第14講空間向量與立體幾何經(jīng)典精講一個(gè)多面體的三視圖如下圖，其中正視圖是正方形，側(cè)視圖是等腰三角形．那么該幾何體的外表積為()．A．88B．98C．108D．158如下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，那么該幾何體的體積為()．A．1B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4)D．eq\f(3,2)一個(gè)簡(jiǎn)單組合體的三視圖及尺寸如下圖(單位：mm)，那么該組合體的體積為()．A．32mm3B．48mm3C．56mm3D．64mm3一個(gè)物體的底座是兩個(gè)相同的幾何體，它的三視圖及其尺寸(單位：dm)如下圖，那么這個(gè)物體的體積為()．A．(120＋16π)dm3B．(120＋8π)dm3C．(120＋4π)dm3D．(60＋8π)dm3如下圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是BC、CC1、C1D1、A1A的中點(diǎn)．求證：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H．一個(gè)多面體的三視圖和直觀圖如下圖，其中M，N分別是AB，SA的中點(diǎn)．(1)求證：NB⊥MC；(2)在棱SD上是否存在點(diǎn)P，使AP∥平面SMC？假設(shè)存在，請(qǐng)找出點(diǎn)P的位置；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．如圖，棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱C1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BC的中點(diǎn)．(1)求證：直線AE⊥直線DA1；(2)求三棱錐D－AEF的體積；(3)在線段AA1上求一點(diǎn)G，使得直線AE⊥平面DFG．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E、M分別為AB、DE的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A′DE，F(xiàn)為A′C的中點(diǎn)，A′C＝4．(1)求證：平面A′DE⊥平面BCD；(2)求證：FB∥平面A′DE．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．假設(shè)二面角B1－DC－C1的大小為60°，那么AD的長為()．A．eq\r(2) B．eq\r(3) C．2 D．eq\f(\r(2),2)四棱柱ABCD－A1B1C1D1的側(cè)棱AA1垂直于底面，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AB＝AA1＝2BC，E為DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為A1D的中點(diǎn)．那么直線EF與平面A1CD所成角的正弦值為()．A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(3),3) C．eq\f(2,3) D．eq\f(\r(6),3)第14講空間向量與立體幾何經(jīng)典精講答案：(1)證明見詳解；(2)eq\f(\r(3),2)．詳解：(1)在圖(1)中，∵AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°．∵CD為∠ACB的平分線，∴∠BCD＝∠ACD＝30°，∴CD＝2eq\r(3)．∵CE＝4，∠DCE＝30°，∴DE＝2．那么CD2＋DE2＝EC2，∴∠CDE＝90°，DE⊥DC．在圖(2)中，∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE?平面ACD，∴DE⊥平面BCD．(2)在圖(2)中，∵EF∥平面BDG，EF?平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，∴EF∥BG．∵點(diǎn)E在線段AC上，CE＝4，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴AE＝EG＝CG＝2，作BH⊥CD交CD于H，∵平面BCD⊥平面ACD，∴BH⊥平面ACD．由條件得BH＝eq\f(3,2)．S△DEG＝eq\f(1,3)S△ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AC·CD·sin30°＝eq\r(3)．∴三棱錐B－DEG的體積V＝eq\f(1,3)S△DEG·BH＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(3,2)＝eq\f(\r(3),2)．答案：(1)證明見詳解；(2)當(dāng)θ＝eq\f(π,4)時(shí)，三棱錐C－AOE的體積最大，最大值為eq\f(\r(2),3)．詳解：(1)在直角梯形ABCD中，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，那么AB＝DE，又AB∥DE，AD⊥AB，知BE⊥CD．在四棱錐C－ABED中，BE⊥DE，BE⊥CE，CE∩DE＝E，CE，DE?平面CDE，那么BE⊥平面CDE．因?yàn)镃O?平面CDE，所以BE⊥CO．又CO⊥DE，且BE，DE是平面ABED內(nèi)兩條相交直線，故CO⊥平面ABED．(2)由(1)知CO⊥平面ABED，那么三棱錐C－AOE的體積V＝eq\f(1,3)S△AOE·OC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×OE×AD×OC．由直角梯形ABCD中，CD＝2AB＝4，AD＝eq\r(2)，CE＝2，得三棱錐C－AOE中，OE＝CEcosθ＝2cosθ，OC＝CEsinθ＝2sinθ，V＝eq\f(\r(2),3)sin2θ≤eq\f(\r(2),3)．當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ＝1，θ∈(0，eq\f(π,2))，即θ＝eq\f(π,4)時(shí)取等號(hào)，(此時(shí)OE＝eq\r(2)<DE，O落在線段DE內(nèi))．故當(dāng)θ＝eq\f(π,4)時(shí)，三棱錐C－AOE的體積最大，最大值為eq\f(\r(2),3)．見詳解．證明：(1)如下圖，取BB1的中點(diǎn)M，連接HM、MC1，易證四邊形HMC1D1是平行四邊形，∴HD1∥MC1．又∵M(jìn)C1∥BF，∴BF∥HD1．(2)取BD的中點(diǎn)O，連接EO、D1O，那么OE平行且等于eq\f(1,2)DC．又D1G平行且等于eq\f(1,2)DC，∴OE平行且等于D1G，∴四邊形OEGD1是平行四邊形．∴GE∥D1O．又D1O平面BB1D1D，EG平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D．(3)由(1)知D1H∥BF，D1H平面BDF，BF平面BDF，∴D1H∥平面BDF．同理，由B1D1∥BD可得，B1D1∥平面BDF．又B1D1、HD1平面HB1D1，且B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H．見詳解．詳解:(1)取AD的中點(diǎn)O，連接NO，BO，∵N是SA的中點(diǎn)，O是AD的中點(diǎn)，∴NO∥SD．又∵SD⊥底面ABCD，∴NO⊥底面ABCD，MC平面ABCD，∴NO⊥MC．又∵ABCD是正方形，M，O分別是AB，AD的中點(diǎn)，由平面幾何知識(shí)可得BO⊥MC，NO∩BO＝O，∴MC⊥平面NOB，NB平面NOB．∴NB⊥MC．(2)取線段SD的中點(diǎn)P即可．設(shè)SC的中點(diǎn)為Q，連接PQ，MQ，∴PQ＝eq\f(1,2)CD且PQ∥CD；又AM∥CD且AM＝eq\f(1,2)CD；∴PQ∥AM且PQ＝AM．∴APQM是平行四邊形．∴AP∥MQ，AP平面SMC，MQ平面SMC．∴AP∥平面SMC．(2)eq\f(4,3)．詳解：(1)連接AD1，BC1，由正方體的性質(zhì)可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1，又AE平面ABC1D1，∴DA1⊥AE．(2)VD－AEF＝VE－ADF＝eq\f(1,3)·DD1·S△ADF＝eq\f(1,3)×2×2＝eq\f(4,3)．(3)所示G點(diǎn)即為A1點(diǎn)，證明如下：由(1)可知AE⊥DA1，取CD的中點(diǎn)H，連接AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可證DF⊥平面AHE，∴DF⊥AE．又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG．見詳解．詳解：(1)由題意得△A′DE是△ADE沿DE翻折而成，所以△A′DE≌△ADE．∵∠ABC＝120°，四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝60°．又∵AD＝AE＝2，∴△A′DE和△ADE都是等邊三角形．∵M(jìn)是DE的中點(diǎn)，∴A′M⊥DE，A′M＝eq\r(3)．在△DMC中，MC2＝42＋12－2×4×1·cos60°，∴MC＝eq\r(13)．在△A′MC中，A′M2＋MC2＝(eq\r(3))2＋(eq\r(13))2＝42＝A′C2，∴△A′MC是直角三角形．∴A′M⊥MC．又∵A′M⊥DE，MC∩DE＝M，∴A′M⊥平面BCD．又∵A′M平面A′DE，∴平面A′DE⊥平面BCD．(2)取DC的中點(diǎn)N，連接FN，NB．∵A′C＝DC，F(xiàn)，N點(diǎn)分別是A′C，DC的中點(diǎn)，∴FN∥A′D．又∵N，E點(diǎn)分別是平行四邊形ABCD的DC，AB的中點(diǎn)，∴BN∥DE．又∵A′D∩DE＝D，F(xiàn)N∩NB＝N，∴平面A′DE∥平面FNB．∵FB平面FNB，∴FB∥平面A′DE．A．詳解：如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)設(shè)AD＝a，那么D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0,a)，＝(1,0,a)，＝(0,2,2)，設(shè)平面B1CD的一個(gè)法向量為m＝(x，y，z)．那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·＝0,m·＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y＋2z＝0,x＋az＝0))，令z＝－1，得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一個(gè)法向量為n(0,1,0)，那么由cos60°＝eq\f(m·n,|m||n|)，得eq\f(1,\r(a2＋2))＝eq\f(1,2)，即a＝eq\r(2)，故AD＝eq\r(2)．C．詳解：∵AB，AD，AA1兩兩垂直，故以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，設(shè)BC＝1，那么A(0,0,0)，A1(0,0,2)，C(2,1,0)，D(0,2,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(0,1,1)，＝(0,1