有限元分析要點(diǎn).有限元法的概念及基本思路。概念：有限元法是一種基于變分里茲法而進(jìn)展起來的求解微分方程的數(shù)值計(jì)算方法,并采用分片近似的方法對真實(shí)物理系統(tǒng)(幾何和載荷工況)進(jìn)行模擬。有限元方程的建立有多種不同的方法，常見的有三種建IJ度法、變分法和加權(quán)殘值法?；舅悸罚孩匐x散化:將連續(xù)系統(tǒng)分割成有限個分區(qū)或單元②單元分析:用標(biāo)準(zhǔn)方法對每個單元提出一個近似解③整體分析:將全部單元按標(biāo)準(zhǔn)方法組合成一個與原有系統(tǒng)近似的系統(tǒng).有限元分析主要應(yīng)用領(lǐng)域及常用大型通用有限元軟件。應(yīng)用領(lǐng)域：①結(jié)構(gòu)分析:土木工程結(jié)構(gòu)?汽車結(jié)構(gòu)-航空結(jié)構(gòu)-機(jī)械零部件②熱分析:主要應(yīng)用在內(nèi)燃機(jī)、渦輪機(jī)、換熱器、管路系統(tǒng)、電子元件等。③電磁分析:靜磁場分析一計(jì)算直流電(DC)產(chǎn)生的磁場.交變磁場分析一計(jì)算由于溝通電(AC)產(chǎn)生的磁場.瞬態(tài)磁場分析--計(jì)算隨時間隨機(jī)變化的電流或外界引起的磁場.④流體分析:作用于氣動翼型上的升力和阻力；超音速噴管中的流場；彎管中流體的簡單的三維流淌；⑤耦合場分析-多物理場：等參元中積分階次的選擇:積分階次的選擇直接影響計(jì)算的精度和計(jì)算工作量。積分階次的選擇必須保證積分的精度。（免去幡確積臺）很多情況下，實(shí)際選取的高斯積分點(diǎn)數(shù)低于精確積分的要求，往往可以取得較完全精確積分更好的精度。（成縮積今）13?桿、梁類單元位移函數(shù)構(gòu)造。把握桿件單元的基本過程，把握梁單元的整體剛度矩陣的組裝過程。桿件的位移函數(shù)構(gòu)造：(2)確定位移模式假設(shè)單元位移場：〃(x)=q+a2x+a3x2+…取其線性部分，系數(shù)卬四可由節(jié)點(diǎn)位移/、〃2確定，稱為位移插值模式(interpolationmodel).u{x)=aA+a2x(3)形函數(shù)矩陣的推導(dǎo)由單元的節(jié)點(diǎn)條件，兩個節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為小、X2,兩個節(jié)點(diǎn)位移為〃(x)lxf=〃1,〃(X)lx=x2=〃2，代入上式插值模式公式得：67.+ =II.1 —A k0+a,x、=X a*a*桿單元剛度矩陣特點(diǎn)：1、對稱矩陣；2、奇異的；3、行(列)元素之和等于零。得到形函數(shù)矩陣zx八 X、 入N(x)=(1 ) X?_&X?-X]記節(jié)點(diǎn)位移矢量[u.因此，用形函數(shù)矩陣表達(dá)的單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移函數(shù)是

u(x)=N(x)de對于平面梁單元，其彎曲變形的位移場Mx）可以設(shè)為下式v(x)=%+a2x+a3x2+a4x3因此，梁的斜率是（Hermite型）dv

6.=——=a

?dx位移模式寫成矩陣形式dv

6.=——=a

?dx位移模式寫成矩陣形式2+2a3x+3a4x2v(x)2(x)X22xx33x2%a1a.%（P126）梁單元的整剛組裝:■F（P126）梁單元的整剛組裝:■F整體剛度矩陣的組集與坐標(biāo)變換a）局部坐標(biāo)系向整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換局部坐標(biāo)系，整體坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)載荷、節(jié)點(diǎn)位移和單元剛度矩陣的變換關(guān)系為de=Tdke=Tkde=Tdke=TkeTx其中坐標(biāo)變換矩陣為cos，-sin，

0sin6 0 0cos0 0 00 cos6 sin80 -sin<9cos，式中，。是父軸相對于x軸的夾角?？梢宰C明，轉(zhuǎn)換矩陣T的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣，所以，在整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣為 ke=TkeTT進(jìn)行整體剛度矩陣的組集?？梢圆杉{直接剛度法14.動力學(xué)及非線性部分學(xué)問有所了解。把握質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、固有頻率、振型等基本概念，把握計(jì)算動力學(xué)響應(yīng)的兩種方法。彈塑性問題中的屈服條件、塑性流淌定律和硬化定律。假如不滿意以下條件之一，就稱為非線性問題：(1)應(yīng)力應(yīng)變線性關(guān)系(2)結(jié)構(gòu)位移很小(變形遠(yuǎn)小于物體的幾何尺寸)(3)加載時邊界條件的性質(zhì)不變非線性問題可以分為三類：材料非線性、幾何非線性、接觸非線性。非線性結(jié)構(gòu)的基本特征：變化的結(jié)構(gòu)剛度。非線性方程組的求解方法：直接迭代法、Newton-Raphson迭代法、修正的Newton-Raphson迭代法。四種強(qiáng)度理論:第一強(qiáng)度理論又稱為最大拉應(yīng)力理論其次強(qiáng)度理論又稱最大伸長應(yīng)變理論。第三強(qiáng)度理論又稱最大剪應(yīng)力理論或特雷斯卡屈服準(zhǔn)則0第四強(qiáng)度理論其次強(qiáng)度理論又稱最大伸長應(yīng)變理論。第三強(qiáng)度理論又稱最大剪應(yīng)力理論或特雷斯卡屈服準(zhǔn)則0第四強(qiáng)度理論又稱最大外形轉(zhuǎn)變比能理論。質(zhì)量矩陣：把慣性力向節(jié)點(diǎn)靜力等效得到，采納不同的等效方法得到不同形式的質(zhì)量矩陣。主要分為兩類：集中質(zhì)量矩陣、全都質(zhì)量矩陣。集中質(zhì)量矩陣：假定單元的質(zhì)量集中在結(jié)點(diǎn)上，這樣得到的質(zhì)量矩陣是對角線矩陣。阻尼矩陣：瑞利阻尼假設(shè)結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的組合。即:[C]=?0 +[K]有頻率：無阻尼系統(tǒng)的震驚頻率。無阻尼自由振動的動力方程：Md+Kd=O有振型:固有振動頻率相應(yīng)的振型。有振型:固有振動頻率相應(yīng)的振型。動力學(xué)響應(yīng)的兩種方法：直接積分法和振型疊加法。彈塑性問題中（D屈服條件：確定一個給定的應(yīng)力狀態(tài)是出于彈性范圍還是發(fā)生塑性流淌。（2）塑性流淌定律：描述塑性應(yīng)變增量與當(dāng)前應(yīng)力狀態(tài)的關(guān)系的定律。（3）硬化定律：確定隨著變形的進(jìn)展屈服條件的變化，即材料的后繼屈服條件。?熱--應(yīng)力分析；?體--結(jié)構(gòu)相互作用；?磁-熱感應(yīng)加熱;通用軟件：ADINA>ABAQUS、ANSYS、MSC/Marc、MSC/Nastran.彈性力學(xué)主要討論內(nèi)容、基本假定和基本方程。討論內(nèi)容：討論在約束和外載荷作用下，彈性體內(nèi)的應(yīng)力和變形分布規(guī)律?；炯俣ǎ孩龠B續(xù)性假設(shè)②勻稱性假設(shè)③各向同性假設(shè)④完全彈性假設(shè)⑤小變形假設(shè)⑥無初始應(yīng)力假設(shè)基本方程：①平衡微分方程dcx°「dcx°「——-+一dx+-^+心=0

dzbxdxdydz

dr, d(y.—————Hdxdvdz②幾何方程（位移與應(yīng)變關(guān)系）du加YF-dydxdvdw%=三+左在dyduM—+—dzdx③物理方程（應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系）%*%%%1〃1一40%*%%%1〃1一404

1-40l-2/z

2(1-//)0If

2(j)0務(wù),”產(chǎn)1-2//

2(1-//)簡化為：匕｝=回層④變形協(xié)調(diào)方程⑤邊界條件.彈性問題的虛功原理和最小勢能原理概念及聯(lián)系虛位移原理：若在已知的面力和體力的作用下，彈性體處于平衡狀態(tài)，那么使彈性體產(chǎn)生虛位移時,全部作用在彈性體上的外力在虛位移上所做的總虛功等于彈性體內(nèi)總的虛應(yīng)變能。最小勢能原理:彈性體在外力作用下保持平衡，在滿意位移邊界條件的全部可能位移中，真實(shí)位移使系統(tǒng)的總勢能取最小值。聯(lián)系和區(qū)分：?最小勢能原理和虛功原理都可以代替微分方程與應(yīng)力邊界條件，轉(zhuǎn)為代數(shù)方程求解的一種方法，用于描述彈性體的平衡狀態(tài)。?前者是基于能量的描述，后者基于力的平衡。.把握基于變分原理的彈性問題有限元求解過程，把握有限元收斂準(zhǔn)則。變分求解過程：(1)幾何離散：m個單元和n個節(jié)點(diǎn)的組合體;(2)單元特征分析：單元應(yīng)變能，單元外力勢能(等效節(jié)點(diǎn)載荷);(3)單元集成：系統(tǒng)的總勢能；(4)變分處理：系統(tǒng)的平衡方程(組)；(5)應(yīng)用位移邊界條件求出節(jié)點(diǎn)位移；(6)由節(jié)點(diǎn)位移求出單元的應(yīng)變、應(yīng)力。收斂準(zhǔn)則：位移模式必需包含單元的剛體位移。位移模式必需包含單元的常應(yīng)變。位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)、且在相鄰單元之間的位移必需協(xié)調(diào)。準(zhǔn)則(D完備性一包含常應(yīng)變項(xiàng)和剛體位移項(xiàng)。假如在勢能泛函中所消失的位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，則選取的位移函數(shù)至少是m階完全多項(xiàng)式。準(zhǔn)則(2)協(xié)調(diào)性一相鄰單元公共邊界保持位移連續(xù)。假如在勢能泛函中所消失的位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，則位移函數(shù)在單元交界面上必需具有直到(m-1)階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即Cm-l連續(xù)性。CO型單元一一勢能泛函中所消失的位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是1階，在單元交界面上具有0階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)(平面問題單元、空間問題單元)。C1型單元一一勢能泛函中所消失的位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是2階，在單元交界面上具有1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)(梁單元、板殼單元等)。6.平面問題的特點(diǎn)及分類平面應(yīng)力問題：(1)幾何特征一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸小得多。(2)受力特征外力和約束僅平行于板面作用，沿z方向不變化。(3)應(yīng)力特征選取特定的坐標(biāo)系，以板的中面為xy平面，垂直于中面的任始終線為z軸平面應(yīng)力問題只有三個應(yīng)力重量：4=4(")av=cr(x,y)J J平面應(yīng)變問題：(1)幾何特征一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸大得多，且沿長度方向幾何外形和尺寸不變化。(2)外力特征外力平行于橫截面作用，且沿長度z方向不變化(3)變形特征以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸。設(shè)z方向?yàn)闊o限長，橫截面上其上各點(diǎn)x、y方向的位移與坐標(biāo)z無關(guān)，僅為x,y的函數(shù)。平面應(yīng)變問題只有三個應(yīng)變重量：4=￡y(xj)7.把握平面三角形單元的推導(dǎo)過程及相關(guān)概念（形函數(shù)、位移函數(shù)），能夠計(jì)算簡潔三角形單元的剛度矩陣。三角單元推導(dǎo)過程:.幾何離散:采納3節(jié)點(diǎn)三角形單元.單元特征分析?構(gòu)造位移函數(shù),單元應(yīng)變能?單元外力功（單元等效節(jié)點(diǎn)力）.單元集成:系統(tǒng)的總勢能.變分處理:系統(tǒng)的平衡方程（組）.應(yīng)用位移邊界條件求出節(jié)點(diǎn)位移.由節(jié)點(diǎn)位移求出單元的應(yīng)變、應(yīng)力三角形單元剛度矩陣計(jì)算公式：1〃0EKe=BTDBtAA101-/ 100匕L2（作業(yè)題和例題總結(jié)）.把握構(gòu)造單元位移函數(shù)的基本準(zhǔn)則、形函數(shù)的意義。位移函數(shù)：指單元內(nèi)位移分布狀態(tài)，在實(shí)際中用的是多項(xiàng)式函數(shù)，由于多項(xiàng)式函數(shù)的微分和積分運(yùn)算比較便利，而且全部光滑函數(shù)的局部都可以用多項(xiàng)式來靠近。關(guān)于多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)和階次，要依據(jù)單元的節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)和有關(guān)解的收斂性要求來確定。形函數(shù)的物理意義：Ni表示的是當(dāng)節(jié)點(diǎn)i在某坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移而其他節(jié)點(diǎn)的位移為零時的單元內(nèi)的位移分布規(guī)律。也就是說Ni反映了單元位移變化的形態(tài)。.剛度矩陣的特點(diǎn)及如何消退剛體矩陣奇異性，把握單剛組裝成整體剛度矩陣方法，能夠進(jìn)行總剛的組裝計(jì)算。剛度矩陣的特點(diǎn)：K是對稱矩陣K中主對角元素總是正的（3）K是稀疏矩陣，非零元素呈帶狀分布（4）K是奇異矩陣，在排解剛體位移后，它是正定陣剛度矩陣的半帶寬公式:B=2（D+1）消退剛體矩陣奇異性：引入邊界條件，兩種方法：（1）代入法（對角元素置1法）（2）乘大數(shù)法整體剛度矩陣的組裝方法：（作業(yè)題和例題總結(jié)）.軸對稱單元的相關(guān)概念及與平面單元的區(qū)分軸對稱問題：工程中有一類結(jié)構(gòu)的幾何外形、約束條件及作用的荷載都對稱于某一固定軸，可視為子午面內(nèi)平面物體繞軸旋轉(zhuǎn)一周的結(jié)果。軸對稱單元的特點(diǎn)(與平面三角形單元的區(qū)別)軸對稱單元為圓環(huán)體，單元與單元間為節(jié)圓相連接；節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)載荷是施加于節(jié)圓上的均布力；單元邊界是一回轉(zhuǎn)面；應(yīng)變分量同中出現(xiàn)了“/即應(yīng)變不是常量；且應(yīng)變矩陣在r=0時，存在奇異點(diǎn)，需特殊處理，通常用該單元的形心坐標(biāo)替代節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。2個位移量(u、w)4個應(yīng)力氣(OrCOOzTrz)4個應(yīng)變量(&￡0€zYrz).等參單元的概念及留意事項(xiàng)。等參單元：用同樣的節(jié)點(diǎn)和相同的外形函數(shù)，通過插值的方式表示單元的幾何坐標(biāo)與位移的單元。①四邊形等參單元的外形要求。(1)等參變換矩陣中的雅可比矩陣J,避開消失|/=。(2)不能有重節(jié)點(diǎn)(3)不能消失內(nèi)角大于180°的狀況(4)在有限變形的狀況下，相鄰兩邊的內(nèi)角最好介于30°-150°之間②采納等參單元的優(yōu)點(diǎn):借助于等參元可以對于一般的任意幾何外形的工程問題便利地進(jìn)行有限元離散。等參元的插值函數(shù)是用自然坐標(biāo)給出的，等參元的一切計(jì)算都是在自然坐標(biāo)系中規(guī)格化的母單元內(nèi)進(jìn)行，相關(guān)運(yùn)算大大簡化。不管各個積分形式的矩陣的被積函數(shù)如何簡單，都可以采納標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)值積分方法計(jì)算，從而使工程問題的有限元分析納入了統(tǒng)一的通用化程序。?解決外形不適應(yīng)性，提高精度。12.把握Gauss積分及優(yōu)點(diǎn)，等參元中積分階次的選擇。N點(diǎn)Gauss積分實(shí)際上是用一個匕的2n-l次多項(xiàng)式近似代替被積函數(shù)f（&）,再計(jì)算這個近似多項(xiàng)式的積分結(jié)果。精確積分通常由形函數(shù)中非完全多項(xiàng)式的最高