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基于數(shù)理結合的跨學科思維審視高考物理試題摘要：高考評價注重能力考查，掌握科學的思維方法是解決問題的關鍵。數(shù)理結

合的跨學科思維突出特征是思維上融合貫通。本文以2021年高考題為例，分基礎型和發(fā)展型兩類，從數(shù)理結合的跨學科思維角度去剖析問題，提出合理化的建議。

關鍵詞：思維方法；數(shù)理結合；跨學科思維；高考試題《中國高考評價體系》明確指出：高考考查的素質教育目標凝練為“核心價值、學

科素養(yǎng)、關鍵能力、必備知識”的“四層”考查內容。其中“學科素養(yǎng)”承接核心價值的方向引領，統(tǒng)攝關鍵能力與必備知識；“關鍵能力”是支撐和體現(xiàn)學科素養(yǎng)要求的能

[1]

力表征。學科素養(yǎng)包括“學習掌握、實踐探索、思維方法”三個一級指標，其中“思維方法”是指學習者在面對生活實踐或學習探索問題情境時，進行獨立思考和探索創(chuàng)新

的內在認知品質?！八季S方法”是思維品質、方式和能力的綜合，是個體高質量地解決生活實踐或學習探索情境中的各種問題的基礎。思維方法包含三個二級指標：科學思維、

[1]

人文思維、創(chuàng)新思維?？茖W思維的指標表現(xiàn)是采用嚴謹求真的、實證性的邏輯思維方式應對各種問題。能夠根據(jù)對問題情境的分析，運用實證數(shù)據(jù)分析事物的內部結構和問

題的內在聯(lián)系。以抽象的概念來反映客觀事物的本質特征和內在聯(lián)系。運用抽象與聯(lián)想、歸納與概括、推演與計算、模型與建模等思維方法來組織、調動相關的知識與能力，解

[1]

決生活實踐或學習探索情境中的各種問題。隨著高考評價與教育育人目標的有機聯(lián)通，需要我們運用融合的科學思維方式去面對，運用好類似數(shù)理結合的跨學科思維是值

得深入研究、探索的話題。一、數(shù)理結合的跨學科思維的認識

數(shù)理結合的跨學科思維是指在物理與數(shù)學中不囿于學科邊界，重視學科內部、外部的知識交叉、融合，通過跨界去整合知識，從而解決問題的思維方式，它的突出特征是

[2]

思維上的融會貫通。對于物理學與數(shù)學的關系，楊振寧曾用長在一棵根莖上的“雙葉”加以形容。一片

葉子是物理學，另一片葉子是數(shù)學，兩者生長在同一根莖上，這充分說明了數(shù)學與物理[3]

學的同源關系。不論物理知識在學習建構過程中，還是物理知識運用過程中，數(shù)學和12021安徽省中小學教育教學論文評選

[4]

方法論問題都起到重要的紐帶作用。由于數(shù)學方法應用的廣泛性、普適性以及數(shù)學理性思維的不可替代性，無論是人文社科領域，還是自然科學領域，與數(shù)學的交叉與融合

都具有普遍性。總之，培養(yǎng)學生數(shù)理結合的跨學科思維是非常必要的。由于學科教學的分立，教師教學中過于習慣固守學科邊界，很難主動進行學科間知識的融通，造成了思

維的局限性。在物理教學過程中，老師要主動示范，引導學生運用數(shù)學的思維方法去分析物理概念、規(guī)律及物理公式和圖像的物理結論，既考慮定性分析，又重視定量計算。

真正利用數(shù)理結合的跨學科思維讓知識之間有了聯(lián)系，便于遷移，讓知識鮮活、流動起來，從而使師生既看見“樹木”，又看到“森林”。

二、利用數(shù)理結合的跨學科思維分析案例近幾年高考物理重視學生綜合素質的考查，試題突出知識間的聯(lián)系和學科間的融合，

以社會生活、生產和科學創(chuàng)新的情境為依托，考察學生能否綜合運用學科知識和多種思維方法，從不同角度思考、發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題。由于物理與數(shù)學的密切關系，高考

試題的變化倒逼我們加強數(shù)理結合的跨學科思維能力的培養(yǎng)，引導學生主動用跨學科思維方法去分析、解決物理問題，更好地達成知識間、能力間的融會貫通。根據(jù)數(shù)理結合

的復雜程度，把相關高考試題分為基礎型和發(fā)展型，下面結合2021年全國高考物理（乙卷）試題作案例分析。

.基礎型例

1.（2021年全國高考乙卷第

20題）。

四個帶電粒子的電荷量和質量分別

+q，m)

(+q，2m)

(+3q，3m)

(-

q，m)

它們先后以相同的速度從坐標原點沿

x

軸正1(、、、方向射入一勻強電場中，電場方向與y軸平行，不計重力，下列描繪這四個粒子運動軌

跡的圖像中22021安徽省中小學教育教學論文評選

（參見圖1），可能正確的是（??）

分析：該題以不同荷質比的帶電粒子在同一電場中偏轉為情境設置問題，主要考查學生根據(jù)拋體運動規(guī)律，確定不同帶電粒子運動軌跡圖形形狀的判斷能力。在x軸上粒

qE12子的運動位移x=v0t；在y軸上，粒子運動的加速度和位移分別為a=m

和y

=

at

，2qE

2所以，帶電粒子在電場中運動的軌跡方程為y=2

x。由粒子運動的軌跡方程可知，

2mv0

q帶電粒子運動軌跡的形狀與荷質比的大小有關。此題需要建構所學拋體運動的軌跡方

m程，利用數(shù)學中的函數(shù)圖像特點去進行分析、判斷。學生如果缺乏建立軌跡方程的意識，

沒有跨學科思維的習慣，就難以形成解決問題的方法和路徑。這類題目在歷屆高考中也曾反復出現(xiàn)。

反思和建議：此類高考試題的解答，多從具體物理問題出發(fā)，經過知識的梳理需要延伸到利用數(shù)學工具去解決。教師在教學中應多引導學生從數(shù)理結合的角度，運用聯(lián)想、

類比、遷移、逆向思維等方法去處理物理問題，尤其注重挖掘并發(fā)現(xiàn)隱含的數(shù)學元素，逐步培養(yǎng)學生運用數(shù)理結合的跨學科思維方式去解決相關的物理問題。

2.發(fā)展型

例題

2.[2021全國高考物理乙卷

34題第（2）小題]

用插針法測量上、下表面平行的玻璃磚的折射率。實驗中用A、B兩個大頭針確定入射光路，C、D兩個大頭針確定出

/射光路。O

和

O

分別是入射點和出射點，如圖（a）所示（參見圖

2）。測得玻璃磚厚度

為h=15。0mm；A到過O點的法線OM的距離AM=10。0mm，M到玻璃磚的距離MO=20。0mm，O/到OM的距離為s=5。0mm。

（i）求玻璃磚的折射率；

32021安徽省中小學教育教學論文評選

（ii）用另外一塊材料相同，但上下表面不平行的玻璃磚繼續(xù)實驗，玻璃磚的截面

如圖2（b）所示。光從上表面入射，入射角從0逐漸增大，達到45°時，玻璃磚下表面的出射光線恰好消失。求此玻璃磚上下表面的夾角。

分析：插針法是一種測量結果相對比較精確，而操作過程又非常簡單的測量透明物質折射率的實驗方法。上面的這道題目是2021全國高考物理乙卷選考題最后一題（34

題）的第2個小題，以插針法測量玻璃折射率為背景設置的題目。通過考生對該題目的解答，可以考察學生對折射率的含義、全反射的條件等知識點的掌握情況，和靈活運用

數(shù)學知識解決復雜物理問題的能力。第一問，利用題目給出的相關線段的長度作為條件，在圖2（a）Rt△OAM和Rt△OO/N

/中可以分別求出∠AOM和∠OON的正弦值，再根據(jù)折射率的定義即可確定組成玻璃磚材

料的折射率為2。應該說，題目的第一個小問題屬于基礎性問題，只要學生掌握折射

率的定義，利用題目條件容易確定問題的答案。相比于第一個問題，第二個小問題的難度要高一些，不僅要求學生掌握全反射的條件，而且還要有較強的分析問題和解決問題

的能力。根據(jù)題目條件，在圖中作出相關輔0///助線（之如后圖3所示）——過O點分別作OM的平行線OH和，底面的法線ON，根據(jù)入射角D1=45

，0由折射定律可以確定折射角D2

=30

，光線在玻璃中射到底面玻璃和空氣的分界面時要發(fā)

/00生全反射利，用光的折射定律可以確定此時的入射角DOON

=45

，繼而便可確定D4

=15

，

0即玻璃磚的上下表面的夾角為15

?？梢钥闯?，本題目的兩個小問題，不僅考察的知識點全面，而且有明顯的難度梯度，

具有區(qū)分考生能力高下的功能，這也是作為選拔性考試題目應該具備的一個條件。能夠發(fā)現(xiàn)，這道高考題目給出的幾個長度數(shù)據(jù)條件比較“特殊”，利用三角函數(shù)經

過計算剛好使得相關的角度為特殊角（分別是15°、30°和45°這些特殊角），這肯定是編者精心設計的結果，目的是使考生便于根據(jù)題目給出的長度數(shù)據(jù)進行相關角度的計

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算。我們從數(shù)理結合的視角去思考，如果該問題給出線段的長度數(shù)據(jù)是任意的，對應的相關角度就可能不再是特殊角，那么，一般情形下這一物理問題的求解，在數(shù)學關系上

是否存在確定的規(guī)律？擴展條件尋找規(guī)律

例3.如圖4所示，玻璃磚的上下兩個側面PQ和RS不平行，讓一束光線按圖示方向以較小的入射角從空氣照射到玻璃磚上表面PQ上的確定點O，并逐漸增大入射角，發(fā)現(xiàn)

當入射角增大到q時，進入玻璃中的折射光線OB射到玻璃下側面時剛好發(fā)生全反射，

，試求玻璃磚上下兩個側面

PQ

和

RS

夾角

的大?。捎梅慈呛舨ＡУ恼凵渎蕿?/p>

數(shù)表示）。na分析：這道高考變式題目，是在原高考題目的基礎上更改一些條件之后，將原高考

題目給出的特殊角下的物理問題推廣到一般情形了，各相關角度成了任意角，所以，這道變式題目的解決方法和對應答案更具普遍意義。

解析：如圖5所示，過B作BH//MN，BC⊥RS，則BC為分界面RS上過B點的法線，，DOBH

=DBON

。由折射定律可得：sin

DBON

=sinq

，所以：

則有DCBH=ansinq

+a

，

DOBC

=DOBH

+DCBH

=DBON

+a

=arcsinn玻璃中的光線OB射向分界面RS剛好發(fā)生全反射時，滿足sinDOBC=1，所以：

nsinq

n+a)

=1

，因此，a

=arcsin

-

arcsin

1sinq。

nsin(arcsin

nn1sinq

，當

n

=

2

，

0對式子a

=arcsin

-

arcsin

q=45時nn0a

=arcsin

1

-

arcsin

sin45=arcsin22

-

arcsin

1

=15

，0222該結果正是例題2給出條件下玻璃磚上下表面的夾角，這也從一個側面說明我們推

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1sinq的正確性。

n得的公式a

=arcsin

-

arcsin

n跟原高考題目給出的問題相比，這一變式給出的一般情形下問題的求解，能夠更好

的利用數(shù)理結合的跨學科思維方式培養(yǎng)學生的科學推理能力。開拓思路創(chuàng)編新題

例題4.如圖6所示，半球狀玻璃磚球心為O，底面水平放置，OM是垂直于底面的直23線，玻璃的折射率為，ON

是過

O

點的另外一條直線，它與

OM

的夾角為a

，在兩條

3直線確定的平面內，光線AB以很小的入射角從空氣射向玻璃磚球面上的點B，保持入射

點位置不變，逐漸增大入射角，當角度增大到確定值時，折射入玻璃磚中的光線再射q向底面時剛好發(fā)生全反射，已知

C

是

A

在直線

OB

上的正投影，

AC

=1

，BC

=

2

。

（（1）求法線

ON

與直線

OM

夾角a

的大??；

/02）如圖

7所示，當入射光線

ED

對應法線

OP

與豎直線

OM

的夾角為a

=15

時，

/為使折射入玻璃中的光線再射向玻璃磚的底面使能夠發(fā)生全反射，入射角

多大（結果可用反三角函數(shù)表示）？q的最小值為

解析：（1）圖6中過光線AB的入射點B作球面的切線，交底面于S，如圖8所示，則DS

=DBOM

=a

，

由

已知條件可求

得

sinq

=

33

，則光線從

B

點由空氣入射時，相當于光線從兩側面為平面且夾角為

a的玻璃磚的一個側面由空氣入射的情形，運用

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例題2推導的公式可得：1sinq

na

=arcsin

-

arcsin

n3

-

arcsin

12=60

-

30

=30

。

000=arcsin

2（2）圖7中，對入射光線ED而言，要使折射光線再射到玻璃磚的底面時發(fā)生全反

射，必須滿足：/1sinq

n/a

=arcsin

-

arcsin

，n330/，即15

=arcsin2

-

arcsin(

2

×sinq

)

3/000所以arcsin(

×sinq

)

=60

-

15

=45

，23×sinq

=

22

，

/所以

2所以sinq

=

36

，

/所以q

=arcsin

36

。

/答：（1）法線ON與直線OM夾角

a的大小30°；（2）為使折射入玻璃中的光線再

的最小值為q

=arcsin

36

。//射向玻璃磚的底面使能夠發(fā)生全反射，入射角

q反思和建議：上面給出的原高考試題和對應變式的解答，能夠利用數(shù)理結合的跨學

科思維方式解決相關問題，從例

2到例3，體現(xiàn)了歸納推理的基本思想，從例3到例4，展現(xiàn)了演繹推理的思維方式，這些問題的解決可以提升學生的科學推理能力。老師要有

對此類高考題背后的數(shù)學規(guī)律挖掘的意識和行為，多帶領學生靈活使用數(shù)理結合的跨學科思維去深化對物理規(guī)律的認識，引導學生思考知識內部的關聯(lián)規(guī)律，提升學生深度分

[5]

析問題的能力。三、