用幾何法證明極點(diǎn)極線極點(diǎn)與極線是高等幾何中的重要概念，當(dāng)然不屬于高考考查的范圍.但由于極點(diǎn)與極線是圓錐曲線的基本特征，因此在高考試題中會(huì)有所反映，自然也會(huì)成為高考試題的命題背景.CPACPABOxDyQ【命題】如圖，點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓C：（a﹥b﹥0）外一點(diǎn)，過點(diǎn)P任意引兩條割線依次交橢圓于點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)，連接AC、BD交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q在點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦所在直線上（即點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦所在直線）.為更好地證明上述命題，先介紹兩個(gè)重要的幾何定理.兩個(gè)重要的幾何定理AXBC圖1-1-1ZY梅涅勞斯定理：如果一條不過A，B，C三點(diǎn)的直線與△ABCAXBC圖1-1-1ZY【證明】如圖1-1-2，過點(diǎn)X做XM//AB交直線ZC于點(diǎn)M，過點(diǎn)C做CN//AB交直線XY于點(diǎn)N.AANMXBC圖1-1-2ZYBXC圖1-2-2AZDYMN2.塞瓦定理：如圖1-2-1，點(diǎn)X，Y，Z分別是△ABC的邊BC，CA，ABBXC圖1-2-2AZDYMNBXC圖1-2-1AZDY【證明】如圖1-2-2，過點(diǎn)B做BM//AX交直線ZC于點(diǎn)M，過點(diǎn)C做BXC圖1-2-1AZDY∴.現(xiàn)給出上述命題的詳細(xì)證明過程.命題的證明點(diǎn)P（x0，y0）對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦所在直線的方程為.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)線段AB上一點(diǎn)M（xM，yM）滿足關(guān)系式（﹥0且）（即P，M，A，B成調(diào)和點(diǎn)列），則，.∴①，②，∴P（，），M（，）.QCQCRPBDAyOxNM圖2∵點(diǎn)A，B在橢圓C：上，∴，③-④，得.結(jié)合①②可得：，∴點(diǎn)M在直線上，即點(diǎn)M在點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦所在直線上.同理可證得線段CG上滿足關(guān)系式（﹥0且）（即P，N，C，D成調(diào)和點(diǎn)列）的點(diǎn)N（xN，yN）在點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦所在直線上.∴直線MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦所在直線.如圖2，延長(zhǎng)AC，BD交于點(diǎn)R，連接RQ，交AB于點(diǎn)M’，交CD于點(diǎn)N’.在△ABR中，由梅涅勞斯定理得：⑤，由塞瓦定理得：⑥.結(jié)合⑤⑥可得：.∵點(diǎn)M’與點(diǎn)P不重合，∴點(diǎn)M’與點(diǎn)M重合.同理可證得點(diǎn)N’與點(diǎn)N重合.∴直線M’N’與直線MN重合.∴點(diǎn)Q在直線MN上，即點(diǎn)Q在點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦所在直線上.∴點(diǎn)Q的軌跡為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦所在直線，即點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦所在直線.命題得證.結(jié)論應(yīng)用事實(shí)上，若點(diǎn)P在圓錐曲線Γ上，則其對(duì)應(yīng)的極線是曲線Γ在點(diǎn)P處的切線；若點(diǎn)P在圓錐曲線Γ外，則其對(duì)應(yīng)的極線是點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦所在直線；若點(diǎn)P在圓錐曲線Γ內(nèi)，則其對(duì)應(yīng)的極線是曲線Γ過點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)的軌跡.設(shè)點(diǎn)P在有心圓錐曲線Γ（設(shè)其中心為點(diǎn)O）外一點(diǎn)，射線OP與曲線Γ交于點(diǎn)R，與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線交于點(diǎn)Q，則有.現(xiàn)以橢圓為例給出證明.【證明】如圖3，延長(zhǎng)RO與橢圓于點(diǎn)R’.R’圖3··PQROR’圖3··PQRO∵點(diǎn)Q在點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線上，∴P，M，A，R’成調(diào)和點(diǎn)列，∴.∴.∴()·()=()·().化簡(jiǎn)可得：.命題得證.四、結(jié)語極點(diǎn)極線的證明方法不止一種，而借助梅涅勞斯定理和塞瓦定理來證明是較為簡(jiǎn)便