10習(xí)和習(xí)題解答練習(xí) (1)111111；解：該級數(shù)一般項(xiàng)為un

(1)n1(2)a23

a35

a47

a5；9解：該級數(shù)一般項(xiàng)為un

an12n1(3)12

235

4；17解：該級數(shù)一般項(xiàng)為un

nn21(4)12

0

124 5

3.6解：該級數(shù)一般項(xiàng)為un

n2n1用定義判斷下列級數(shù)的收斂性：)n0

(1)n解：S2n

1111110，S 111111112n1顯然limSn

不存在，故原級數(shù)發(fā)散.) n1lnn1解：u

nn1

lnn ln n

n SnlimSn

，故原級數(shù)發(fā)散.)n1

9915n解：

991

9

111995 5n

99(11)n 5kk1

5kk1

115

4 5nlimSn

994

，故原級數(shù)收斂.)n0

(1)nxnn1

n1

1(x)n

1(x)n解： Sn

k

k0

(x)k1

1(x)

1xlim

1(x)n

x

1x時(shí)，所以當(dāng)

1

x

時(shí)原級數(shù)收n

n

1x

xx時(shí)斂，當(dāng) x1或)

x1時(shí)原級數(shù)發(fā)散.1n1

(2n解：u 1

1

1 n (2n1)(2n

2(2n1)

(2n1)2S 12

1

limS

1，故原級數(shù)收斂.n (2n1)

n n 2練習(xí)根據(jù)級數(shù)收斂的性質(zhì)判斷下列級數(shù)的斂散性：)

2n1；2n解：因?yàn)橥?xiàng)un故原級數(shù)發(fā)散.

2n1，不滿足通項(xiàng)極限為零的級數(shù)收斂的必要條件，2n)n1

n；6lim

limsinn

不存在，不滿足通項(xiàng)極限為零的級數(shù)收斂的必要條件，故n n原級數(shù)發(fā)散.

n6(3)n

n1;n;解：因?yàn)?limun n

limnn n

10，故原級數(shù)發(fā)散.n5) 1 n5n1解：因?yàn)?limun n

lim n5nn5

10，故原級數(shù)發(fā)散.)n1

3n2n;6n解：因?yàn)?/p>

3n2n

3n

2n

1

1n，而級數(shù)

1n和

1n

6nn1

n1

6n

6n

n

2

3

n1

2

n

3均為公比小于 1的幾何級數(shù)，都收斂，因此原級數(shù)收斂.)02nn1

1 ;2nn101解：因?yàn)榧墧?shù) n101

1收斂，在其前面加上 100項(xiàng)后的新級數(shù)仍然收斂.2n)(1 1)2nn1解：因?yàn)榧墧?shù) n1

1為發(fā)散調(diào)和級數(shù)，而級數(shù) 3nn1

1為收斂的幾何級數(shù)，收斂級數(shù)和發(fā)2n散級數(shù)之和發(fā)散.unn1

收斂，指出下列哪些級數(shù)是一定收斂的，哪些級數(shù)是發(fā)散的.)unn2

u );n1解：因?yàn)榧墧?shù) unn1

收斂，級數(shù) unn2n

和 n2

u 也收斂，因此原級數(shù)也收斂.n1)n1

un

(k為某一確定的自然數(shù))解：因?yàn)榧墧?shù) n

u 收斂，而級數(shù) nn1

u 相當(dāng)于級數(shù) nkn

u 去除前 k項(xiàng)后的新級數(shù)也n收斂.(3) 1unn解：因?yàn)榧墧?shù)

u 收斂，所以 lim

0，故

1，即級數(shù)

1發(fā)散.nn1

n n練習(xí)

nun

unn用比較判別法判別下列級數(shù)的斂散性： )

n；n1

2n1解：因?yàn)橥?xiàng) u

n

nn

1n，而級數(shù)

1n為收斂的幾何級數(shù)， n 2n1

2n

2

n1

2比較判別法，級數(shù) n n收斂.)n1

1 2n21

n

2n1解：因?yàn)橥?xiàng)

u 1 n 2n21

1，而級數(shù) n2n1

1為收斂的 p-級數(shù)，根據(jù)比較判別法，n2級數(shù) n1

12n21

收斂.n(n)n(nn1n(n2)解：因?yàn)橥╪(n2)n

1

1n

，而級數(shù) n1

1n

相當(dāng)于發(fā)散調(diào)和(n2)2級(n2)2n3

1，比較判別法，級數(shù) 1n(nn(nn1

發(fā)散.)n1

1na

(a0,b0)；解：因?yàn)橥?xiàng)un

1na

1n(a

n1

1因此級數(shù)nn1

1 也n(ab)發(fā)散，根據(jù)比較判別法，原級數(shù)n1

1na

也發(fā)散.)n1

10n ；3n31解：令un

10n ，v3n31 10n

1數(shù) 1n2 n2n0

為收斂的p-級數(shù)，而lim

un

3n31

10n3 10，根據(jù)比較判別法的極限形式，可知原級數(shù)nvn

n1n2

n3n31 3n1

10n3n31)n1

也收斂.1 ；n2n1解：令un

1 ，vn2n1 1

1數(shù) 1n2 n2n0

為收斂的p-級數(shù)，而lim nvn收斂.

limn

n2n11n2

1n1

1 也n2n1)n1

n1 ；n22n1解：令un

n1 ，vn22n1 n1

1n3/2

，顯然參照級數(shù)n3/2n3/2n1

1n3/2

為收斂的p-級數(shù)，而m nvn

mn

n22n11n3/2

n

n22n1

1，根據(jù)比較判別法的極限形式，可知原級數(shù)n1

n1n22n1

也收斂.(8)n

n .n41解：因?yàn)橥?xiàng) u n

1nn41nn41nn4

，參照級數(shù) n0

1n3/2

為收斂的 p-級數(shù)，根據(jù)nn41比較判別法，原級nn41n1

也收斂.判別法或根值判別法判別下列級數(shù)的斂散性：)n1

n

；2n1u

(n解 ： 因

limn

nun

limn

1n1

2n2n1

2

， 根 據(jù) 比 值 判 別 法 ， 原 級 數(shù)n

n

收斂.2n1(2)n

3n ；n2n解：因?yàn)?n

nun nnu

31，根據(jù)根值判別法，原級數(shù) n3nn3nnn

3nn

發(fā)散.n) 1；nnn1解：因?yàn)?limnun n

n

lim11nnnn1nnn

01，根據(jù)根值判別法，原級數(shù) n

1收斂.nnn1n2 )n

n ；3n

nn1n2nn3n

1n解：因?yàn)?limnun nn1n2

limn

limn

n 3

e1，根據(jù)根值判別法，原級3數(shù) n

n 3n

收斂.(5)nunnnun

n21) ；1n解：因?yàn)?/p>

lim

1

11，根據(jù)根值判別法，原級數(shù)n

(11)1n1

nn2收斂.

limn

lim1 1n2n11n2n1nn(6)

n

1n)n.nun解：因nun

lim

lim

01，根據(jù)根值判別法，原級nlnl1n)n1

n1

收斂.

n

nn)n

1n)n3.判別下列級數(shù)的斂散性，若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂：)n

(1)n；2n1解：該級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù)，令un

12n1

，由于un

1 2n1

12(n1

u ，且n1lim

lim 1

0

u 級數(shù)，因原級數(shù)

(1)n

條件收斂.n n

n2n1

nn0

n

2n1)n

(1)n1nn；(n1)n解：lim

nnlim

lim

n lim1

1

10，不滿足級數(shù)n n

n(n

nn1

n

n1 e收斂，因原級數(shù) n

(1)nnn(n1)n

發(fā)散.(3)

n

n；2n解：級數(shù)為級數(shù)，級數(shù) n1

n收斂，因此該級數(shù)絕對收斂.2n(4)

1 ；cos；n 4n1解：令 un

1 n n 4

，由于un

n11n4

1 ，而級數(shù) 1n n0

是收斂的 p-級數(shù)，根據(jù)比較判別法級數(shù)

u 收斂，因此原級數(shù)

1 cos

絕對收斂.)n1

(1)n1.np

nn0

n 4n1解：該級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù)，令

1 ，根據(jù) p-級數(shù)的收斂性質(zhì)，我們知道， p1時(shí)，n np 1npn0

收 斂 ， 因 此 原 級

n1

(1)n1np

絕 對 收 斂

0p1

時(shí) ， 1npn0

發(fā) 散 ，u n1

1(n

1 u，且np n

limun

0，根據(jù)萊布尼茨判別法，原級數(shù) n1

(1)n1np

收斂，且為條件收斂； p0時(shí)，

1 單調(diào)遞增， lim

，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù) n1

(1)n1np

發(fā)散.

n np

n n練習(xí)

n1

ln(nn1

xn1;解：令

ln(n

alim

limln(n

n1

1，收斂半徑

1，收斂n n

nan

n

ln(n1)區(qū)間為

()，當(dāng)x1時(shí)，級數(shù)

lnn)發(fā)散，當(dāng)x1時(shí)，級數(shù) n1n1

ln(n( n1收斂，所以原級數(shù)的收斂域?yàn)?/p>

[1,1).)n1

(2x)n;n!解：令

2n

，m

2n1

2 0，所以收斂半徑R，n

(n1)!2n

n1an1an原級數(shù)的收斂域?yàn)?an1an(3)n1

(nx)n;

an1an(nan1an

(n1)n解：令 a nnn

m

mnn

m

(n1，所以收斂半徑nn為R0，原級數(shù)只在x0處收斂.)n1

n1

n)2nx2n;解 ：

a ( n1n1

n)2n，

tx

， 原關(guān)于

x2的冪級數(shù)化為關(guān)于t的冪級數(shù)n1n1n1

n)2ntn，lim

liman1an1an( n2 n1)2n1( n1 n)2nn1 nnn1 nn2 n1n

2，n1n1n1

n)2nt22

收斂半徑 R1nn1

1，222

2n

n)2nx2nn1n1n1

的收斂半徑為R ，22 22當(dāng)x2

，22

(n122

n)2n 2

(n1

n，，數(shù)的收斂域?yàn)?/p>

, .2 2(5)

2n(xn

1)n解：設(shè)y

x1

a 2nn n

，

1y的冪級數(shù).m

mnan2nan2nnn

2,冪級數(shù)

2 yn的收斂半徑Rnnn

1 ，收斂區(qū)間為2

1 1, 2 2因此冪級數(shù)

2(x1)n的收斂半徑也為 Rnnn

1 1，收斂區(qū)間為 2 2

3，當(dāng) x2

1時(shí)，級數(shù)22nn1

(1)n2

1收斂，當(dāng) xn

3時(shí)，級數(shù)2

2nn1

(1)n2

nn1

發(fā)散，因此，冪級數(shù) 2n(x)的收斂域?yàn)?1,3.nnn1

2 23的結(jié)果，求級數(shù) n0

2n1(n

的和.解：根據(jù)例

n0

xnnex,x(,).n!n0

2n1 (n1)!

2nn1

2nn0

1e21.n0

x2n12n1

的和函數(shù)，并求級數(shù) n0

1 12n122n1

的和.解：設(shè) S()n0

x2n12n1

，兩邊同時(shí)對 x求導(dǎo)，得 S(x)

x2n1

x2n1

x2n

1

1

x1n0

2n1

n0

2n1

n0

1x2兩邊同時(shí)在[0,x]上積分，得xS()dx0

x 1 x01x2S(x)S(0)

12

1x，S(00，得1xS(x)

12

1x1x

1

x1，即n0

x2n12n1

12

1x1x

1

x1

1

1 12n1

1 1

112

1ln3. S( ) 1n0

2n122n1

n0

2n12

2 2 1 22練習(xí)寫出下列函數(shù)的n階麥克勞林公式：(1)

f(x)ln解：f(x)

11x

f(x)

1

，,

f(k)(x)(1)k

(k1)!，k，(1x)k

2,3,，f(0)0

f(0)1，

f(k)(0)(1)k(k1)!，

2,3,f(x)ln

nk

f(k)(0)xkxk!

R(x)nnk1

(1)k

1k

(1)n(n)n1

xn1

在0

x之間，x(2)f(x)(1x).解：

1時(shí)，f(x)(1，

f()-1-2，f(0)1，f(k)()k)1kf(k)()k)，f(x)

nk

f(k)(0)xkxk!

R(x)n1x

(1)2!

x2

(1)(n1)n!

xnRn

(x)其中Rn

(x)

(1)(x)n1

xn1

0

1.x的冪級數(shù)，并求收斂域：(1)

f(x)

xx2e2；解：由于ex

1

xx2

xn,n!

xx所以 ex

1x2

x2222!

xn2n

,xf(x)

xx2e2

x2x2

x2222!

xn2n

x2

x32

x4222!

xn22nn!(2)

f(x)

n0x；2

xn22nn!

,x解:f(x)cos2x2

1x2

12

1x2由于 cosxn0

(1)nx2n(2n)!

,xf(x)

11cosx

11

(1)nx2n

,x2 2

2n0

(2n)!(3)

f(x)ln(x11x2

). 2x 1 1x 1x 1

12 12 1(1)

1211x2(1)(n1) 根 據(jù)1可知

1x

x2 xn

,1

x1,(1)(3)

(1)(3)(5)(2n1)1f()11

1

1x22

2 2 2 2 2

2 x2n1

1x22

13222!

135(2n1)4n 2n 2nn!1

135(2n1)n x2n

1

x1兩邊在[0,x]上積分

）n1

，2nn!f(x)

f(0)

x

135(2n n x2n1

1

x1）2nn!(2n1)n1由于 f(0)0，所以

f(x)ln(x

)x n

(2n1)!!

x2n1，1

x11x1x2(2n)!!(2n將函數(shù)

f(x)

x展開成 x1的冪級數(shù)

n1解：對

f(x求導(dǎo)，得

f(x)1x

11(x1)由于 11

1xx2(1)nxn

n0

(1)nxn

1

x1所以 f(x)

11(x1)

n

(x1)n

1

x11上式兩邊在區(qū)間[1,x]上積分，得f(x)

f

n

(x1)n1n1

1

x11由于 f

，因此

f(x)

xn1

(x1)nn

0x12.利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值：e(1) （0.001）e解：根據(jù)ex

n xkk!k0

R(x)n

R(x)n

e(n1)!

1，在0x之間1 1

1n1x 時(shí)，只要 R( )

103，即只要2 n2

(n1)!21

1n1 2 1n1R( )

103n2 (n1)!2 (n1)!2n4

2 141 1當(dāng) 時(shí)，

103，所以展開的5得到滿足精度的近似值：

(41)!2

5!24e1

11

11112

1 13

1 14

1.6482 k0

k!2

2 22

322

4322(2)5250）525052437525052437

7 155757 根據(jù)1

1

(1)2!

x2

(1)(n

xnRn

(x)

,1

x1取15

x 7 ，243

1(1 1 1(1)((1)()n5n!

1)(5 5

2)

( 5

1n1R( )

5

0.001n5 5 5當(dāng) n3

R( )

1n10.000220.003 1(115 5)(11(115 5)(12)(1n)5511(11)

55551(11)(12)5551

7 )111 7

5 5

7 2

7

1.005752435

5

5250 5250

7 15

31.00573.017 243(3)ln3（精確到 解： ln3ln(e(3

ln3e)13e)根據(jù)

n(1)n(1)n(n)n1

1k

e (n)n

xn1

e在 0

x之間

x3e

1 3en1

n3取 x e ，

xn11 3en1

(n e ， 當(dāng) 時(shí) ，(1)n(n(1)n(n1)(1)n1

(n1) e

，取3得到近似值：

3e 3

13ek

3e

13e2

13e3ln31

e )1

k

kk

1e

e 2

e 3e

1.0986ee)co1（精確到 1）；解： 。

習(xí)題 十選擇題：（）若級數(shù) ann1

收斂，則（ ）；.級數(shù) (ann1

a )收斂 級數(shù) a 收斂n1 2nn1C級數(shù) n1

aa 收斂 級數(shù) n n1n

(1)na收斂n答案：A，，，，（（）若級數(shù) n1

v 收斂，且 un

v(n,,)，則 n

u 必定（ ）；nA.收斂 B.發(fā)散C.可能收斂可能發(fā)散 以上都不答案：C（

limun

0是級數(shù)

u 發(fā)散的（ ）；nA.件 必要條件充要條件 既非充分也非必要條件答案：A（）lim

a，則 u

)（ ）；n n

nn1

n1A.收斂于0 B.收斂于a 收斂于u 1

發(fā)散答案：C（）若級數(shù) n1

a， nn1

b均發(fā)散，則（ ）；nA.(ann1

b)發(fā)散 .ab 發(fā)散n nnn1C.(ann1

b )發(fā)散 .nn1

(an

b2發(fā)散n答案： C（）若級數(shù) unn1

收斂，則必有（ ）； unn1

收斂 . 收斂unnun. limn

1. 1發(fā)散uunuunnnn答案：D（）級數(shù) unn1

收斂是級數(shù) unn1n

收斂的（ ）；A.必要條件 充分條件 充要條件 無關(guān)條件答案：B（）設(shè) unn1

為正項(xiàng)級數(shù)，則（ ）；A.若

u 0，則 nn

u 收斂 .若 nn1n

u 收斂，則 u2收斂nnn1nn.若 unn1

收斂，則 n

u 收斂 .nn1n

u u與n n與n1

的斂散性互不相關(guān)答案：B（）設(shè)對n

,總有不等式a n n

成立，則（ ）；nann1

c，n，n1

收斂，則必有 b 收斂nn1n若 ann1

c，n，n1

發(fā)散，必有 b 發(fā)散nn1nann1

bnn1

cnn1以上結(jié)論均不成立答案：A（0若正項(xiàng)級數(shù)n1k

u 為S（ ；nku （本選項(xiàng)原題有誤）nn1

u 和2n1n

n1u 都收斂2nunn1

un

收斂，且unn1

un

)2Su1n1

uun n

可能收斂，可能發(fā)散答案：Dnn1（1數(shù)nn1nnnn1n1n2

（ ；A．它是p級數(shù)，且

p11B.limun

lim 1n nun

nnn1C.nn1n

1，通項(xiàng)u0.以上都不對n答案：C設(shè)a為常數(shù)，則級數(shù)

a

1 （ ；n n2n n 2C.發(fā)散 a的值答案：C設(shè)0an

1(nn

,, )（ ；anann1答案： n1

a C.a2n nn1

. 1an1 n（4）若級數(shù) n1

(1)nnp

（ p為實(shí)數(shù)）條件收斂，則有（ ）.p2

p1

p0

D.0p1答案： D（5）若冪級數(shù) n1

axn在n

xx0

處發(fā)散，則該級數(shù)的收斂半徑（ ）；Rx0

Rx0

Rx0

Rx0答案： D（6）對于冪級數(shù) n1x0是它的收斂點(diǎn)

axnn

，下列敘述不正確的是（ ）；anan1Ranan1n答案：D（7）若級數(shù) n1

a(x1)nn

x1時(shí)收斂，則級數(shù)在 x

2時(shí)（ ）；A.條件收斂答案：B（8）若級數(shù)

n1

(1)n1

(xa)nn

x

時(shí)

x

處收斂，則常數(shù)

a（ ）；A.1 B.1 C.2 2答案： B（9）級數(shù)

(1)n1

(x1)nn

的和函數(shù)是（ ）；A.ex1B.ln(x

ln(x

lnx答案：D（0）已知級數(shù) n0

1e，則 n!n1

n1（ ）.n!A.eB.

4e1

4e答案： C填空題：（）若冪級數(shù) unn1

的部分和序列為 Sn

2nn1

，則 u n

unn1

；答案：

2 ， 2n(n1)（）若級數(shù) unn1

S，則級數(shù) n1

(u un

)；答案： 2Su1（）若級數(shù) n1

nn

a收斂，則 a的取值范圍為 ；答案： a0（）冪級數(shù) n1

n1的收斂域?yàn)?；xn答案：

x(（）若冪級數(shù) n0

an2n(a)在實(shí)軸收斂，則 a ；答案： 0a1（

n1

(0.1)nn

；答案： ln0.91 1 1

n 1 （

xx2 x6 1 x4n2dx.3! 5! 2n1!0答案： 12題：（1）如 mun n答案：錯(cuò)

0，則級數(shù) unn1

收斂； （ ）（2）若級數(shù) unn1

發(fā)散，則級數(shù) 1un1 n

收斂； （ ）答案：錯(cuò)（）如級數(shù) (a b)收斂，由級數(shù)

收斂，必推得級數(shù)

收斂； （ ）n nn1答案：對

nn1

nn1（）(

b)

； （ ）n nn1

nn1

nn1答案：錯(cuò)（5）若對 n,,，總有式

b，則如級數(shù)

發(fā)散，

也發(fā)散；n n n1

nn1（ ）答案：錯(cuò)（6）若級數(shù) unn1

中加括號后發(fā)散，則原級數(shù)必發(fā)散； （ ）答案：對（）若級數(shù)

u收斂，則必有

1； （ ）nn1

nun答案：錯(cuò)（）若級數(shù) n1

收斂，則n

unn1

k)也收斂，其中 k為一個(gè)非零常數(shù)； （ ）答案：錯(cuò)（）由展開式

x

(1)nx2n1

，有

( 3)2n1

；3n03

2n1

n0

2n1 3（ ）答案：錯(cuò)（10）若 unn1

為收斂的正項(xiàng)級數(shù)， vnn1

為正項(xiàng)級數(shù)，且unvnn1 n

l，則當(dāng)l1時(shí)，級 數(shù)（ ）答案：錯(cuò)

vnn1

發(fā) 散 ；（1）

發(fā)散正項(xiàng)必有un1

1； （ ）nn1答案：錯(cuò)

nun（2）若級數(shù) unn1

收斂，則級數(shù) unn1

收斂； （ ）答案：對（3）若級數(shù) unn1

，則級數(shù) unn1

發(fā)散； （ ）答案：對（）若級數(shù) unn1

unun1

1，則級數(shù)收斂； （ ）答案：錯(cuò)（5）若對任意項(xiàng)級數(shù) unn1

，總有

1，則該級數(shù)發(fā)散； （ ）unuunun1（6）若對 n

，總有不等式

b，則必有

； （ ）答案：錯(cuò)

n nn1

n nn1（7）若

a1，則級數(shù) a

有相同的斂散性. （ ）nnbnn

nn1

nn1答案：錯(cuò)4.根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義判別下列級數(shù)的斂散性：（

n1

n2；

n(n1)(2n解： Sn

22

n2 6

lim Sn

，所以原級數(shù)發(fā)散.(2)24816；3 9 27 812 2n1 2n

3 3

2n解：

,S

21

,lim

2，原級數(shù)收斂，且收斂n于2.(3)

3 n1 .

123

3

n nn0

n25n6解： un

n2

15n

1 (n2)(n

1 n2

1n3Suun 1 2

un1

11

1 1 1 3 4

4 5

n2

n313

1n3

(n)原級數(shù)收斂，且收斂于 3.nS n1，寫出這個(gè)級數(shù).nn解：由 Sn

n1，可知 u

S n

n1

n1n

nn1

1n(n

，顯然此時(shí)

1，nn不難知道 unn1

S2，因此該級數(shù)為 21n2

1 .n(n1)判別級數(shù)斂：（）n

n32n5 ；(2n1)(2n1)(2n解：本級數(shù)通項(xiàng)un

n32n5(2n1)(2n1)(2n

n數(shù)3，顯然limunn

10，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，因此原級數(shù)發(fā)散.8（）n

3nn ；(1n)n解：本級數(shù)通項(xiàng)u

3nn

n

1

30，

n)n (1n)n

1n

1n e不滿足級數(shù)收斂的必要條件，因此原級數(shù)發(fā)散.（）n

(2)n13n2；6n解：

(2)n3n2

(2)n1

3n2

1

1n

1n

(1)n1

9 6nn1

6nn1

6nn1

6n1

3

n1

2顯然級數(shù) (

1n和n1和

1n都是公比的絕對值小于 1的幾何級數(shù)，均收斂， n31因此原級數(shù)收斂.31

3

n

2（）unn1

50

4713； 解：幾何級數(shù) n

1

1

的公比 滿足 11，該級數(shù)收斂，在該級數(shù)前加上3項(xiàng)

47后得到的新級數(shù)也收斂，即原級數(shù)收斂.n（） nn1

0.001；n0.001解： n時(shí)，該級數(shù)的通項(xiàng) un0.001n級數(shù)發(fā)散.

1，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，故該（

n1

an

(0ab,bbn

a

sin解 ： 該 級數(shù) 通

uan

an

bn

bn ， 由

b1，n bn

bn bn

b bnlim

0

，因此

an.nbn

bn bn

n b因?yàn)?0ab，幾何級數(shù)

a

收斂，因此原級數(shù)收斂. n

b用比較判別法判別下列級數(shù)的斂散性：（） n

；2n解：由于

，而

是收斂的幾何級數(shù)，根據(jù)比較判別法，級數(shù)

sin收斂.（） n1解：由于

2n 2n1 ；n2a21 1

2nn1，而 p—級數(shù)

2nn收斂，根據(jù)比較判別法，級數(shù) 1 收n2a2 n2斂.

n2n

n

n2a21n2（） 1n2n11n2121n212nn2

1

11

，而調(diào)和級數(shù) n1

11

發(fā)散，根n)21n2據(jù)比較判別法n)21n2n1

發(fā)散.（） n2

1 ；(lnn)n解：當(dāng)

9時(shí)，ln

lne22

1 (lnn)n

1，而幾何 12n 2nn10

收斂，根據(jù)比較判別法，級數(shù) n10

1(lnn)n

也收斂，因此原級數(shù) n2

1(lnn)n

也收斂.（

1s1； n

n1cos1n解：由于 limn

n1

，而 p—級數(shù)

1收斂，根據(jù)比較判別法的極限形式，n 1 2n2

2n1級數(shù)

1cos1收斂. nn nnn（） nnnn11nnn解：由于 lim 1，而調(diào)和級數(shù) nnn

1發(fā)散，根據(jù)比較判別法的極限形式，級數(shù) n1

n 1nnnnnn

n1n判別法或根值判別法判別下列級數(shù)的斂散性：（） n1

2n ；3lnn解：本級數(shù)應(yīng)該用根值判別法判別其斂散性.limn

nunnun

2nn2nn3lnn

2ln3n

21,由根值判別法，級數(shù) n1n

2n 發(fā)散.3lnn（） n1

ncos22n

3 ；nnn

n1，n v 1，解：該級數(shù)通項(xiàng) u n

3 2n 2n

，令v n 2n

n

n1vn

limnn

2n1n2n

12根值判別法，級數(shù) n1，由判別法，級數(shù) nn1

ncos22n

3 收斂.（解：

1313 (2nn!ulim

lim

；(2n(n1)!

m2n121，由值判別法，級數(shù)發(fā)散.nun

n

(2nn!

n

n1（） n1

(n)!10n

(n2)!n1解： limun1

lim

10n1

limn2

，由比值判別法，原級數(shù)發(fā)散.nun

n

(n1)!10n

n 10（

n n；n1

2n1nun 解：由根值判別nun

lim

11，級數(shù)（） n1

；nn

n

n2n1 2(n1)!n1解：由比值判別法， limun1

lim

(n1)n1

lim nn

11，原級數(shù)收斂.nun

n nn

n(n1)n e（） n

n2；2n解由根值判別法， mn

mnunnnun

11，原級數(shù)收斂.nnnn2（） (b)ann

（其中 an

a(n

),an

,a,b0）且 a

b）；解由根值判別法，

b bnunm nunn

na an當(dāng) ab時(shí)， limn當(dāng) ab時(shí)， limn

b1，原級數(shù)收斂；nunnunnunb1，原級數(shù)發(fā)散nuna（） n

(n1)!.nn

(n2)!解：由比值判別法，

un

(n1)n

n

nn

11，原級數(shù)nun

n

n1)!nn1

n

n1

(n1)n1 e收斂.判定級數(shù)斂散：（） n

n；3n1解：由比值判別法， mn

unun

mn

n13nn1n3nn

mn

11，原級數(shù)收斂.n1n13 n（

nen2； ； 解：由級數(shù) n

1發(fā)散，級數(shù) nn1

en

收斂，所以原級數(shù)發(fā)散.（）

n3 ；n1

2n2n1解：設(shè) u

n

，v 1，由于

un

n32n2n

n21，n 2n2

n1 n n

nvn

n1n

2n2n1 2n而調(diào)和級數(shù)

v發(fā)散，根據(jù)比較判別法的極限形式，原級數(shù)

n3

也發(fā)散.nn0

n1

2n

n1（） 解：

(n!)2(2n)!u

((n1)!)2

(2n)!

(n1)2

1 ，根據(jù)比值判別m

un

m

(2(n1))!

(n!)2

mn(2n2)(2n

14法，原級數(shù)

(n!)2(2n)!

收斂.（） n1

(e)n；nnun解： nun

e01，根據(jù)根值判別法，原級數(shù)

(e)n

收斂.（

nn1

nn31

n31 ；

nn12 1n31n31解：該級數(shù)通項(xiàng) n31n31n

，令 vn3n31 n31

，顯然級數(shù)3n2n

v是收斂的 p—級數(shù)，又nm unm

3n3n31n31n13nvn

nn3n31根據(jù)比較判別法的極限形式，原級數(shù)

n1

收斂.(bn)nn（）(bn)nnn1解：令 1 1

u n ，u ，

，顯然調(diào)和

v發(fā)散，而

m

nm 1(bn(bn)nn(bn)nn

nn1

nvn

n(bn)nn根據(jù)比較判別法的極限形式，原級(bn)nnn1

也發(fā)散.（

n1n ；1nnn1n n 解：該級數(shù)通項(xiàng) u n

n1nn n1n

nn 11n1

nn11,11

(n)，不滿足n

1

1n2n n

n1

n2

1

n2 級數(shù)的，原級數(shù)

n1

發(fā)散.（

n1

1()n1

sin1nn

n1n n n；記

1(1)2n

12n1

11

n

令

2，于u v，n 2n1

n2 1n

n n2 n nsin1級數(shù) n1

v，根據(jù)比較判別法，原級數(shù) nn1

1()n1

n也收斂.n（0）

1

n；n1

n2 4解解： 1n2

1，級數(shù) n4nn4n1

1，根據(jù)比較判別法， 級數(shù) n2n1

1也n4nn4，原級數(shù)

1

n也收斂，（并且是絕對收斂）.（

n122

n2 42 22 2 22 2 22 2 2 2；22 2 2 22 2 2 2 2，0 n222 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2n4422 2222222n12n12 2 2 2 2n12n122 2 222 222 202有u 021 u02212u 12222 u0222 u0233n12 n12 u02nn而級數(shù) u是收斂的幾何級數(shù)，根據(jù)比較判別法，原級數(shù) 0nn

u 也收斂.n0 2

nn0x2)xn)

(x0).xn：u

xn xn n x2)xn)

nx

nx(1xn)1x

xn1

(n1)xnx1， u

xn1

1，

(n

，此時(shí)原級數(shù)發(fā)散；n xn1

(n1)xnx1時(shí)，

1 ，此時(shí)原級數(shù)也發(fā)散；n 0x1時(shí)，u

2

1(n1)x

xn2(n1)x2nxn

nun

n

xn2nx(n1)

1

n

xn2nx(n