PAGE14考研數學三真題與解析2014年考研數學三真題與解析一、選擇題1—8小題．每小題4分，共32分．1．設，則當充分大時，下列正確的有（）（A）（B）（C）(D)【詳解】因為，所以，，當時，有，即，，取，則知，所以選擇（A）2．下列曲線有漸近線的是（A）（B）（C）（D）【分析】只需要判斷哪個曲線有斜漸近線就可以．【詳解】對于，可知且，所以有斜漸近線應該選（C）3．設，則當時，若是比高階的無窮小，則下列選項中錯誤的是（）（A）（B）（C）（D）【詳解】只要熟練記憶當時，顯然，應該選（D）4．設函數具有二階導數，，則在上（）（A）當時，（B）當時，（C）當時，（D）當時，【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及判斷方法．【詳解1】如果對曲線在區(qū)間上凹凸的定義比較熟悉的話，可以直接做出判斷．如果對區(qū)間上任意兩點及常數，恒有，則曲線是凸的．顯然此題中，則，而，故當時，曲線是凹的，即，也就是，應該選（D）【詳解2】如果對曲線在區(qū)間上凹凸的定義不熟悉的話，可令，則，且，故當時，曲線是凹的，從而，即，也就是，應該選（D）５．行列式等于（A）（B）（C）（D）【詳解】應該選（B）．6．設是三維向量，則對任意的常數，向量，線性無關是向量線性無關的（A）必要而非充分條件（B）充分而非必要條件（C）充分必要條件（D）非充分非必要條件【詳解】若向量線性無關，則（，），對任意的常數，矩陣的秩都等于2，所以向量，一定線性無關．而當時，對任意的常數，向量，線性無關，但線性相關；故選擇（A）．7．設事件A，B想到獨立，則（）（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4【詳解】．所以，．故選擇（B）．8．設為來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量服從的分布是（A）（B）（C）（D）【詳解】，顯然，，且與相互獨立，從而故應該選擇（C）．二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）9．設某商品的需求函數為（為商品的價格），則該商品的邊際收益為．【詳解】，邊際收益．10．設D是由曲線與直線及所圍成的有界區(qū)域，則D的面積為．【詳解】11．設，則．【詳解】．所以12．二次積分．【詳解】13．設二次型的負慣性指數是1，則的取值范圍是．【詳解】由配方法可知由于負慣性指數為1，故必須要求，所以的取值范圍是．14．設總體X的概率密度為，其中是未知參數，是來自總體的簡單樣本，若是的無偏估計，則常數=．【詳解】，所以，由于是的無偏估計，故，．三、解答題15．（本題滿分10分）求極限．【分析】．先用等價無窮小代換簡化分母，然后利用洛必達法則求未定型極限．【詳解】16．（本題滿分10分）設平面區(qū)域．計算【詳解】由對稱性可得17．（本題滿分10分）設函數具有二階連續(xù)導數，滿足．若，求的表達式．【詳解】設，則，;；由條件，可知這是一個二階常用系數線性非齊次方程．對應齊次方程的通解為：其中為任意常數．對應非齊次方程特解可求得為．故非齊次方程通解為．將初始條件代入，可得．所以的表達式為．18．（本題滿分10分）求冪級數的收斂域、和函數．【詳解】由于，所以得到收斂半徑．當時，級數的一般項不趨于零，是發(fā)散的，所以收斂域為．令和函數，則19．（本題滿分10分）設函數在區(qū)間上連續(xù)，且單調增加，，證明：；．【詳解】（1）證明：因為，所以．即．（2）令，則可知，且，因為且單調增加，所以．從而，也是在單調增加，則，即得到．20．（本題滿分11分）設，E為三階單位矩陣．求方程組的一個基礎解系；求滿足的所有矩陣．【詳解】（1）對系數矩陣A進行初等行變換如下：，得到方程組同解方程組得到的一個基礎解系．（2）顯然B矩陣是一個矩陣，設對矩陣進行進行初等行變換如下：由方程組可得矩陣B對應的三列分別為，，，即滿足的所有矩陣為其中為任意常數．21．（本題滿分11分）證明階矩陣與相似．【詳解】證明：設，．分別求兩個矩陣的特征值和特征向量如下：，所以A的個特征值為；而且A是實對稱矩陣，所以一定可以對角化．且；所以B的個特征值也為；對于重特征值，由于矩陣的秩顯然為1，所以矩陣B對應重特征值的特征向量應該有個線性無關，進一步矩陣B存在個線性無關的特征向量，即矩陣B一定可以對角化，且從而可知階矩陣與相似．22．（本題滿分11分）設隨機變量X的分布為，在給定的條件下，隨機變量服從均勻分布．求的分布函數；求期望【詳解】（1）分布函數當時，；當時，；當時，；當時，．所以分布函數為（2）概率密度函數為，．23．（本題滿