第八章壓桿的屈曲失效和穩(wěn)定條件第一節(jié)壓桿的屈曲失效第二節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念及臨界力計算第三節(jié)壓桿穩(wěn)定的條件和計算方法第四節(jié)提高壓桿穩(wěn)定性的措施每章一練教學(xué)目標1.掌握屈曲失效和壓桿穩(wěn)定的概念。2.掌握壓桿穩(wěn)定的條件和計算。3.掌握提高壓桿穩(wěn)定性的措施。4.熟悉壓桿穩(wěn)定的條件，了解壓桿的分類。第一節(jié)壓桿的屈曲失效一、壓桿的屈曲失效1、屈曲失效的定義在前面已經(jīng)知道工件在受到超過承載能力的力作用時會產(chǎn)生強度或剛度失效。然而，在實際中我們會發(fā)現(xiàn)一些工件在很小的壓力下就發(fā)生失效。例如，如圖8-1所示的兩根矩形截面的松術(shù)直桿，它們的底面積均為A=50mm×7mm，長度分別為30mm與1000mm，強度極限σh=40MPa。按強度考慮，兩桿的極限承載能力應(yīng)為:P=σb×A=(40×50×7)=14000N但是，當給兩桿緩緩施加壓力時，長度為30mm的桿可承受接近14000N的壓力，并且在破壞前一直保持著直線形狀。下一頁返回第一節(jié)壓桿的屈曲失效而長度為1000mm的桿，壓力只加到約800N時，就開始變彎，如繼續(xù)增大壓力，則桿因為彎曲變形急劇加大而折斷。屈曲失效:喪失工作能力不是強度不夠，而是由于其軸線不能維持原有直線形狀的平衡狀態(tài)所致。我們把桿突然發(fā)生顯著變形改變平衡形式而失去承載能力的現(xiàn)象，稱為屈曲失效(也叫失穩(wěn))。2、不同受壓桿件的屈曲失效如圖8-2所示，屈曲失效由于其失效的突然性破壞能力很強。

?受軸向壓力的細長桿，當壓力超過一定數(shù)值時，壓桿會由原來的直線平衡形式突然變彎，致使結(jié)構(gòu)喪失承載能力，如圖8-2(a)所示;下一頁上一頁返回第一節(jié)壓桿的屈曲失效

?狹長截面梁在橫向載荷作用下，將發(fā)生平面彎曲，但當載荷超過一定數(shù)值時，梁的平衡形式將突然變?yōu)閺澢团まD(zhuǎn)，如圖8-2(b)所示;

?受均勻壓力的薄圓環(huán)，當壓力超過一定數(shù)值時，圓環(huán)將不能保持圓對稱的平衡形式，而突然變?yōu)榉菆A對稱的平衡形式，如圖8-2(c)所示;

?還有工程中的柱、析架中的壓桿、薄殼結(jié)構(gòu)及薄壁容器等，在有壓力存在時，都可能發(fā)生屈曲失效。下一頁上一頁返回第一節(jié)壓桿的屈曲失效二、三類壓桿不同的屈曲失效形根據(jù)不同的屈曲失效形式，受壓桿件可以分為三種類型:細長桿、中長桿和短粗桿。三類壓桿的臨界狀態(tài)各不相同，如圖8-3所示。1、細長桿桿的橫截面直徑遠小于桿的長度。它發(fā)生彈性屈曲，即當載荷除去后，桿仍能由彎曲平衡構(gòu)形回復(fù)到初始直線平衡構(gòu)形。細長桿承受壓縮載荷時，載荷與側(cè)向屈曲位移之間的關(guān)系如圖8-3(a)所示。這類桿在實際應(yīng)用中主要是發(fā)生屈曲失效，即失穩(wěn)。下一頁上一頁返回第一節(jié)壓桿的屈曲失效2、中長桿桿的橫截面直徑比桿的長度小，但是相差的倍數(shù)不是很大。它發(fā)生彈塑性屈曲，也會發(fā)生屈曲，但不再是彈性的，這是因為這時壓桿上的某些部分已經(jīng)出現(xiàn)塑性變形。中長桿承受壓縮載荷時，載荷與側(cè)向屈曲位移之間的關(guān)系如圖8-3(b)所示。這類桿在實際中應(yīng)用最多，它通常是發(fā)生屈曲失效，但有時也可能由于強度失效而產(chǎn)生破壞。3、短粗桿它不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服。短粗桿承受壓縮載荷時，載荷與軸向變形的關(guān)系曲線如圖8-3(c)所示。這類桿沒有被下一頁上一頁返回第一節(jié)壓桿的屈曲失效

充分利用，且屬于脆性破壞。因此，在實際應(yīng)用中主要考慮它的強度失效。各種桿只有在受到壓力作用時才按上面講的理論分析。當處于別的力作用下時，則要按照強度或剛度失效來分析。更復(fù)雜的情況則是受到兒種力的共同作用(這也是實際中最常見的情況)時，要根據(jù)實際情況分先后考慮各種失效。上一頁返回第二節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念及臨界力計算一、壓桿穩(wěn)定的概念1、穩(wěn)定的概念“穩(wěn)定”和“不穩(wěn)定”是就物體的平衡性質(zhì)而言。

?圖8-4(a)所示小球，在自重FP和曲面反力FR作用下，在下凹曲面的最低點A處處于靜止平衡狀態(tài)，若給小球一個干擾力，使其離開平衡位置，則它在重力和曲面反力的合力作用下，小球會恢復(fù)到原來的靜止位置。這表明小球在A點處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)。

?在圖8-4(b)中，小球在光滑平面上，若不計摩擦，則小球可以在任意位置上處于靜止平衡狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為臨界平衡。下一頁返回第二節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念及臨界力計算

?在圖8-4(c)中，小球在A點處于靜止平衡狀態(tài)，若再給小球一個干擾力，則小球離開平衡位置，在重力和曲面反力的合力作用下，將不再回到原來的平衡位置。因此，在圖8-4(b)和圖8-4(c)中，小球處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。2、壓桿穩(wěn)定及其臨界載荷受壓桿同樣存在上面所說的平衡性質(zhì)問題。為了研究細長壓桿的失穩(wěn)過程，取一根細長直桿，如圖8-5所示，在其兩端施加軸向壓力F，使桿在直線形狀下處于平衡。此時，如果給桿以微小的側(cè)向干擾力，使桿發(fā)生微小的彎曲，然后撤去干擾力，則當桿承受的軸向壓力，數(shù)值不同時，其結(jié)果也截下一頁上一頁返回第二節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念及臨界力計算

然不同。

?如圖8-5(a)和圖8-5(b)所示，當桿承受的軸向壓力數(shù)值F小于某一臨界數(shù)值(Fcr)時，在撤去干擾力以后，桿能自動恢復(fù)到原有的直線平衡狀態(tài)而保持平衡，這種原有的直線平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)。

?當桿承受的軸向壓力F數(shù)值逐漸增大到(甚至超過)某一臨界數(shù)值(Fcr)時，如圖8-5(c)和圖8-5(d)所示，撤去干擾力，桿不能自動恢復(fù)到原有的直線平衡狀態(tài)仍然處于微彎形狀，則原有的直線平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。如果壓力F繼續(xù)增大，則桿繼續(xù)彎曲，將產(chǎn)生顯著變形，甚至發(fā)生突然破壞。下一頁上一頁返回第二節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念及臨界力計算上述試驗表明，在軸向壓力F由小逐漸增大的過程中，壓桿由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為壓桿失穩(wěn)。顯然壓桿是否失穩(wěn)由軸向壓力的數(shù)值決定，我們把使中心受壓直桿的直線平衡形式，由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡時所受的軸向壓力，稱為臨界載荷，或簡稱為臨界力，用Fcr表示。

?當壓桿所受的軸向壓力F小于Fcr時，桿件就能夠保持穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這種性能稱為壓桿具有穩(wěn)定性;?而當壓桿所受的軸向壓力F等于或者大于Fcr時，桿件就不再保持穩(wěn)定平衡狀態(tài)而失穩(wěn)下一頁上一頁返回第二節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念及臨界力計算二、三類壓桿的臨界力1、細長桿的臨界力

(1)細長桿的臨界力的計算細長桿在受到壓力時，發(fā)生彈性屈曲，當載荷除去后，桿仍能由彎形平衡構(gòu)形回復(fù)到初始直線平衡狀態(tài)。許多科學(xué)家經(jīng)過很多實驗和數(shù)據(jù)分析，提出了很多的計算公式，但通過實際應(yīng)用中的反復(fù)檢驗和選擇，人們慢慢認同了歐拉公式。它是瑞典科學(xué)家歐拉假設(shè)兩端鉸支，長度為L的細長桿，在軸向壓力Fcr的作用下保持微彎平衡狀態(tài)的實驗條件下推導(dǎo)出來的公式(圖8-6)。歐拉公式的表達式如下:(8-1)下一頁上一頁返回第二節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念及臨界力計算式中，F(xiàn)cr為壓桿的臨界力，N;E為材料的彈性模量，MPa;I為截面的慣性矩mm2，μ為不同約束條件下壓桿的長度系數(shù);l為桿件的長度，mm。

從公式(8-1)中，可以看出細長壓桿的臨界力Fcr與材料的彈性模量E和桿的截面的慣性矩I成正比。一般都把EI合起來稱作桿的剛度，即壓桿的臨界力與桿的剛度成正比。當壓桿的剛度越大時，壓桿的臨界力越大，壓桿穩(wěn)定性好。其中彈性模量由材料決定;截面的慣性矩取數(shù)值較小的那個軸的慣性矩。

(2)不同約束的長度系數(shù)壓桿的長度系數(shù)拜決定于壓桿桿端的約束情況，相同的桿，在不同的約束情況下有不同的長度下一頁上一頁返回第二節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念及臨界力計算

系數(shù)，從而使桿具有不同的臨界力。人們通過理論分析和實際檢驗得出了不同約束條件下壓桿的長度系數(shù)，如表8-1所示。從表8-1中可以看到，兩端固定的壓桿長度系數(shù)最小，壓桿最穩(wěn)定。一端固定，另一端鉸支的壓桿次之。兩端鉸支的壓桿穩(wěn)定性又差點，并且它的長度系數(shù)剛好是兩端固定桿的兩倍，相同條件下的臨界力是兩端固定桿的一半，也就是說，它的穩(wěn)定性相當于兩端固定桿的一半。其中長度系數(shù)最大的是一端固定，另一端自由的壓桿，它的穩(wěn)定性最差，只相當于兩端鉸支桿的一半，兩端固定桿的1/40。下一頁上一頁返回第二節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念及臨界力計算例8-1如圖8-7所示的細長方形壓桿，兩端為鉸支，材料的彈性模量E=210GPa，試求此壓桿的臨界力。下一頁上一頁返回第二節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念及臨界力計算解：先分析下桿的矩形截面的慣性矩，知道小的慣性矩為I。由表8-1，可以查出兩端鉸支壓桿的長度系數(shù)μ。μ=1

由題可知:E=210GPa=210×103MPa，l=240cm=2400mm

代人壓桿臨界力公式(8-1)得:下一頁上一頁返回第二節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念及臨界力計算

(3)細長壓桿的臨界應(yīng)力細長壓桿在臨界力作用下，壓桿橫截面上的平均正應(yīng)力稱為壓桿的臨界應(yīng)力，用σcr表示，單位為MPa。其計算公式如下:(8-2)式中，F(xiàn)cr為壓桿的臨界力，N;A為壓桿的截面面積,mm2。因此，當知道壓桿的臨界力和截面面積后就能求出它的臨界應(yīng)力。它與壓桿的臨界力成正比，壓力越大，應(yīng)力越大;而與截面面積成反比，面積越大，應(yīng)力越小。

(4)柔度由于歐拉公式不能適合所有的壓桿，而只適合于材料的彈性范圍內(nèi)。然而，怎么來判斷材料是否屬于彈性范圍內(nèi)呢?一般都是通過比較橫截面上的應(yīng)力是否超過材料的比下一頁上一頁返回第二節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念及臨界力計算例極限來判斷。為了計算簡單，并且找出材料的特有規(guī)律，人們由臨界應(yīng)力的公式:

定義截面的慣性半徑為i，單位為mm。其表達式如下

(8-3)

再定義入為柔度，又稱長細比，是個無單位的量，也可以說1就是它的單位。其表示式如下

(8-4)下一頁上一頁返回第二節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念及臨界力計算

因此，壓桿的臨界應(yīng)力公式又可以表示為

(8-5)公式(8-4)中，μ為反映不同支撐影響的長度系數(shù);l為壓桿的長度;i是全面反映壓桿橫截面形狀與尺J‘的兒何量。柔度是一個綜合反映壓桿長度、約束條件、截面尺J‘和截面形狀對壓桿臨界載荷影響的量。λ的值越大，表示壓桿越細長，臨界應(yīng)力越小，壓桿越易失穩(wěn);反之，λ的值越小，表示壓桿越短粗，越穩(wěn)定。根據(jù)柔度的大小可以將壓桿分成三類(剛好和前面所說的三類壓桿一一對應(yīng)):下一頁上一頁返回第二節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念及臨界力計算

①大柔度桿(細長桿)

當壓桿的柔度A大于或等于某個極限值λD時，即λ≥λD時，壓桿將發(fā)生彈性屈曲。這時，壓桿在直線平衡狀態(tài)下橫截面上的正應(yīng)力不超過材料的比例極限，這類壓桿稱為大柔度桿或細長桿。

②中柔度桿(中長桿)

當壓桿的柔度A小于λD，但大于或等于另一個極限值λs時，即λs≤λ＜λD時，壓桿也會發(fā)生屈曲。這時，壓桿在直線平衡狀態(tài)下橫截面上的正應(yīng)力已經(jīng)超過材料的比例極限，截面上某些部分已進人塑性狀態(tài)，這種屈曲稱為非彈性屈曲，這類壓桿稱為中柔度桿或中長桿。

③小柔度桿(短粗桿)

柔度A小于極限值λs時，即λ<λs時，壓桿不會發(fā)生屈曲，但會發(fā)生屈服，這類壓桿稱為小柔度桿或短粗桿。下一頁上一頁返回第二節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念及臨界力計算2、中長桿(中柔度桿)的臨界力歐拉公式只適用于較細長的大柔度桿，即臨界應(yīng)力不超過材料的比例極限。當臨界應(yīng)力超過比例極限時，材料處于彈塑性階段，此類壓桿的穩(wěn)定屬于彈塑性穩(wěn)定問題，此時，歐拉公式不再適用。對這類壓桿λs≤λ＜λD，通常采用經(jīng)驗公式來計算臨界力和臨界應(yīng)力，經(jīng)驗公式是在實驗和實踐資料的基礎(chǔ)上，經(jīng)過分析、歸納而得到的。我國比較常用的經(jīng)驗公式有直線公式和拋物線公式等，這兩種方法的思路一樣，只不過后者有時更加精確些，但它的計算也復(fù)雜很多。因此，在一般條件下用直線公式就可以了，其表達式為σcr=a-bλ

(8-6)下一頁上一頁返回第二節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念及臨界力計算式中，λ為桿件的柔度;a和b為與材料有關(guān)的常數(shù)，如表8-3所示。中長桿的臨界力計算公式為Fcr=σcrA=(a-bλ)A3、短粗桿(小柔度桿)的臨界力短粗桿的破壞為強度失效，而不是失穩(wěn)。因此:σcr=σs

（8-8）判斷一根桿是否為短粗桿，在計算中常由γ≤γs來決定，只有滿足這個條件的桿才應(yīng)用公式(8-8)來計算。短粗桿的臨界力計算公式為Fcr=σsA下一頁上一頁返回第二節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念及臨界力計算4、臨界應(yīng)力總圖由上面的介紹知道，壓桿按照其柔度的不同，可以分為三類，并分別由不同的計算公式計算其臨界應(yīng)力。

?當λ≥λD時，壓桿為細長桿(大柔度桿)，其臨界應(yīng)力用歐拉公式來計算;?當λs≤λ＜λD時，壓桿為中長桿(中柔度桿)，其臨界應(yīng)力用經(jīng)驗公式來計算;?當λ<λs時，壓桿為短粗桿(小柔度桿)，其臨界應(yīng)力等于桿受壓時的極限應(yīng)力。如果把壓桿的臨界應(yīng)力根據(jù)其柔度不同而分別計算的情況，用一個簡圖來表示，該圖形就稱為壓桿的臨界應(yīng)力總圖。壓桿的臨界應(yīng)力總圖如圖8-10所示。上一頁返回第三節(jié)壓桿穩(wěn)定的條件和計算方法一、壓桿穩(wěn)定的條件在實際中，常常要校核壓桿是否滿足要求，從而保證設(shè)計滿足要求或選擇符合工作要求的壓桿。在前面已經(jīng)知道，為了保證桿件能正常地工作，必須滿足強度條件:(8-10)經(jīng)過實際檢驗，發(fā)現(xiàn)用下面這個公式能夠很好地滿足壓桿的設(shè)計和工作要求。

(8-11)

式中，[σcr]為壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力值，單位為Pa。下一頁返回第三節(jié)壓桿穩(wěn)定的條件和計算方法二、壓桿穩(wěn)定的計算方法1、安全系數(shù)法公式(8-11)是通過理想化的條件得來的，而實際情況不可能都滿足理想條件。因此，為了保證壓桿具有足夠的穩(wěn)定性，設(shè)計中，必須使桿件所承受的實際壓力小于桿件的臨界力，并且具有一定的安全儲備，以便防止特殊情況的發(fā)生。雖然這些特殊情況很少發(fā)生，有的甚至在其使用過程中一直沒有發(fā)生，但是它一旦發(fā)生，那將是致命的，很可能給國家和人民的生命造成很大的危害。因此，壓桿穩(wěn)定的條件可表示為下一頁上一頁返回第三節(jié)壓桿穩(wěn)定的條件和計算方法

(8-12)式中，F(xiàn)為壓桿的工作作用力，N;Fcr為壓桿的臨界力，N，nst為壓桿穩(wěn)定安全系數(shù);n為壓桿工作安全系數(shù)。上式也可寫成

(8-13)

或

(8-14)

式中，[Fst]和[nst]分別為壓桿的穩(wěn)定許用力和穩(wěn)定許用應(yīng)力。下一頁上一頁返回第三節(jié)壓桿穩(wěn)定的條件和計算方法2、折減系數(shù)法對確定的材料，強度許用應(yīng)力[σ]是不變的，而穩(wěn)定許用應(yīng)力[σcr]是隨柔度變化而變化的量。所以在工程實際中，常采用折減系數(shù)法來計算壓桿的穩(wěn)定性。折減系數(shù)法就是通過一個折減系數(shù)和強度許用應(yīng)力[σ]來代替穩(wěn)定許用應(yīng)力[σcr

，其表達式為:[σcr]=φ[σ]式中，φ為折減系數(shù)。φ值是一個小于1的數(shù)，它隨λ的變化而變化，不同材料有不同的φ值。常見材料在不同的入下的φ值，如表8-4所示。下一頁上一頁返回第三節(jié)壓桿穩(wěn)定的條件和計算方法因此，壓桿穩(wěn)定條件可寫成下式:(8-16)此式表明壓桿因在強度破壞之前就發(fā)生了穩(wěn)定失效，故用降低強度許用應(yīng)力的方法來保證其安全。

例8-7已知一根兩端鉸支的術(shù)質(zhì)壓桿，l=6m,圓截面d=20cm，軸向壓力F=50kN，木材許用應(yīng)力[σ]=10MPa，試校核該術(shù)柱的穩(wěn)定性。下一頁上一頁返回第三節(jié)壓桿穩(wěn)定的條件和計算方法解:計算壓桿的慣性半徑可得因為壓桿兩端鉸支，查表可得μ=1

計算壓桿的柔度可得表8-4可得折減系數(shù)φ=0.209下一頁上一頁返回第三節(jié)壓桿穩(wěn)定的條件和計算方法計算許用穩(wěn)定應(yīng)力可得計算壓桿實際工作應(yīng)力可得所以，該壓桿是穩(wěn)定的。上一頁返回第四節(jié)提高壓桿穩(wěn)定性的措施一、適當降低壓桿柔度1、選擇合理的截面形狀由可知，柔度入與慣性半徑I成反比，因此，要提高壓桿的穩(wěn)定性(減小柔度)，應(yīng)盡量增大I。而在截面面積一定的情況下，要盡量增大慣性矩I，就得盡量使材料遠離中性軸。例如，采用空心截面或組合截面盡量使截面材料遠離中性軸，如圖8-11，(b)比(a)要穩(wěn)定。當壓桿在各個彎曲平面內(nèi)的支撐情況相同時，為避免在最小剛度平面內(nèi)先發(fā)生失穩(wěn)，應(yīng)盡量使各個方向的慣性矩相同。例如采用圓形、方形截面。若壓桿的兩個彎曲平面支撐情況不同，則采用兩個方向慣性下一頁返回第四節(jié)提高壓桿穩(wěn)定性的措施

矩不同的截面，與相應(yīng)的支撐情況對應(yīng)。例如采用矩形、工字形截面。在具體確定截面尺寸時，抗彎剛度大的方向?qū)?yīng)支撐固結(jié)程度弱的方向，抗彎剛度小的方向?qū)?yīng)支撐固結(jié)強的方向，盡可能使兩個方向的柔度相等或接近，抗失穩(wěn)的能力大體相同。2、改善約束條件因為壓桿約束越多，支撐越牢固，長度系數(shù)拜就越小，則柔度也越小，從而臨界應(yīng)力就越大，所以采用拜值小的支撐形式可提高壓桿的穩(wěn)定性。如圖8-12所示，增大桿右端的支撐長度a，就加強了約束的剛性。下一頁上一頁返回第四節(jié)提高壓桿穩(wěn)定性的措施3、縮小桿的長度壓桿的柔度與桿的長度成正比，縮小桿的長度可以減小桿的柔度，從而提高臨界力，即提高抵抗失穩(wěn)的能力。因此，壓桿應(yīng)盡量避免細而長或在壓桿中間增加支撐。下一頁上一頁返回第四節(jié)提高壓桿穩(wěn)定性的措施二、合理選用材料對于短粗桿(小柔度桿)，在其他條件相同的情況下，選擇高彈性模量的材料，可以提高壓桿的穩(wěn)定性。例如鋼桿的臨界力大于銅、鐵、木桿的臨界力。但對細長桿，臨界應(yīng)力與材料的強度指標無關(guān)，各種鋼材的E值又大致是相等的，所以采用高強度鋼材不能提高壓桿的穩(wěn)定性，反而會造成浪費。對于中、長桿，臨界應(yīng)力與材料強度有關(guān)，采用高強度鋼材，提高了屈服極限σs和比例極限σD，在一定程度上可以提高臨界應(yīng)力。上一頁返回每章一練

1、什么是屈曲失效?三類受壓桿件的失效各有什么特點?2、何謂臨界力?影響臨界力大小的因素有哪些?

3、什么是柔度?柔度受哪些因素影響?

4、什么是工作安全系數(shù)?設(shè)定工作安全系數(shù)有何實際意義?5、如何提高壓桿的穩(wěn)定性?6、圖8-13所示每組截面，截面積相同，試問作為壓桿使用時，每組截面中哪個合理些，為什么?7、圖8-14所示的兩端鉸支的連桿，材料為Q235鋼，E

=

200GPa，已知連桿橫截面面積A=720mm2，慣性矩Is=6.5x104mm