12．橢圓的質一、教內分掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點，掌握

a,b

幾何意義以及

a,b

的相互關系，初步學習利用方程研究曲線性質的方利用曲線的方程來研究曲線性質的方法是學習解析幾何以來的第一次通過初步試學生經(jīng)歷知識產(chǎn)生與形成的過程僅注意對研究結果的掌握和應用，更重視對研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)；以自主探究為主，通過體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力通過自主探究、交流合作使學生親身體驗研究的艱辛，從中體驗合作與成功的快樂，由此激發(fā)其更加積極主動的學習精神和探索勇氣；通過多媒體展示生漸體會橢圓方程結構和諧美和橢圓曲線的對稱美養(yǎng)學生的審美習慣和良好的思維品質二教目設掌握橢圓的對稱性，頂點，范圍等幾何性.能據(jù)橢圓的幾何性質對橢圓方程進行討論在基礎上會畫橢圓的圖形會判斷直線與橢圓的位置能夠解決直線與橢圓相交時的弦長問題點題等.對橢圓幾何性質的討論中意數(shù)與形的結合與轉化，學會分類討論數(shù)結合等數(shù)學想和探究能力的培養(yǎng)養(yǎng)探究新事物的欲望獲得成功的體驗，樹立學好數(shù)學的信.三教重及點重點：橢圓的幾何性質及初步運用難點：直線與橢圓相交時的弦長問題和中點問題四教流設橢圓的標準方程橢圓的幾何性質橢圓的對稱性

橢圓的頂點

橢圓的范圍運用與深化例題解析、鞏固練習直線與橢圓的位置關系

12121121211五教過設一引課“曲線與方程解析幾何中最重要最基本的內容其中有兩類基本問題是曲線求方程二由方程畫曲線前面由橢圓定義推導出橢圓的標準方程屬于第一類問題節(jié)課將研究第二類問題，由橢圓方程畫橢圓圖形，為使列表描點更準確，避免盲目性，有必要先對橢圓的范圍、對稱性、頂點進行討.二講新（）對稱問題1：觀察橢圓標準方程的特，利用方程研究橢圓曲線的對稱性？

代

后方程不變，說明橢圓關于

軸對稱；y

代

后方程不變，說明橢圓曲線關于

軸對稱；

、

y代x，

后方程不變，說明橢圓曲線關于原點對稱；問題2：從對稱性的本質上入手如何探究曲線的稱性？以把換－為，如圖在曲線的方程中，把x換成－方程變，相當于點（，）在曲線上，點P點于y軸的對稱點（－）也在曲線上，所以曲線關于軸稱其它同.相關概念：在標準方程下，坐標軸是對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中.（）頂點問題1：觀察橢圓標準方程的特，利用方程求出橢圓曲線與對稱軸的交點坐標？在橢圓的標準方程中，令

x

，得

y

，

y

，得

頂點概念：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂.頂點坐標；

(,0),A(a,0)

，

B(0,b

.

和

A,相關概念：線段分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸

,2b

，

2222222222222222222222222222在橢圓的定義中，

2c

表示焦距，這樣，橢圓方程中的

，c

就有了明顯的幾何意.問題2橢圓標準方程的推導程中令么？

a

能使方程簡單整齊其幾何意義是什

表示半焦距，b表示短半軸長，因此，聯(lián)結頂和點F，以構造一個直角三角形，在直角三角形內，

2

BF

2

，即

2

.（）范圍問題1：結合橢圓標準方程的特，利用方程研究橢圓曲線的范圍？即確定兩個變量的允許值范圍．x2y2

變形為：

xxxb這就得到了橢圓在標準方程下x的范圍：

a同理，我們也可以得到的圍問題2：思考是否還有其他方法

y方法一把

xa

yb

看成

2

2

三函數(shù)的有界性來考慮

x,a的范圍；方法二圓標準方程表示兩非負數(shù)的和為1么這兩個數(shù)都不大于1所以同理可以得到的范圍和y由橢圓方程中x,的圍得到橢圓位于直線所圍成的矩形里

a

22

，三例解例知橢圓的方程為

x

2y2

.（）求它的長軸長、短軸長、焦點坐標和頂點坐;

]（）寫出與橢圓

xy

有相同焦點的至少兩個不同的橢圓方.解：解答見書本P48[說]這是節(jié)課重安排的基礎性例題，是橢圓的幾何性質的簡單應.例（）以原點為中心，一個焦點為

(0,

且長軸長是短軸長的

倍的橢圓方程;

，，;，，;（）點2，長軸長是短軸長的的橢圓方.解知a

22

2

橢圓的標準方程為：

x2

y

.[（）

x

y

2

或16[說此利用橢圓標準方程中的橢圓標準方程.

c

的關系來解題，要注意焦點在軸或軸例知直線

0

與橢圓

，在范圍取值時，16（）直線與橢圓有兩個公共點；（）直線與橢圓有一個公共點；（）直線與橢圓無公共點y解：由y4

可得

(4x24kx200

k25)

；（1）當

k即

5或k4

時，直線

kxy0

與橢圓16

有兩個公共點；（2）當

16(16k

2

55即k或4

時，直線

kxy0

與橢圓16

24

1

有一個公共點；（3）當

k

2

544

時，直線

kxy0

與橢圓16

無公共點.[說由直方程與橢圓方程聯(lián)立的方程組解的情況直接說明兩曲線的交點狀況，而方

xxm2Mxxm2M解的情況由判別式來決定，直線與橢圓有相交、相切、相離三種關系方程與橢圓方程聯(lián)立，消去或得關于或的元二次方程，則1）直線與橢圓相交

0

（）直線與橢圓相切

（）線與圓相離

，所以判定直線與橢圓的位置關系，運用方程及其判別式是最基本的方.例直線

kxk)

與橢圓

5m

恒有公共點，求實數(shù)的值范圍解法一：kx由y

可得

(5

2

x

2

kx0

，

mk

2

0

即2m且5.(解法二：直線恒過一定點當m時圓焦點在軸上短半軸長

使直線與橢圓恒有交點則即當

時，橢圓焦點在軸，長半軸長

可保證直線與橢圓恒有交點即

綜述：

m且m5解法三：直線恒過一定點

(要使直線與橢圓恒有交點，即要保證定點

(0,1)

在橢圓內部

0125

即

且5[說]法一轉化為的成立問題法二是根據(jù)兩曲線的特征觀察所至三則緊抓定點在橢圓內部這一特征：點

M(,)oo

在橢圓內部或在橢圓上則

xyoa

.例圓中心在原點長長為10一個焦點F的標(0,5)

求過此橢圓內的一點1()2

，且被點平的弦所在的直線方.

M12M12解知3,

點軸

2

a

2

2

50

方為

2x27550

.設過點的直線交橢圓于點

(xy)

、

B(x,y)2

.

M是弦的xyy212

，將

AB

兩點的坐標代入橢圓方程，

x150y2250

，兩式相減整理得：

y3x321，k.2y222所求的直線方程為

y

1()，02

.[說]此題因為涉及橢圓的弦中點問題，除通法外，可以優(yōu)先考慮“點差法.但需注意點1斜是否存在？應驗直線和橢圓是否相交？即聯(lián)立直線和橢圓方程，得到關于x或的一二次方程，檢驗其根的判別式是否大于0？例橢圓

x

y

2

中斜率為的平弦的中點的軌.解：見書本P50[說]此題為涉及圓的弦中點問題，本題也可使用“點差法.例知橢圓

21

的左右焦點分別為F,F，若過（，-2及F的線交橢圓于A,B兩點，求⊿ABF的面解法一：由題可知：直線

l

方程為

xy由y21

,可得

y

y

，y()122

2

y1

4109

,

14FFy.29

[解法二：F到線AB的距離

h

45

,

mx(x2x1mx(x2x1由y21

可得

x2x

，又

1x12

1029

,1410S29[說在用弦長公式

.1212

1

y2

（為線斜率）應結合韋達定理解決問題例8已直線

y

交橢圓

ab2

于

P,

兩點，

102

，

，求橢圓方程解：為簡便運算，設橢圓為

22

，

(0,n)x

，，理得：(m

2

0

（）x2

，xm

，設

(,y)

、

Q(x,y)

，OQ，xy，xxx，21212

.方程（）形為：

2x

nx0.xx21

n2

.

]

10，有2

2

n0

2，得：，3mm2

橢圓的方程為

x3y22或.22[說]應意,Q點設而不求，善于使用韋達定.四鞏練練習12.4（）練（）五課小1．橢圓的幾何性質

bb標準方程

22ab

（＞＞）

ab2

（＞＞0yyM

F

2

M圖形

F

1

O

F

2

x

O

x范圍對稱性

－≤≤a，－≤≤b關于軸、軸原點對稱

F1－≤≤，a≤≤性

頂點（0（a質

焦點兩軸焦距

F－，0（，）長軸長2，軸長2b|＝2c，b

F，－c（，）2．直線與橢圓位置關系如何判3．弦長問題和弦中點問題4．有關弦中點問題差法”應用六課作練習冊相習題補充作業(yè)：1．橢圓

ax

2

2

直線

交于、兩點過原點與線段AB中點的直線的斜率為

32

a，求值2.橢

x焦點為F、F，過作直線交橢圓于、兩，若的積為20，452求直線方程.3.已橢圓圓的方程

xy上點P，F(xiàn)、F為橢圓的焦點，且PPF，求橢ab4中心在原點焦點坐標為(±5)的橢圓被直線3x-y-2=0截的弦的中點的橫坐標

為

12

，求橢圓方程.5.已橢圓

2

（）過橢圓的左焦點引橢圓的割線，求截得的弦的中點P的跡方程；（）求斜率為2的行弦中Q的跡方.6．

為直線

xy

上的點，過

且以橢圓

123

的焦點為焦點作橢圓，問

在何處時所作橢圓的長軸最短？并求出相應橢圓的方.7已橢圓C：

x22(m2

，經(jīng)過其右焦點F且

a

為方向向量的直線

l交橢圓于A、B兩，M為段AB的點，設O為橢圓的中心，射線OM交圓C于N點（）明：

OAOB（）求的．

8．已知A（－，（，、點滿足

12

(

（）點D的軌跡方程過點作線交A、為點的橢圓于M、N點，線段的中到y(tǒng)軸的離為

45

，且直線l與點D的跡相切，求該橢圓的方程.9.設A，分別直線

y

25x和y55

x

上的兩個動點，并且

AB20

，動點P滿足

OPOAOB

．記動點P的跡為C．（）求跡C的方）點D的標為（，16、N是曲線C上的兩個動點，且

DM

，求實數(shù)

的取值范圍．

O10.如圖所示，已知A、、是長長為的圓上的三點，點是長軸的

一個端點，過橢圓中心O且

，BC

．（）立適當?shù)淖鴺讼?，求橢圓方程；（）果橢圓上有兩點、Q，使∠平分線垂直于，證明：存在實數(shù)λ，使PQ

．六教設說1、對教材的研究認識：利用已知條件求曲線的方程，利用方程研究曲線的性質和畫圖是解析幾何的兩大任務，

利用方程研究橢圓的幾何性質可以說是第一次的教學過程往往是利用多媒體課件展示橢圓曲線讓生觀察猜橢的幾何性質，然后再利用橢圓的標準方程進行證明現(xiàn)從感性到理性符學生的認知律等，也可以說是用方程研究橢圓曲線性質的一種思路，但未很好的體現(xiàn)“利用方程研究曲線性質”的本因，本人在教學一開始的問題設置就體現(xiàn)了利用方程研究曲線的意識，在三個性質的研究中一直是方程的結構特征來得到性質，真正培養(yǎng)學生如何利用方程研究曲線性質的能.時，根據(jù)橢圓的簡單幾何性質的課時安排本課不研究橢圓的心率證了學生的研究時間與線方程和圓方程的類比能夠使得學生掌握橢圓標準方程的特點，學生在自主探究過程中能夠聯(lián)想得到三角換元，說明該種教學方法還是符合學生的認知規(guī)律的，同時體現(xiàn)了教材的本.2、課教學模式的設置：自主探究是傳統(tǒng)教學模式的一種補充主探究能夠使學生成為研究問題