第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式單元總結(jié)知識(shí)點(diǎn)一：不等式的主要性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性：(2)傳遞性：(3)加法法則：；(4)乘法法則：；，(5)乘方法則：(6)開(kāi)方法則：要點(diǎn)詮釋?zhuān)翰坏仁叫再|(zhì)中要注意等價(jià)雙向推出和單向推出關(guān)系的不同.知識(shí)點(diǎn)二：基本不等式兩個(gè)重要不等式①，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）；②基本不等式：如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)：稱(chēng)為的算術(shù)平均數(shù)；幾何平均數(shù)：稱(chēng)為的幾何平均數(shù)；因此基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).基本不等式的應(yīng)用,且（定值），那么當(dāng)時(shí)，有最小值；,且（定值），那么當(dāng)時(shí)，有最大值.要點(diǎn)詮釋?zhuān)涸谟没静坏仁角蠛瘮?shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備的三個(gè)條件①一正：函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值.幾個(gè)常用變形不等式：①（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）；②（a+b）2≥4ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）；③；特別地：；④.知識(shí)點(diǎn)三：三個(gè)“二次”的關(guān)系一元二次不等式或的解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程的兩根為，，則不等式的解的各種情況如下表：二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無(wú)實(shí)根R解一元二次不等式的步驟（1）先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)：（2）計(jì)算判別式，分析不等式的解的情況：①時(shí)，求根（注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法）；②時(shí)，求根；③時(shí)，方程無(wú)解（3）寫(xiě)出解集.要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝?，可以轉(zhuǎn)化為的情形解決.類(lèi)型一：不等式的性質(zhì)例1．若為實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則或B.若，則或C.若或，則D.若或，則【思路點(diǎn)撥】利用不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷.【解析】若，則同號(hào).當(dāng)時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，由得.所以A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤.由得，即，所以或同理，由得或顯然C項(xiàng)不正確.同理D項(xiàng)也不正確.【總結(jié)升華】解答此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)注意一下幾個(gè)方面：（1）準(zhǔn)確理解不等式的性質(zhì)；（2）掌握作差法比較大小這種最基本的方法；（3）了解符號(hào)的運(yùn)算規(guī)律；（4）靈活利用特殊數(shù)值對(duì)結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn).例2．已知函數(shù),滿足,,那么的取值范圍是.【思路點(diǎn)撥】將用及表示出來(lái)，再利用不等式性質(zhì)求得正確的范圍.【解析】解法一：方程思想(換元)：由，求得∴又∴，即。解法二：待定系數(shù)法設(shè)f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)解法三：數(shù)形結(jié)合(線性規(guī)劃)所確定區(qū)域如圖：設(shè)，將邊界點(diǎn)(0,1)(3,7)代入即求出.【總結(jié)升華】利用幾個(gè)不等式的范圍來(lái)確定某個(gè)不等式的范圍是一類(lèi)常見(jiàn)的綜合問(wèn)題，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題要注意：“同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減）”，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，在一個(gè)解題過(guò)程中多次使用這種轉(zhuǎn)化時(shí)，就有可能擴(kuò)大真實(shí)的取值范圍，解題時(shí)務(wù)必小心謹(jǐn)慎，先建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過(guò)“一次性不等關(guān)系的運(yùn)算，求得待求的范圍”，是避免犯錯(cuò)誤的一條途徑.類(lèi)型二：不等式的求解例3．已知函數(shù)的值域?yàn)椋絷P(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______.【解析】的值域?yàn)?，，，又的解集為，，?【總結(jié)升華】解決本題的關(guān)鍵是（1）準(zhǔn)確把握一元二次不等式的解法；（2）掌握一元二次不等式的解集、一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點(diǎn)三者之間的關(guān)系，根據(jù)需要進(jìn)行彼此的互化.例4．已知關(guān)于x的方程的兩根為，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[－1,1]及l(fā)∈[－1,1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．【總結(jié)升華】①在含參不等式問(wèn)題中，二次不等式恒成立的充要條件的理論依據(jù):ax2+bx+c>0對(duì)任何xR恒成立a>0且Δ=b2-4ac<0；ax2+bx+c<0對(duì)任何xR恒成立a<0且Δ=b2-4ac<0。②與不等式恒成立相互依存,相互支撐與相互轉(zhuǎn)化的最值命題：μ＜f(x)恒成立μ＜f(x)的最小值μ＞f(x)恒成立μ＞f(x)的最大值類(lèi)型三：均值不等式求最值及應(yīng)用例5．已知正數(shù)滿足，試求、的范圍。【思路點(diǎn)撥】利用均值不等式化歸為其它不等式的求解或者轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解.【解析】解法一：由，則，即解得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”號(hào)，故的取值范圍是.又解得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”號(hào)，故的取值范圍是解法二：由，知，則，由，則：，當(dāng)且僅當(dāng)，并求得時(shí)取“=”號(hào)，故的取值范圍是。，當(dāng)且僅當(dāng)，并求得時(shí)取“=”號(hào)，故的取值范圍是?！究偨Y(jié)升華】利用均值不等式求函數(shù)的最值，除了抓住均值不等式的使用條件“一正、二定、三相等”外，還要靈活變換函數(shù)式，配湊均值不等式，并正確應(yīng)用均值不等式求解函數(shù)最值問(wèn)題.例6．求函數(shù)的最小值.【思路點(diǎn)撥】是二項(xiàng)“和”的形式，但其“積”的形式不為定值.而可與相約，即其積為定積1，因此可以先添、減項(xiàng)6，即，再用均值不等式.【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí),等號(hào)成立.所以的最小值是.【總結(jié)升華】為了創(chuàng)造條件利用均值不等式，添項(xiàng)是常用的一種變形技巧；為了保證式子的值不變，添項(xiàng)后一定要再減去同一項(xiàng).例7．為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小，并求最小值．【思路點(diǎn)撥】(1)由題意知C(0)＝8，代入的表達(dá)式即可求出k的值，求的表達(dá)式時(shí)需注意定義域；(2)利用均值不等式即可求解．【解析】(1)設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，因此．而建造費(fèi)用為．最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為(0≤x≤10)．(2)．當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝5時(shí)取“＝”所以當(dāng)隔熱層修建5cm厚