，，由得：，解得：，所以，，在中，由勾股定理得：，整理得：，即雙曲線的離心率，故選：C.12．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若，則（

）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】由為偶函數(shù)，為奇函數(shù)得到，故函數(shù)的周期，結(jié)合得到，由得，從而求出，采用賦值法求出，，再使用求出的的周期，賦值法得到.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，用代替得：，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，故①，用代替得：②，由①②得：，所以函數(shù)的周期，所以，即，因?yàn)?，令得：，故，，解得：，所以時(shí)，，因?yàn)椋?，得，其中，所以，因?yàn)?，令得：，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，令得：，故?故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和周期性：若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，若函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的周期為，若函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的周期為，若函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的周期為.二、填空題13．在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，3，5，7出現(xiàn)的頻率分別為，，，，且，若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2，則______．【答案】##【分析】分析得到樣本數(shù)據(jù)從小到大排序后中間兩個(gè)數(shù)為1，3，即得解.【詳解】∵樣本數(shù)據(jù)中只有1，3，5，7，沒(méi)有2，∴樣本數(shù)據(jù)一共有偶數(shù)個(gè)數(shù)，且從小到大排序后中間兩個(gè)數(shù)為1，3，∴樣本數(shù)據(jù)中有一半是1，∴.故答案為：14．已知圓的圓心在直線x－2y－3＝0上，且過(guò)點(diǎn)A(2，－3)，B(－2，－5)，則圓的一般方程為_(kāi)_______________.【答案】x2＋y2＋2x＋4y－5＝0【分析】方法一：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，建立方程組，求出答案；方法二：求出線段AB的垂直平分線方程，聯(lián)立x－2y－3＝0求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算出半徑，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，化為一般方程.【詳解】方法一：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意得:,解得：故所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.方法二：線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，直線的斜率為，所以線段AB的垂直平分線的斜率為-2，所以線段AB的垂直平分線方程為，即2x＋y＋4＝0，由幾何性質(zhì)可知：線段AB的垂直平分線與的交點(diǎn)為圓心，聯(lián)立，得交點(diǎn)坐標(biāo)，又點(diǎn)O到點(diǎn)A的距離，即半徑為，所以圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.故答案為：x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.15．在函數(shù)圖象與x軸的所有交點(diǎn)中，點(diǎn)離原點(diǎn)最近，則可以等于__________（寫(xiě)出一個(gè)值即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】先求出與x軸的所有交點(diǎn)，再結(jié)合題意得到恒成立，整理得，分類(lèi)討論，與三種情況，結(jié)合恒成立可得到，從而得解.【詳解】因?yàn)?，令，即，得，即，則圖象與x軸的所有交點(diǎn)為，因?yàn)槠渲悬c(diǎn)離原點(diǎn)最近，所以恒成立，不等式兩邊平方整理得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，故恒成立；?dāng)時(shí)，，即恒成立，因?yàn)?，則，故；當(dāng)，即時(shí)，顯然上述不等式恒成立，綜上，由于上述分類(lèi)情況要同時(shí)成立，故，所以可以等于.故答案為：（答案不唯一）.16．已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【分析】求得，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求得，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】，由題意知在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，將其變形為，設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，的極大值為.畫(huà)出函數(shù)的大致圖象如圖，易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，即.故答案為：.三、解答題17．在中，角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求角；(2)若角的平分線與交于點(diǎn)，，，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)4【分析】（1）利用余弦定理角化邊或利用正弦定理邊化角即可求解；（2）在和中用兩次正弦定理可得，然后在中利用余弦定理可得的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得的大小，再在中利用余弦定理即可求解.【詳解】（1）解法一：由余弦定理可得，即，整理可得，所以，因?yàn)?，所?解法二：由正弦定理可得，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?（2）如圖所示由題意可得是角的平分線，，，在中，由正弦定理可得，即，解得，在中，由正弦定理可得，即，解得，所以，由正弦定理邊角互化得，在中由余弦定理解得，所以，在由余弦定理得，解得.18．如圖所示，在三棱錐S－BCD中，平面平面，A是線段上的點(diǎn)，為等邊三角形，，.(1)若，求證：；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)或【分析】(1)運(yùn)用余弦定理證明，再證明平面即可；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量計(jì)算直線與平面的夾角，即可算出的長(zhǎng)度.【詳解】（1）依題意，BD＝2，在中，CD＝4，∠BCD＝30°，由余弦定理求得解得：，∴，即，又平面SBD⊥平面BCD，平面SBD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD.∴BC⊥平面SBD，從而，在等邊中，，則，又，∴平面，∴；（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BD所在直線分別為x軸，y軸，過(guò)點(diǎn)B作平面BCD的垂線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面SCD的法向量為，則即，令，則，，設(shè)

，則，故，則，設(shè)直線BA與平面SCD所成角為θ，故，解得或，即或；綜上，或.19．近年來(lái)，美國(guó)方面泛化國(guó)家安全概念，濫用國(guó)家力量，不擇手段打壓中國(guó)高科技企業(yè)．隨著貿(mào)易戰(zhàn)的不斷升級(jí)，我國(guó)內(nèi)越來(lái)越多的科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力量．為了不受制于人，我國(guó)某新能源產(chǎn)業(yè)公司擬對(duì)智能制造行業(yè)的“工業(yè)機(jī)器人”進(jìn)行科技改造和升級(jí)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到科技升級(jí)投入x（億元）與科技升級(jí)直接受益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表：序號(hào)123456789101112x2346810132122232425y13223142505658686666當(dāng)時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型；模型①：；模型②：．當(dāng)時(shí)，確定y與x滿(mǎn)足的線性回歸方程為．（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)“工業(yè)機(jī)器人”科技升級(jí)的投入為17億元時(shí)的直接收益．回歸模型模型①模型②回歸方程（附：刻畫(huà)回歸效果的相關(guān)指數(shù)）（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)科技升級(jí)的投入不少于20億元時(shí)，根據(jù)我國(guó)的智能制造專(zhuān)項(xiàng)政策，國(guó)家科技、工信等部門(mén)給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，比較科技升級(jí)投入17億元與20億元時(shí)公司實(shí)際收益的大小．【答案】（1）模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)，選擇模型②，直接收益的預(yù)測(cè)值為：億元；（2）技術(shù)升級(jí)投入20億元時(shí)，公司的實(shí)際收益更大．【分析】（1）利用可得，所以選擇模型②，代入到可求出結(jié)果；（2）利用表格中的數(shù)據(jù)求出當(dāng)時(shí)，y與x滿(mǎn)足的線性回歸方程，再計(jì)算科技升級(jí)投入17億元與20億元時(shí)公司實(shí)際收益，比較可得結(jié)果.【詳解】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，，所以，故，可見(jiàn)模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)，所以回歸模型②的擬合效果更好，所以當(dāng)億元時(shí)，科技升級(jí)直接收益的預(yù)測(cè)值為：億元；（2）當(dāng)時(shí)，由已知可得，，，所以，所以當(dāng)時(shí)，y與x的線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，科技升級(jí)直接收益的預(yù)測(cè)值為億元，當(dāng)億元時(shí)，實(shí)際收益的預(yù)測(cè)值為億元億元，所以技術(shù)升級(jí)投入20億元時(shí)，公司的實(shí)際收益更大．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握線性回歸方程的求法是解題關(guān)鍵.20．如圖所示，為橢圓的左?右頂點(diǎn)，焦距長(zhǎng)為，點(diǎn)在橢圓上，直線的斜率之積為.(1)求橢圓的方程；(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)不重合），直線交于點(diǎn).求證：直線的斜率之積為定值，并求出該定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，定值為【分析】（1）根據(jù)焦距、直線的斜率之積求得，從而求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，通過(guò)計(jì)算直線的斜率之積來(lái)證得結(jié)論成立，并求得定值.【詳解】（1）由題意，，設(shè)，，由題意可得，即，可得又，所以，解得所以，橢圓的方程為；（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線，且聯(lián)立，得由，得，所以，設(shè)，由三點(diǎn)共線可得所以，直線的斜率之積為定值.21．已知函數(shù)（1）若，(為的導(dǎo)函數(shù))，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：【答案】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)分類(lèi)討論判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)的最大值；（2）把要證結(jié)論等價(jià)轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的極值點(diǎn)再次把要證結(jié)論轉(zhuǎn)化為，()，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，則；②當(dāng)，即時(shí)，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；，③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則；④當(dāng)，即時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則．綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）要證，只需證：，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，又，所以是方程的兩個(gè)不同實(shí)根，即，解得，另一方面，由，得，從而可得，于是．不妨設(shè)，設(shè)，則．因此，．要證，即證：，即當(dāng)時(shí)，有，設(shè)函數(shù)，則，所以為上的增函數(shù)．注意到，，因此，．于是，當(dāng)時(shí)，有．所以成立，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是對(duì)要證明不等式合理變形，把雙變量問(wèn)題化為單變量問(wèn)題.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程：（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建