（優(yōu)選）電磁場與電磁波第四版第一章ppt講解目前一頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)本章內(nèi)容1.1矢量代數(shù)1.2

常用正交曲線坐標(biāo)系1.3

標(biāo)量場的梯度1.4

矢量場的通量與散度1.5

矢量場的環(huán)流和旋度1.6

無旋場與無散場1.7

拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8

亥姆霍茲定理目前二頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)1.標(biāo)量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標(biāo)量：一個只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：1.1矢量代數(shù)矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。

矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示

注意：單位矢量不一定是常矢量。

矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。

目前三頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)矢量用坐標(biāo)分量表示zxy目前四頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)（1）矢量的加減法兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的加法矢量的減法在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律交換律目前五頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)（2）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）——矢量的標(biāo)積符合交換律q矢量與的夾角目前六頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)（4）矢量的矢積（叉積）qsinABq矢量與的叉積用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為若，則若，則目前七頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)（5）矢量的混合運(yùn)算——分配律——分配律——標(biāo)量三重積——矢量三重積目前八頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)

三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來確定。1.2

三種常用的正交曲線坐標(biāo)系

在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。目前九頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)1、直角坐標(biāo)系

位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量

點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元

odzdydx目前十頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)2、圓柱面坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量目前十一頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)3、球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量目前十二頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)4、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系oqrz單位圓

柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq

ofxy單位圓

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系

f目前十三頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)1.3標(biāo)量場的梯度如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。

例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。時變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：

確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場和矢量場靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：目前十四頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)標(biāo)量場的等值面

標(biāo)量場的等值線(面)等值面:

標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。

等值面的特點(diǎn)：意義:

形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。目前十五頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)2.方向?qū)?shù)意義：方向性導(dǎo)數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。概念：

——u(M)沿方向增加；

——u(M)沿方向減小；

——u(M)沿方向無變化。

M0M方向?qū)?shù)的概念

特點(diǎn)：方向性導(dǎo)數(shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與方向有關(guān)。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？——的方向余弦。

式中：

目前十六頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)梯度的表達(dá)式：圓柱面坐標(biāo)系

球面坐標(biāo)系直角面坐標(biāo)系

3、標(biāo)量場的梯度（或）意義：描述標(biāo)量場在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念：，其中

取得最大值的方向目前十七頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式：標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）目前十八頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)

例1.2.1

設(shè)一標(biāo)量函數(shù)(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空間標(biāo)量場。試求：

(1)該函數(shù)在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；(2)求該函數(shù)沿單位矢量el=

excos60＋eycos45

＋ezcos60方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。

解

(1)由梯度計算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為目前十九頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)表征其方向的單位矢量

(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為對于給定的P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為目前二十頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)而該點(diǎn)的梯度值為

顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。目前二十一頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)1.4矢量場的通量與散度

1、矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場的方向。矢量線oM

目前二十二頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)2、矢量場的通量

問題：如何定量描述矢量場的大??？引入通量的概念。

通量的概念：其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量；

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：面積元矢量目前二十三頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的物理意義目前二十四頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)3、矢量場的散度為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的散度。

散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。目前二十五頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式：目前二十六頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)

由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為oxy在直角坐標(biāo)系中計算?·FzzDxDyDP

不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則目前二十七頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式為

同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P穿出該六面體的凈通量為目前二十八頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)4、散度定理體積的剖分VS1S2en2en1S從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。目前二十九頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)1.5矢量場的環(huán)流和旋度

矢量場的環(huán)流與旋渦源

例如：流速場不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。目前三十頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)

如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。

目前三十一頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。環(huán)流的概念矢量場對于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C的線積分，即目前三十二頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)過點(diǎn)M作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時，極限稱為矢量場在點(diǎn)M處沿方向n的環(huán)流面密度。

矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。

特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M處的方向n有關(guān)。2、矢量場的旋度（）

（1）環(huán)流面密度目前三十三頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)而

推導(dǎo)

的示意圖如圖所示。oyDz

DyCMzx1234計算的示意圖

直角坐標(biāo)系中、、的表達(dá)式目前三十四頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)于是

同理可得故得概念：矢量場在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場的旋度目前三十五頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)旋度的計算公式:直角坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系目前三十六頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度的散度恒為零標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零目前三十七頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)3、Stokes定理Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即目前三十八頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)4、散度和旋度的區(qū)別

目前三十九頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)1、矢量場的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點(diǎn)的散度；

旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點(diǎn)的旋度。1.6無旋場與無散場目前四十頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)2、矢量場按源的分類（1）無旋場性質(zhì)：，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，無旋場可以用標(biāo)量場的梯度表示為例如：靜電場目前四十一頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)（2）無散場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即性質(zhì)：無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場目前四十二頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)（3）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分目前四十三頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)1.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理

1、拉普拉斯運(yùn)算標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算概念：——拉普拉斯算符直角坐標(biāo)系計算公式：圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系目前四十四頁\總數(shù)四十