2023屆高三沖刺卷（二）全國(guó)卷-數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)交集運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】，，.故選:A.2．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果.【詳解】由，得，，，.故選：B.3．塔因?yàn)槟甏眠h(yuǎn)，塔身容易傾斜，在下方如圖中，表示塔身，塔身的長(zhǎng)度就是塔的高度，塔身與鉛垂線(xiàn)的夾角為傾斜角，塔頂?shù)姐U垂線(xiàn)的距離為偏移距離，現(xiàn)有兩個(gè)塔高相同的斜塔，它們的傾斜角的正弦值分別為，，兩座塔的偏移距離差的絕對(duì)值為3.1米，則兩座塔的塔頂?shù)降孛娴木嚯x差的絕對(duì)值為（

） C．1米 【答案】D【分析】由題意可得塔的偏移距離，設(shè)兩座塔的塔高為，結(jié)合題意可得兩座塔的偏移距離差的絕對(duì)值為，進(jìn)而得到，結(jié)合塔頂?shù)降孛娴木嚯x，進(jìn)而求解.【詳解】塔的偏移距離，設(shè)兩座塔的塔高為，則根據(jù)傾斜角的正弦值分別為，，得兩座塔的偏移距離差的絕對(duì)值為，即，，塔頂?shù)降孛娴木嚯x，根據(jù)傾斜角的正弦值分別為，，得傾斜角的余弦值分別為，，兩座塔的塔頂?shù)降孛娴木嚯x差的絕對(duì)值為.故選：D.4．等差數(shù)列中，首項(xiàng)和公差都是正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列，，的公差為（

）A．lg B． C． D．【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】由，，差數(shù)列，得，即，則，又，，所以，解得，，，的公差為.故選：C.5．甲?乙兩所學(xué)校有同樣多的學(xué)生參加數(shù)學(xué)能力測(cè)驗(yàn)，兩所學(xué)校學(xué)生測(cè)驗(yàn)的成績(jī)分布都接近于正態(tài)分布，其中甲校學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為105分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分；乙校學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為115分，標(biāo)準(zhǔn)差為5分.若用粗線(xiàn)表示甲校學(xué)生成績(jī)分布曲線(xiàn)，細(xì)線(xiàn)表示乙校學(xué)生成績(jī)分布曲線(xiàn)，則下列哪一組分布曲線(xiàn)較為合理？（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)甲校、乙校學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)的大小結(jié)合圖象中的對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行識(shí)別，再根據(jù)方差的大小結(jié)合圖象的波動(dòng)情況進(jìn)行判斷.【詳解】依題意，由于甲校的學(xué)生成績(jī)平均分低于乙校的學(xué)生成績(jī)平均分，所以甲校的學(xué)生成績(jī)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸比乙校的學(xué)生成績(jī)的正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸靠左；由于甲校的學(xué)生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙校的學(xué)生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，所以甲校的學(xué)生成績(jī)的正態(tài)曲線(xiàn)要“矮胖”些，乙校的學(xué)生成績(jī)的正態(tài)曲線(xiàn)要“瘦高”些.故選：A.6．已知m，n表示空間內(nèi)兩條不同的直線(xiàn)，則使成立的必要不充分條件是（

）A．存在平面，有， B．存在平面，有，C．存在直線(xiàn)，有， D．存在直線(xiàn)，有，【答案】A【分析】根據(jù)空間線(xiàn)線(xiàn)，線(xiàn)面的位置關(guān)系及充分條件必要條件的概念逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對(duì)A，若，，則直線(xiàn)m，n可以平行，也可以相交，還可以異面；若，則存在平面，有，，即存在平面，有，是使成立的必要不充分條件，故A正確；對(duì)B，若，，則；若，則存在平面，有，，即存在平面，有，是使成立的充分必要條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若，，則直線(xiàn)；若，則不存在直線(xiàn)，有，，即存在直線(xiàn)，有，是使成立的既不充分又不必要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，若，，則；若，則存在直線(xiàn)，有，，即存在直線(xiàn)，有，是使成立的充分必要條件，故D錯(cuò)誤.故選：A.7．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（

）A．9 B．-9 C．10 D．-10【答案】B【分析】，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)是展開(kāi)式中的系數(shù)和的系數(shù)之和.【詳解】由于，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)是展開(kāi)式中的系數(shù)和的系數(shù)和，的展開(kāi)式中第項(xiàng)為，分別令和，得到的展開(kāi)式中的系數(shù)和的系數(shù)，因此的展開(kāi)式中的系數(shù)是.故選：B.8．已知雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)分別為，，以，為直徑的圓依次交雙曲線(xiàn)于A，B，C，D四點(diǎn)，直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)C，E，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義結(jié)合勾股定理可得，進(jìn)而可得，即得.【詳解】如圖所示，設(shè)，則，，連接，，由雙曲線(xiàn)的定義，得，，由于點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，在直角三角形中，，即，得，在直角三角形中，，即，所以，可得，離心率.故選：C.9．已知函數(shù)是在區(qū)間上的單調(diào)減函數(shù)，其圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且，則的最小值為（

）A．2 B．12 C．4 D．8【答案】C【分析】由關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，得出一個(gè)關(guān)于的方程，由在區(qū)間上的單調(diào)遞減，利用三角函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間公式得出的一個(gè)不等關(guān)系，由方程確定的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，再求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，，所以，，根據(jù)，則，，因?yàn)槭窃趨^(qū)間上的單調(diào)減函數(shù).所以，，，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；由于，是在區(qū)間上的單調(diào)減函數(shù)，且，所以為的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則，所以，，，，，，，，根據(jù)或，可得，或，所以的最小值為4.故選：C.10．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，若，則（

）A．12 B．13 C．15 D．16【答案】B【分析】當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，易知不成立，故直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，將其與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義以及韋達(dá)定理，可求出，即可求出結(jié)果.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，設(shè)，.當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，代入，得，，，，，，與矛盾.當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入，得，則，，由拋物線(xiàn)的定義知，，，于是，所以，.故選:.11．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，P，Q分別是，的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)，Q，C，D，C1的球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出的外接圓半徑，矩形的外接圓半徑，再利用幾何關(guān)系求出球的半徑，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)正方體，得，，所以平面，四邊形是矩形，其中，，的三邊為，，，，設(shè)的外接圓半徑為，則，于是，設(shè)矩形的外接圓半徑為，則，設(shè)球心為，過(guò)作平面，垂足為，過(guò)作平面，垂足為，則是矩形的外心，是三角形的外心，取中點(diǎn)，則，于是平面，所以四邊形是矩形.設(shè)球半徑為，，則，于是球的表面積為.故選：D.12．若實(shí)數(shù)a，b，，且滿(mǎn)足，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A．c>b>a B．b>a>c C．a(chǎn)>b>c D．b>c>a【答案】B【分析】注意到，，.通過(guò)構(gòu)造函數(shù)可比較與c可比較大小，即可得大小.【詳解】由，，，得，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，于是，即，又b，，所以；，因?yàn)?，所以，，，因此，于是，又a，，所以；令，則，所以在上是增函數(shù)，，，即，，，于是，又a，，所以；綜上.故選：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)比較代數(shù)式大小，難度較大.對(duì)于不好估值的代數(shù)式，常通過(guò)觀察構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)單調(diào)性得到大小關(guān)系.二、填空題13．已知向量，，與共線(xiàn)，則___________.【答案】2【分析】由向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】由，，得，，因?yàn)榕c共線(xiàn)，所以.則.故答案為：214．已知函數(shù)，則函數(shù)的最小值為_(kāi)__________.【答案】##【分析】對(duì)進(jìn)行分段，討論的單調(diào)性，進(jìn)而即可求出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上是增函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，有最小值.故答案為：.15．小明準(zhǔn)備在陽(yáng)臺(tái)種植玫瑰?百合?牡丹和蘭花4種盆栽，共種8盆，并且每種花至少種1盆，則玫瑰花恰好種3盆的概率是___________.【答案】【分析】利用“擋板法”求得基本事件的總數(shù)，然后根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】依題意可知，基本事件的總數(shù)為種.若玫瑰花恰好種3盆，則另外三種盆栽的數(shù)量可能為或，共有種，因此所求概率為.故答案為：16．已知函數(shù)，對(duì)任意，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】由恒成立得出，構(gòu)造函數(shù)，分成，，三種情況進(jìn)行討論，得出的取值范圍.【詳解】已知，對(duì)任意，都有恒成立，即，化簡(jiǎn)得，令，于是對(duì)任意，有，，令，則.當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，于是，即，所以在上是增函數(shù)，于是，符合題意.當(dāng)時(shí)，觀察易知在上是增函數(shù)，于是.若，則，所以在上是增函數(shù)，，即，所以在，上是增函數(shù)，，符合題意.若時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，所以，即，，又，在上是增函數(shù)，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，即在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上是減函數(shù)，，這與的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于含參不等式的恒成立問(wèn)題，往往采用參變分離或構(gòu)造含參函數(shù)兩種方法，參變分離在使用時(shí)，一定保證分離出的函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)清晰的研究出其單調(diào)性；構(gòu)造含參函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性時(shí)，利用分類(lèi)討論的方法，可得答案.三、解答題17．已知是斜三角形，角A，B，C滿(mǎn)足.(1)求證：；(2)若角A，B，C的對(duì)邊分別是邊a，b，c，求的最小值，并求此時(shí)的各個(gè)內(nèi)角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)最小值為3，，，【分析】（1）利用兩角和的余弦公式以及二倍角公式可得，再利用和角公式與誘導(dǎo)公式可得結(jié)論；（2）先判斷角為鈍角，角為銳角，根據(jù)，得到.再由正弦定理與基本不等式，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得答案.【詳解】（1）由得，所以，所以.因?yàn)槭切比切?，所以，所以，所以，所以，又，所?（2）在中，有，由（1）知，所以，于是角為鈍角，角為銳角，根據(jù)，所以.由正弦定理，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，又角為鈍角，所以時(shí)，等號(hào)成立，由，得，由，得，因此的最小值為3，此時(shí)三角形的各個(gè)內(nèi)角為，，.18．下面兩個(gè)圖分別是2016年-2020年中國(guó)家庭平均每百戶(hù)汽車(chē)擁有量和居民人均可支配年收入柱狀圖，為了分析居民家庭平均每百戶(hù)汽車(chē)的擁有量與居民人均可支配全年總收入的關(guān)系，根據(jù)這兩個(gè)圖，繪制每百戶(hù)汽車(chē)擁有量y（單位：輛）與人均可支配收入x（單位：萬(wàn)元）的散點(diǎn)圖.附：線(xiàn)性回歸模型中，，.(1)由其散點(diǎn)圖可以看出，可以用線(xiàn)性回歸模型擬合每百戶(hù)擁有汽車(chē)量關(guān)于人均可支配收入的關(guān)系，請(qǐng)建立關(guān)于的回歸方程；(2)如果從2020年開(kāi)始，以后每年人均可支配年收入以6%的速度增長(zhǎng)，當(dāng)每百戶(hù)汽車(chē)擁有量達(dá)到50輛時(shí)，求每百戶(hù)汽車(chē)擁有量平均每年至少增長(zhǎng)的速度.（附：，，，，，，，.）【答案】(1)；(2)每百戶(hù)汽車(chē)擁有量平均每年至少增長(zhǎng)的速度為.【分析】（1）利用給定的數(shù)據(jù)，結(jié)合最小二乘法公式計(jì)算作答.（2）利用回歸方程估計(jì)每百戶(hù)汽車(chē)擁有量達(dá)到50輛時(shí)，人均可支配收入，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)的年限，再估算增長(zhǎng)速度作答.【詳解】（1）依題意，，，所以y關(guān)于x的回歸方程為.（2）當(dāng)時(shí)，，則，而2020年人均年可支配收入為3.2189萬(wàn)元，則，，于是2026年每百戶(hù)汽車(chē)擁有量可以達(dá)到50輛，從2020年起，設(shè)每百戶(hù)汽車(chē)擁有量平均每年的增長(zhǎng)速度為，則，，，由，得，所以每百戶(hù)汽車(chē)擁有量平均每年至少增長(zhǎng)的速度為.19．四棱錐中，面，，底面ABCD中，，，.(1)若點(diǎn)在線(xiàn)段BC上，試確定的位置，使面面ABCD，并給出證明；(2)求二面角A-EB-C的余弦值.【答案】(1)點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先取點(diǎn)是的中點(diǎn)，再應(yīng)用面面垂直判定定理證明面面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法先求平面與平面的法向量，再用兩個(gè)法向量所成角的余弦值得到二面角A-EB-C的余弦值.【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，面面.證明：由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得，又，，所以，，四邊形是平行四邊形.根據(jù)，得四邊形是矩形，故.因?yàn)槊?，面，所以，因?yàn)?，，面，于是面，由于面，因此面?（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，不妨令為的中點(diǎn)，因?yàn)槊婷?，面面，所以過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則面，以為軸，以過(guò)點(diǎn)所作的垂線(xiàn)為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，因?yàn)槊妫?，所以，在中，根?jù)，，可得，，，，則，，，，，，.設(shè)面的法向量為，則，即令，則，，所以，設(shè)面的法向量為，則即令，則，，所以.，設(shè)二面角的大小為，易知，所以，因此二面角的余弦值為..20．已知函數(shù)，，其中.(1)分別求函數(shù)和的極值；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)有極大值，無(wú)極小值；有極小值，無(wú)極大值；(2)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究、的單調(diào)性，進(jìn)而確定其極值情況；（2）由題設(shè)可得，討論參數(shù)a，根據(jù)判斷單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定各情況中零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）由且，由，得，由，得，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故有極大值，無(wú)極小值.且，由，得，由，得，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故有極小值，無(wú)極大值.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所?當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，令，得，令，得，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，最大值，若，即時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；若，即時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；若，即時(shí)，，又，由（1）知：，所以，故在上有唯一零點(diǎn).由（1）知：及，于是和，所以，又，，故在上有唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由（1）知，，于是，而，所以，無(wú)零點(diǎn).綜上，或時(shí)無(wú)零點(diǎn)；時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，分類(lèi)討論參數(shù)a，并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).21．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)滿(mǎn)足.(1)證明：點(diǎn)在橢圓上；(2)若直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P?Q，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)最大值為【分析】（1）根據(jù)求出橢圓，代入點(diǎn)即可證明；（2）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓，得出判別式與韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求出，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，代入三角形面積公式，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求解.【詳解】（1）證明：橢圓的上頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，，，，根據(jù)，得，所以，，，所以橢圓的方程為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在橢圓上.（2）設(shè)，，把代入，得，由，得，，，，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離