數(shù)字謎綜合第頁第十九講數(shù)字謎綜合（二）內(nèi)容概述涉及質(zhì)數(shù)與合數(shù)等概念,以及需要利用數(shù)的整除特征、分解質(zhì)因數(shù)等數(shù)論手段解的數(shù)字謎問題．典型問題1.試將1,2,3,4,5,6,7分別填入下面的方框中,每個數(shù)字只用一次:口口口(這是一個三位數(shù)).口口口(這是一個三位數(shù)),口(這是一個一位數(shù)),使得這三個數(shù)中任意兩個都互質(zhì).已知其中一個三位數(shù)已填好,它是714,求其他兩個數(shù)．【分析與解】714=2×3×7×17．由此可以看出,要使最下面方框中的數(shù)與714互質(zhì),在剩下未填的數(shù)字2,3,5，6中只能選5，也就是說，第三個數(shù)只能是5．現(xiàn)在來討論第二個數(shù)的三個方框中應(yīng)該怎樣填2,3,6這3個數(shù)字．因為任意兩個偶數(shù)都有公約數(shù)2,而714是偶數(shù),所以第二個的三位數(shù)不能是偶數(shù),因此個位數(shù)字只能是3.這樣一來,第二個三位數(shù)只能是263或623.但是623能被7整除,所以623與714不互質(zhì)．最后來看263這個數(shù).通過檢驗可知:714的質(zhì)因數(shù)2,3,7和17都不是263的因數(shù),所以714與263這兩個數(shù)互質(zhì)．顯然,263與5也互質(zhì)．因此,其他兩個數(shù)為263和5．2.如圖19-1,4個小三角形的頂點處有6個圓圈.如果在這些圓圈中分別填上6個質(zhì)數(shù)，它們的和是20，而且每個小三角形3個頂點上的數(shù)之和相等.問這6個質(zhì)數(shù)的積是多少?【分析與解】設(shè)每個小三角形三個頂點上的數(shù)的和都是S.4個小三角形的和S相加時,中間三角形每個頂點上的數(shù)被算了3次,所以4S=2S+20,即S=10．這樣,每個小三角形頂點上出現(xiàn)的三個質(zhì)數(shù)只能是2,3,5,從而六個質(zhì)數(shù)是2,2,3,3,5,5,它們的積是：2×2×3×3×5×5=9003.在圖19-2.所示算式的每個方框內(nèi)填人一個數(shù)字,要求所填的數(shù)字都是質(zhì)數(shù),并使豎式成立．【分析與解】記兩個乘數(shù)為和cd其中a、b、c、d的值只能取自2、3、5或7．由已知條件,b與c相乘的個位數(shù)字仍為質(zhì)數(shù),這只可能是b與c中有一個是5另一個是3、5或7,如果b不是5,那么c必然是5,但73×5=365、77×5=385的十位數(shù)字都不是質(zhì)數(shù).因此b是5,c是3、5、7中的一個,同樣道理,d也是3、5、7中的一個．再由已知條件,的乘積的各位數(shù)字全是質(zhì)數(shù),所以乘積肯定大于2000,滿足積大于2000且a、c取質(zhì)數(shù),只有以下六種情況：775×3=2325,575×5=2875,775×5=3875,375×7=2625,575×7=4025,775×7=5425．其中只有第一組的結(jié)果各位數(shù)字是質(zhì)數(shù),因此a=7,c=3，同理,d也是3．最終算式即為775×33=255754.把一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與其十位數(shù)字交換后得到一個新數(shù),它與原來的數(shù)加起來恰好是某個自然數(shù)的平方.那么這個和數(shù)是多少?【分析與解】設(shè)原來的兩位數(shù)為,則交換十位數(shù)字與個位數(shù)字后的兩位數(shù)為,兩個數(shù)的和為,兩個數(shù)和為＋=是ll的倍數(shù),因為它是完全平方數(shù),所以也是11×11=121的倍數(shù).但是這個和小于100+100=200<121×2,所以這個和數(shù)只能是121．5.迎杯×春杯=好好好在上面的乘法算式中,不同的漢字表示不同的數(shù)字,相同的漢字表示相同的數(shù)字.那么“迎+春+杯+好”之和等于多少?【分析與解】好好好=好×111=好×3×37．那么37必定是“迎杯”或“春杯”的約數(shù),不妨設(shè)為“迎杯”的約數(shù),那么“迎杯”為37或74．當(dāng)“迎杯”為37時,“春杯”為“好”×3,且“杯”為7,此時“春杯”為27,“好”為9,“迎+春+杯+好”之和為3+2+7+9=21；當(dāng)“迎杯”為74時,“春杯”為“好”×3÷2,且“杯”為4,此時“春杯”為24,“好”為16,顯然不滿足．所以“迎+春+杯+好”之和為3+2+7+9=21．6．?dāng)?shù)數(shù)×科學(xué)=學(xué)數(shù)學(xué)在上面的算式中,每一漢字代表一個數(shù)字,不同的漢字代表不同的數(shù)字.那么“數(shù)學(xué)”所代表的兩位數(shù)是多少?【分析與解】“學(xué)數(shù)學(xué)”是“數(shù)數(shù)”的倍數(shù)，因而是“數(shù)”與1l的倍數(shù).學(xué)數(shù)學(xué)=學(xué)×101+數(shù)×10是“數(shù)”的倍數(shù),而101是質(zhì)數(shù),所以“學(xué)”一定是“數(shù)”的倍數(shù)．又“學(xué)數(shù)學(xué)”是11的倍數(shù),因而:“學(xué)+學(xué)-數(shù)”為11的倍數(shù)．因為“學(xué)”是“數(shù)”的倍數(shù),從上式推出“數(shù)”是11的約數(shù),所以“數(shù)”=1,“學(xué)”=(11+1)÷2=6．“數(shù)學(xué)”所代表的兩位數(shù)是16．7.將1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個數(shù)字分別填人下式的各個方框中,可使此等式成立:口口×口口=口口×口口口=3634．填好后得到三個兩位數(shù)和一個三位數(shù),這三個兩位數(shù)中最大的一個是多少?【分析與解】3634=2×23×79,表達(dá)為兩個兩位數(shù)的乘積只能是(2×23)×79,即46×79；表達(dá)為一個兩位數(shù)與一個三位數(shù)的乘積,只能是23×(2×79)=23×158．滿足題意,所以這三個兩位數(shù)中最大的一個是79．8.六年級的學(xué)生總?cè)藬?shù)是三位數(shù),其中男生占,男生人數(shù)也是三位數(shù),而組成以上兩個三位數(shù)的6個數(shù)字,恰好是l,2,3,4,5,6.那么六年級共有學(xué)生多少人?【分析與解】設(shè)六年級總?cè)藬?shù)為,其中男生有人．AB×D即76×9=684.因為30000÷76>394,所以39E只有395、396、397、398、399這五種可能,它們與76的乘積依次為30020、30096、30172、30248、30324.由于各個數(shù)字都不能是2,所以只有76×396=30096滿足題目的要求．驗證C取其他值時沒有滿足題意的解．所以算式中所得的乘積為30096．12.請補(bǔ)全圖19-6這個殘缺的除法豎式.問這個除法算式的商數(shù)是多少?【分析與解】易知除號下第二行的首位為9.除號下第一行開頭兩位為1、0,商的十位為0．第二行9口對應(yīng)為CD×A，(1)9口不可能為90,不然第一行前三位10口與第二行90的差不可能為一位數(shù),不滿足第三行特征；(2)9口對應(yīng)為91時,第三行的首位對應(yīng)為10口-91,最小為9，所以只能為9,那么有91=CD×A,928=CD×B,不可能；(3)9口對應(yīng)為92時,第三行的首位對應(yīng)為10口-92,最小為8,所以可能為8、9，①如果為9,那么對應(yīng)有92=CD×A,928=CD×B,不可能；②如果為8,那么對應(yīng)有92=CD×A,828=CD×B,不難得知A=l,B=9,CD=92時滿足,那么被除數(shù)為92×109=10028．驗證沒有其他的情況滿足,所以這個除法算式的商數(shù)為109．13.若用相同漢字表示相同數(shù)字,不同漢字表示不同數(shù)字,則在等式學(xué)習(xí)好勤動腦×5=勤動腦學(xué)習(xí)好×8中,“學(xué)習(xí)好勤動腦”所表示的六位數(shù)最小是多少?【分析與解】設(shè)“學(xué)習(xí)好”為x,“勤動腦”為Y,則“學(xué)習(xí)好勤動腦”為1000X+Y,“勤動腦學(xué)習(xí)好”為1000y+x，有(1000x+Y)×5=(1000y+x)×8,化簡有4992x=7995y,4992=128×3×13,7995=3×41×5×13,即128x=205y,有所以,“學(xué)習(xí)好勤動腦”所表示的六位數(shù)可能為205128,410256,615384,820512,但是不能有重復(fù)數(shù)字,所以只有410256,615384滿足,其中最小的是41025614.互為反序的兩個自然數(shù)的積是92565,求這兩個互為反序的自然數(shù).(例如102和201,35和53,11和11,…,稱為互為反序的數(shù),但120和2l不是互為反序的數(shù)．)【分析與解】首先可以確定這兩個自然數(shù)均為三位數(shù),不然得到的乘積不可能為五位數(shù)．設(shè)×=92565,那么C、A中必定有一個為5,一個為奇數(shù).不妨設(shè)C為5．×=92565,那么A只能為1,=92565.又注意到92565=3×3×5×11×1l×17．驗證只有為165時滿足,所以這兩個自然數(shù)為165、561．15.開放的中國盼奧運×口=盼盼盼盼盼盼盼盼盼上面的橫式中不同的漢字代表不同的數(shù)字,口代表某個一位數(shù).那么,“盼”字所代表的數(shù)字是多少?【分析與解】我們從“口”中所應(yīng)填入的一位自然數(shù)開始分析,設(shè)A=“開放的中國盼奧運”,B=“盼盼盼盼盼盼盼盼盼”.于是B=A×口.顯然口內(nèi)不會是1．由于口是B的約數(shù),因此口不會是“盼”所代表的數(shù)字,要不然A就等于111111111,這說明口內(nèi)不會是5,而111111111不是7的倍數(shù),說明口內(nèi)也不會是7．如果口內(nèi)填3,則“盼”只能是1或2,當(dāng)“盼”是1時,B÷3=37037037,不符合要求；當(dāng)“盼”時2時，B÷3=74074074,也不符合要求；說明口內(nèi)不能填入3．口內(nèi)也不會是偶數(shù)數(shù)字2、4、6和8.