高一數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)能力競(jìng)賽不等式部分綜合測(cè)試題第I卷（選擇題）一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】A【詳解】依題意，，畫出的圖像如下圖所示，由圖可知，解得.2．已知，且，則的最小值為（

）A．9 B．10 C．11 D．【答案】A【分析】利用“乘1法”將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值，然后展開(kāi)利用基本不等式求解．【詳解】，，又，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為9．故選：A．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.3．已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用雙換元法化簡(jiǎn)后，根據(jù)基本不等式計(jì)算【詳解】，令，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故有最小值．故選：B4．設(shè)，則取得最小值時(shí)，的值為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【解析】轉(zhuǎn)化條件為原式，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.5．已知，滿足，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】由題意可得，結(jié)合目標(biāo)式即可構(gòu)造出，進(jìn)而利用基本不等式求的最小值【詳解】由知：，而，∴，則∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目標(biāo)式的等價(jià)形式，應(yīng)用等價(jià)代換構(gòu)造出基本不等式的形式求最值6．若、、均大于0，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】注意,而,從而溝通了問(wèn)題與已知的聯(lián)系,然后利用基本不等式求最值.【詳解】解：、、均大于0,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,的最大值為.故選:C【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,對(duì)不符合基本不等式形式的應(yīng)首先變形,然后必須滿足三個(gè)條件：一正、二定、三相等.7．設(shè)實(shí)數(shù)，滿足條件且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)分成三種情況進(jìn)行分類討論，利用基本不等式求得的最小值.【詳解】依題意成立，故.由于，所以且.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜上所述，由于，所以的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用基本不等式求最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.8．已知正實(shí)數(shù)，，若，，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【分析】可先對(duì)作變形處理，得，結(jié)合基本不等式進(jìn)行放縮，可得，再進(jìn)一步化簡(jiǎn)求值即可【詳解】由，得，化簡(jiǎn)得，解得，即的取值范圍為，故選A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)不等式求解參數(shù)取值范圍問(wèn)題，形如變形成這種式子，應(yīng)作為解題模型之一，強(qiáng)化應(yīng)試技巧二、多選題:本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．已知，均為正實(shí)數(shù)，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ACD【分析】對(duì)A，利用基本不等式即可解得；對(duì)B，將2換成，進(jìn)而利用基本不等式得到答案；對(duì)C，將原式化簡(jiǎn)為，進(jìn)而根據(jù)代換，然后得到答案；對(duì)D，將原式變化為，進(jìn)而化簡(jiǎn)，然后設(shè)，而后用進(jìn)行代換，最后用基本不等式得到答案.【詳解】因?yàn)?，均為正?shí)數(shù)，且，對(duì)A,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，正確；對(duì)B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，錯(cuò)誤；對(duì)C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，正確；對(duì)D，，設(shè)，則上式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，正確；故選：ACD.10．記，已知，則（

）A．的最大值為18 B．的最大值為12C．的最小值為 D．的最小值為8【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件：結(jié)合基本不等式有，應(yīng)用換元思想可求的最大值，進(jìn)而由知的最值情況；又，即得可求其最小值，而可確定最小值，進(jìn)而判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，則，解得，即有，故A正確；而，故B錯(cuò)誤；由知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；，所以當(dāng)時(shí)，其有最小值為8，故D正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由已知參數(shù)的等量關(guān)系，利用基本不等式、一元二次不等式、的性質(zhì)，結(jié)合換元法及等量代換的應(yīng)用，求代數(shù)式的最值.11．下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有．A．如果，那么取得最大值時(shí)的值為B．如果，，，那么的最小值為6C．函數(shù)的最小值為2D．如果，，且，那么的最小值為2【答案】AB【解析】A.將其配成頂點(diǎn)坐標(biāo)式即可得出答案；代入即可得其最小值；C.函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)此時(shí)無(wú)解，將“1”替換為，代入用基本不等式.【詳解】解：對(duì)于A.如果，那么，當(dāng)時(shí)取得最大值，故正確；，，則整理得，所以或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，故正確；對(duì)于C.函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)此時(shí)無(wú)解，不能取得最小值2，故錯(cuò)誤；對(duì)于D.如果，，且，那么當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最小值，故錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.12．已知關(guān)于x的不等式，下列結(jié)論正確的是(

)A．當(dāng)時(shí)，不等式的解集為B．當(dāng)時(shí)，不等式的解集可以為的形式C．不等式的解集恰好為，那么D．不等式的解集恰好為，那么【答案】AD【分析】A：分析函數(shù)的最值與，進(jìn)行比較即可；B：在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象以及直線和直線，由圖象分析，即可判斷選項(xiàng)CD：利用的圖象與對(duì)應(yīng)不等式的關(guān)系解答即可；【詳解】解：設(shè)，，則；對(duì)于A：∵，∴當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，所以A正確；對(duì)于B：在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的圖象及直線y＝a和y＝b，如圖所示：由圖知，當(dāng)a＝2時(shí)，不等式的解集為的形式，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD：由的圖象知，若不等式的解集為連續(xù)不間斷的區(qū)間，則，且；若解集為，，則(a)(b)，且，因?yàn)?，所?b)，解得或，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以C錯(cuò)誤、D正確．故選：AD第II卷（非選擇題）三、填空題:本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13．對(duì)于實(shí)數(shù)，規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，那么不等式恒成立的的取值范圍是___________.【答案】【分析】求得不等式的解集，得到，結(jié)合新定義，即可求解.【詳解】由不等式，所以，即，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14．設(shè)二次函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，且，則的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】[1,13]【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和已知條件得到m與n的關(guān)系，化簡(jiǎn)后利用不等式即可求出其范圍.【詳解】二次函數(shù)f(x)對(duì)稱軸為，∵f(x)值域?yàn)椋嗲?，n＞0.，∵====∴，，∴∈[1,13].故答案為：[1,13].15．（2017·安徽省臨泉第一中學(xué)高二競(jìng)賽（理））設(shè)集合中的最大元素與最小元素分別為，則的值為_(kāi)________．【答案】10【詳解】∵，∴取最小值為1，取最大值為2．所以最大值，又∵，即最小值，所以，故答案為.16．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）實(shí)數(shù)滿足，設(shè)，則________．【答案】【分析】由題可得，進(jìn)而可得，可得，即求.【詳解】由，得，又，所以，∴，∴，∴.故答案為：.四、解答題17．已知二次函數(shù).(1)若的解集為，求不等式的解集；(2)若對(duì)任意，恒成立，求的最大值；(3)若對(duì)任意，恒成立，求的最大值.【答案】(1)，(2)1，(3)【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用“三個(gè)二次”的關(guān)系，得到的根為1和2，且，進(jìn)而求得的關(guān)系，化簡(jiǎn)不等式后，求解即得;（2）利用不等式恒成立的條件，得到，進(jìn)而得到，從而得到結(jié)合基本不等式求得的最大值；（3）令，可得，根據(jù)恒成立，可以得到，進(jìn)而得到，然后利用基本不等式求得的最大值,并檢驗(yàn)取到最大值時(shí)的條件使得不等式的另一邊恒成立.(1)因?yàn)榈慕饧?，2），所有的根為1和2，且.所以，，故，，所以，即，，所以，即不等式的解集為.(2)因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以，即，又，所以，故，所以，當(dāng)，時(shí)取“=”，所以的最大值為1.(3)令，則，所以，對(duì)任意，，恒成立，所以恒成立，所以，所以，此時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)取“=”，此時(shí)成立；故的最大值為.18．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式.（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式.（3）不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）.【分析】(1)把代入可得，再移項(xiàng)通分轉(zhuǎn)化成一元二次不等式求解即得；(2)把不等式移項(xiàng)通分，將含參的分式不等式轉(zhuǎn)化成含參的整式不等式進(jìn)行分類求解即可；(3)把不等式在的條件下進(jìn)行等價(jià)變形，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，于是有，即，整理得，則，解得，所以不等式的解集為；（2）當(dāng)時(shí)，不等式化為：，即，整理得，則，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為，解得或，當(dāng)時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，即，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，解得，所以：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為空集，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；（3）對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，而當(dāng)時(shí)，，因，于是得對(duì)任意恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，因此，，所以的取值范圍.19．已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，，為正實(shí)數(shù)，且的最大值等于，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)；(3).【分析】(1)將二次函數(shù)表達(dá)式寫成交點(diǎn)式，再對(duì)分類討論；(2)對(duì)分等于零，大于零和小于零討論；(3)先用基本不等式的配湊法求最值，再求的值.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，的解集為；當(dāng)時(shí)，的解集為；當(dāng)時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)解.(2)當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意，恒成立.當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象開(kāi)口向上，若對(duì)任意，恒成立，只需，即，.故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立.當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，，恒成立.綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.(3)若，，為正實(shí)數(shù)，則由基本不等式得，，，兩式相加得，，變形得，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立.所以，即，.20．已知，，均為正實(shí)數(shù)，且．證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)，，都為正整數(shù)，且，利用基本不等式證明；（2）法一：利用基本不等式得到，再利用不等式的基本性質(zhì)證明；法二：利用Cauchy不等式證明.(1)∵，，都為正整數(shù)，且．∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立．(2)法一：由題意得①+②+③，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立．法二：由Cauchy不等式，得．令，則．令，則在上單調(diào)遞增．∴，即．21．（2022湖北高一競(jìng)賽）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若對(duì)一切實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）通過(guò)圖象過(guò)的點(diǎn)得到、、關(guān)系式，觀察發(fā)現(xiàn)，又可得一關(guān)系式，再將、都有表示,不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立可轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元二次不等式恒成立，即可解得答案．（2）由題意可得恒成立．設(shè)，則，由此求得的范圍．(1)根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得①，