PAGE目錄摘要 11.一階微分方程的幾種類型及其解法 22.一階微分方程的基本解法 32.1變量變換法 32.1.1齊次微分方程 32.1.2可化為齊次方程的方程 42.1.3伯努利微分方程 52.1.4里卡蒂（Riccati）微分方程 62.2積分因子法 72.2.1恰當(dāng)微分方程（全微分方程） 72.2.2積分因子法 83.一階微分方程的其他解法 103.1常數(shù)變易法 103.2降階法 103.3參數(shù)法 12小結(jié)： 13參考文獻(xiàn): 13致謝詞: 13PAGE11摘要本文首先介紹一階微分方程的最基本的兩種類型:可分離變量的微分方程、一階線性非齊次微分方程的解法.其次介紹了變量變換法.許多一階微分方程通過變量變換可化為上述基本類型的方程得到解決.再次介紹了恰當(dāng)微分方程及其求解公式,通過積分因子法可將一些微分方程化為恰當(dāng)微分方程進(jìn)而得到解決.最后針對一些特殊類型的一階微分方程介紹了常數(shù)變易法、降階法、參數(shù)法.【關(guān)鍵詞】一階微分方程變量變換法積分因子法ABSTRACTThispaperfirstintroducesfirst-orderdifferentialequationofthemostbasictwotypes:separablevariablesoftheordinarydifferentialequations,first-ordernonhomogeneouslineardifferentialequationsolution.Secondlyintroducesvariabletransformationmethod.Manyfirst-orderdifferentialequationbymeansofvariabletransformationcanbetranslatedintothebasictypesofequationssolved.Onceagainintroducesappropriatedifferentialequationandsolutionformulabyintegralfactormethod,canbesomedifferentialequationintoappropriatedifferentialequationandsolved.Finallybasedonsomespecialtypesoffirst-orderdifferentialequationintroducesdelay.anew,thereducedordermethod,parametersmethod.【KEY-WORDS】1.一階微分方程的幾種類型及其解法一階微分方程的初等解法，即把微分方程的求解問題化為積分問題，其解的表達(dá)式由初等函數(shù)或超越函數(shù)表示.現(xiàn)在先簡要介紹一下一階微分方程的一些基本類型及其基本解法：⑴可分離變量的微分方程：形如,其中為連續(xù)函數(shù)解法：①分離變量,即②兩邊積分,即可求得通解， ③化簡,整理,即可.可以說只要是可分離變量的微分方程,都可求解.例1求解方程,.解：方程可變量分離為積分得這里為任意常數(shù),上式可化為,其中.因方程還有特解,并考慮到條件,于是方程的通解為.⑵一階線性非齊次微分方程解法：方程的通解公式：y=C(x)=[+C]（常數(shù)變易法）⑶恰當(dāng)微分方程解法：方程的通解為,為任意常數(shù)⑷里卡蒂方程解法：當(dāng)能夠找到方程的一個特解,在經(jīng)過變換后方程就變?yōu)椴匠?因而可解.2.一階微分方程的基本解法一階微分方程解法主要有變量變換法,積分因子法兩種基本解法.2.1變量變換法我們知道微分方程有很多形式,但最簡單的一種就是變量分離方程,它可以用初等積分法求解.而碰到其它的類型,我們最常用的技巧就是用變量變換來改變方程的形狀,讓它轉(zhuǎn)化為我們能求解的類型,這種方法稱為變量變換法.2.1.1齊次微分方程形如，為連續(xù)函數(shù).解法：令,即.于是,有代入,便得方程即分離變量,得,兩邊積分,得求出積分后,再用代,便得所給方程的通解.齊次微分方程可看作一個基本類型,只要能判斷這個方程是齊次微分方程,就可利用上述變換將方程變換為可分離變量的微分方程,進(jìn)而得到解決.例2求微分方程的通解.解:原方程可化為=,這是一個齊次微分方程,故可令,即.則于是方程變?yōu)檫@是一個可分離變量的微分方程,分離變量得,兩邊積分,得,以代入,得所給方程的通解為.2.1.2可化為齊次方程的方程方程,分以下三種情況進(jìn)行求解:①當(dāng)時,可化為齊次方程求解.②當(dāng)不全為零時,但,即,我們令,可將方程化為求解.③當(dāng)不全為零時,但,即,令變換其中,是待定常數(shù)（即兩直線的交點(diǎn)）,可將方程化為關(guān)于X與Y的齊次方程求解,最后代回原變量即可得原方程的解.例3求微分方程的通解.解:解方程組得現(xiàn)令代入則有,再令,即,則,化為兩邊積分得因此.記并代回原方程有容易驗(yàn)證也為原方程的解.因此方程的通解為,其中c為任意常數(shù).2.1.3伯努利微分方程形如這里的是的連續(xù)函數(shù),是常數(shù).解法：對于,用乘兩邊,得到引入變量變換,從而.得到,這是一個一階線性微分方程,可套用一階線性微分方程的通解公式進(jìn)行求解.例4求微分方程的通解.解:將原方程變形為,即,這是的伯努利方程.令,得一階線性方程,由公式得 ，故通解為.從上述可以看出齊次微分方程、可化為齊次的微分方程、伯努利微分方程都有著固定的解法,因此可以看作基本類型的方程,其他一階微分方程只要能通過變量變換轉(zhuǎn)化成上述基本類型,就可求出通解.2.1.4里卡蒂（Riccati）微分方程形如,這里為連續(xù)函數(shù).這種類型的方程一般沒有初等解法,只有當(dāng)能夠找到方程的一個特解,在經(jīng)過變換后方程就變?yōu)椴匠?因而可解.例5求解微分方程.解:由觀察得到它的一個特解為，故設(shè)它的任一個解為，于是，這是n=2的伯努利方程，兩邊同除以得：即從而故原方程的解為2.1.5根據(jù)方程的特點(diǎn)尋求恰當(dāng)?shù)淖儞Q例6求微分方程的通解.解:方程可變形為：，注意到變量以整體出現(xiàn)，故可令,則方程可變形為,這是齊次方程,再令即,則上面方程化為,整理得,兩邊同時積分,得,為任意常數(shù).代入,并且化簡得原方程的解為.為任意常數(shù).例7求微分方程的通解.解:令,則,代入原方程,得,這是一個時的伯努利微分方程.令,算得.代入上面的方程,得.因此有該方程的通解為,計算化簡得.把代入,得.例8求微分方程的通解.解:方程可化為兩邊同加1得再由，可知由上兩式得即整理得兩邊積分得,即另外,也是方程的解.2.2積分因子法2.2.1恰當(dāng)微分方程（全微分方程）如果微分方程(1-2)的左端恰是某一函數(shù)的全微分,即,(1-3)則稱(1-2)式為恰當(dāng)微分方程（或全微分方程）.(1-3)式的通解是其中是任意常數(shù).另外,微分方程是恰當(dāng)微分方程的充要條件是例9求微分方程的通解.解：這里這時因此方程是恰當(dāng)微分方程.現(xiàn)在求u,使它同時滿足如下兩個方程，由對積分得到(1-4)為了確定，將(1-4)式對求導(dǎo)數(shù)，并使它滿足即得于是積分可得.將代入(1-4)式因此方程的通解為樣,是任意常數(shù)2.2.2積分因子法通過尋找一個方程的積分因子，將方程化為恰當(dāng)微分方程的方法稱為積分因子法.給出(2-1)式的微分方程如果它不是恰當(dāng)微分方程,如果能找到一個函數(shù),使得(1-5)是一個恰當(dāng)微分方程,即存在函數(shù),使則稱函數(shù)是方程(1-2)的一個積分因子.這時是(1-5)式的通解但同一方程可以有不同的積分因子,因此一個方程如果存在積分因子,那么積分因子不只是一個.方程解的形式也不一定相同.函數(shù)為(1-2)式的積分因子的充要條件是,如果方程滿足條件它僅是的函數(shù),那么易求其積分因子為.同樣,方程滿足條件它僅是的函數(shù),那么易求其積分因子為例10求微分方程的通解.解:顯然,對于方程,有,因?yàn)?所以方程有積分因子.以乘以方程兩邊得綜上所述,得到原方程的通解為或,是任意常數(shù)3.一階微分方程的其他解法3.1常數(shù)變易法形如的方程稱為一階線性微分方程,其中P(x)、Q(x)都是連續(xù)函數(shù).①當(dāng)Q(x)=0時,方程稱為一階線性齊次微分方程,其解法為:將方程,分離變量得兩邊積分得方程的通解為(C任意常數(shù))②當(dāng)Q(x)≠0,方程稱為一階線性非齊次微分方程.其解法為:非齊次方程與齊次方程的差異僅是方程右邊的項(xiàng)Q(x).從齊次方程的通解的結(jié)構(gòu)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的規(guī)律,我們有理由推測非齊次方程的解形如(C(x)是關(guān)于x的函數(shù)）代入非齊次方程,得一階非齊次線性方程通解的公式為：此求解方法稱為常數(shù)變易法.3.2降階法某些特殊的高階微分方程有時很難直接找到求解方法，但在通過適當(dāng)變量代換后，可化為低階微分方程，當(dāng)該低階微分方程可解時，即原方程可解這種類型的方程稱為可降階的方程,相應(yīng)的求解方法稱為降階法.這在求解某些高階微分方程時是一種很有效的方法,通過降階法最終可化為一階微分方程再用上述基本方法進(jìn)行求解,這樣就可以化繁為簡,大大減少了計算時間.例11求微分方程的通解.解:設(shè)代入原方程，解線性方程，得，即兩端積分，得，即也即原方程的通解為例12求方程滿足初始條件的特解.解:令,則,原方程化為,即,這是變量可分離型方程.分離變量并積分得,解得,化為,從而.因?yàn)?故舍去負(fù)值.將初始條件代入,得,于是上式為變量可分離型方程.分離變量并積分解得.將代入得,于是所求特解為,化為.就解法的本質(zhì)而言降階法是變量變換法,不過一般這里的變換都涉及到的導(dǎo)數(shù).3.3參數(shù)法除了以上解法外,還有一種巧妙的方法就是參數(shù)法,它也能夠解出一些基本解法所不能解出的微分方程.例13求微分