2023屆甘肅省白銀市靖遠(yuǎn)縣高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由，可得，則.故選：D.2．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)并集概念運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以．故選:A.3．函數(shù)的部分圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及時(shí)的函數(shù)值為正值，利用排除法即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，又函?shù)的定義域?yàn)椋蕿槠婧瘮?shù)，排除AC；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故，則，排除D.故選：B4．已知兩個(gè)非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)向量的共線的坐標(biāo)運(yùn)算，求得，再結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】因?yàn)榍遥傻?，解得或，又因?yàn)闉榉橇阆蛄?，所以，即，故“”是“”的充要條件．故選：C.5．轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)采用三角轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)控制壓縮和排放．如圖1，三角轉(zhuǎn)子的外形是有三條側(cè)棱的曲面棱柱，且側(cè)棱垂直于底面，底面是以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓構(gòu)成的曲面三角形（如圖2），正三角形的頂點(diǎn)稱為曲面三角形的頂點(diǎn)，側(cè)棱長(zhǎng)為曲面棱柱的高，記該曲面棱柱的底面積為S，高為h．已知曲面棱柱的體積V=Sh，如圖1所示的曲面棱柱的體積為，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】把底面分為三個(gè)弓形和三角形面積之和，在根據(jù)題中體積和高可得.【詳解】由題意可知該曲面棱柱的底面積．設(shè)，則，解得.故選：B.6．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的性質(zhì)判斷大小關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：D7．九連環(huán)是我國(guó)古代至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個(gè)鐵絲圓環(huán)相連成串.在某種玩法中，用表示解下個(gè)圓環(huán)所需要移動(dòng)的最少次數(shù)，數(shù)列滿足，且，則（

）A．287 B．272 C．158 D．143【答案】D【分析】根據(jù)已知遞推公式，利用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，且，所以，,所以.故選：D.8．目前，全國(guó)所有省份已經(jīng)開(kāi)始了新高考改革.改革后，考生的高考總成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3門(mén)全國(guó)統(tǒng)一考試科目成績(jī)和3門(mén)選擇性科目成績(jī)組成.已知某班甲、乙同學(xué)都選了物理和地理科目，且甲同學(xué)的另一科目會(huì)從化學(xué)、生物、政治這3科中選1科，乙同學(xué)的另一科目會(huì)從化學(xué)、生物這2科中選1科，則甲、乙所選科目相同的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意先列出所有的基本事件，再列出甲、乙所選科目相同的基本事件，求其比值即可.【詳解】甲、乙同學(xué)所選的科目情況有：（化學(xué)，化學(xué)），（化學(xué)，生物），（生物，化學(xué)），（生物，生物），（政治，化學(xué)），（政治，生物），共6種，其中甲、乙同學(xué)所選的科目相同的情況有（化學(xué)，化學(xué)），（生物，生物），共2種，故所求概率．故選：B.9．已知雙曲線的右頂點(diǎn)為M，以M為圓心，雙曲線C的半焦距為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線相交于A，B兩點(diǎn)．若，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】做交于點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，可得圓心M到漸近線的距離等于半徑的一半，即，再利用可得答案.【詳解】因?yàn)?，如圖，做交于點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，，所以圓心M到漸近線的距離等于半徑的一半，則，則，即，解得，則雙曲線C的離心率為．故選：D.10．已知函數(shù)在和上都是單調(diào)的，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得且，求解即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則，解得．綜上，的取值范圍是．故選：D11．已知函數(shù)，直線，若直線與的圖象交于A點(diǎn)，與直線l交于B點(diǎn)，則A，B之間的最短距離是（

）A． B．4 C． D．8【答案】A【分析】根據(jù)平行切線法，求函數(shù)圖象上的點(diǎn)A到直線l的最短距離，即為A，B之間的最短距離.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，直線，若直線與的圖象交于A點(diǎn)，與直線l交于B點(diǎn)，直線的斜率為1，直線的斜率為，所以兩直線垂直，所以函數(shù)圖象上的點(diǎn)A到直線的最短距離，即為A，B之間的最短距離由題意可得，．令，解得(舍去)．因?yàn)?，取點(diǎn)A，所以點(diǎn)A到直線的距離，則A，B之間的最短距離是．故選：A.12．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，若三棱錐體積的最大值是，則球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)球O的半徑為R，的外心為，由題意可得外接圓的半徑及面積，高的最大值為，代入體積公式，結(jié)合題意可求得R值，代入球的表面積公式即可得答案.【詳解】設(shè)外接圓的半徑為，則，設(shè)球的半徑為，當(dāng)三棱錐的高最大時(shí)，體積取最大值，高的最大值.所以，即，解得.故球的表面積是．故選：A.二、填空題13．某校高三年級(jí)進(jìn)行了一次高考模擬測(cè)試，這次測(cè)試的數(shù)學(xué)成績(jī)，且，規(guī)定這次測(cè)試的數(shù)學(xué)成績(jī)高于120分為優(yōu)秀．若該校有1200名高三學(xué)生參加測(cè)試，則數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)是______．【答案】120【分析】由已知結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性得，乘以總?cè)藬?shù)即可得出答案．【詳解】由，得正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以，則數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)是，故答案為：．14．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值是______．【答案】7【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可得解.【詳解】如圖，畫(huà)出可行域，設(shè)則，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，聯(lián)立可得，此時(shí)最大值是7．故答案為：7.15．設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，則它的通項(xiàng)公式______.【答案】【分析】由條件有，由數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，即得，然后利用累乘法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】由，則又?jǐn)?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，即，所以，即所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查累乘法，屬于中檔題.16．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B兩點(diǎn)作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D，E，若，則p=______．【答案】2【分析】利用三角形面積公式、梯形面積公式及面積關(guān)系得到，設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，韋達(dá)定理，求出，利用三角形面積求出即可.【詳解】由題意可知，設(shè)，則，，因?yàn)?，所?由題意可知直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立整理得，則，，從而，解得，故，即.因?yàn)?，所以，解?故答案為：2三、解答題17．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，現(xiàn)得到某種產(chǎn)品的資金投入（單位：百萬(wàn)元）與獲得的利潤(rùn)（單位：百萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)，如下表所示：資金投入24568利潤(rùn)34657(1)求樣本（）的相關(guān)系數(shù)（精確0.01）；(2)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸直線方程；(3)現(xiàn)投入資金1千萬(wàn)元，求獲得利潤(rùn)的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)，，對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．【答案】(2)(3)8.25百萬(wàn)元．【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式可求；（2）利用最小二乘法求得，即可得到線性回歸方程；（3）把代入線性回歸方程即可求解.【詳解】（1）由題意得，．因?yàn)?，，所以，，所以．故樣本（）的相關(guān)系數(shù)約為（2），，故線性回歸直線方程為．（3）當(dāng)時(shí)，百萬(wàn)元．故現(xiàn)投入資金1千萬(wàn)元，獲得利潤(rùn)約為百萬(wàn)元.18．如圖，在底面為矩形的四棱錐中，底面ABCD．(1)證明：平面平面PCD．(2)若，，E在棱AD上，且，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）由，，證得平面PAD，則有平面平面PCD．（2）由已知數(shù)據(jù)結(jié)合棱錐體積公式計(jì)算.【詳解】（1）證明：由四邊形ABCD為矩形，得．因?yàn)榈酌鍭BCD，平面ABCD，所以．因?yàn)?，平面PAD，所以平面PAD．因?yàn)槠矫鍼CD，所以平面平面PCD．（2）因?yàn)?，，所以，因?yàn)橹苯翘菪蜛BCE的面積．所以．19．在中，角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角；(2)若為銳角三角形，為邊的中點(diǎn)，求線段長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理和三角恒等變換的化簡(jiǎn)可得，即可求解；（2）由向量的線性運(yùn)算可得，等式兩邊同時(shí)平方可得，由正弦定理可得，結(jié)合角B的范圍可得，即可求解.【詳解】（1），由正弦定理，得，即.因?yàn)?，所以，由，得，?因?yàn)?，所?（2）因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，所以.在中，由正弦定理，得.因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以，則，故.所以，即線段長(zhǎng)的取值范圍為.20．已知橢圓的離心率是，是橢圓C上一點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B（異于點(diǎn)P）兩點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別是，，試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是，【分析】（1）由已知橢圓的離心率是，又過(guò)點(diǎn)，可得，直接解得，，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由直線過(guò)點(diǎn)，可設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理可得，，又，得，，再代入化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，由題意可得，解得，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由題意可知直線l的斜率不為0，設(shè)直線，，，聯(lián)立，整理得，則，，，因?yàn)椋?，，所?故為定值，該定值為.21．已知函數(shù).(1)比較與0的大??；(2)證明：對(duì)任意的，恒成立.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)在定義域上單調(diào)性，結(jié)合，即可得出答案；（2）先證明，進(jìn)而推得.根據(jù)二倍角的余弦公式得出，.原不等式可轉(zhuǎn)化為.構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)以及二次求導(dǎo)，即可得出在上單調(diào)遞增，所以，即可得出證明.【詳解】（1）由已知可得，的定義域?yàn)?，在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增.又，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）令，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以.因?yàn)?，所?令，則.令，則.因?yàn)?，所以，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，對(duì)任意的，恒成立.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線M的方程為，曲線N的方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線M，N的極坐標(biāo)方程；(2)若射線與曲線M交于點(diǎn)A（異于極點(diǎn)），與曲線N交于點(diǎn)B，且，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求解曲線和的極坐標(biāo)方程；（2）將代入曲線和的方程，求得和，結(jié)合題意求得，即可求解.【詳解】（1）解：由，可得，即，又由，可得，所以曲線M的極坐標(biāo)方程為．由，可得，即，即曲線N的極坐標(biāo)方程為.（2）解：將代入，可得，將代入，可得，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以?/p>