第十二章§12.3絕對值不等式考試要求1.理解絕對值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件：

|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x

－a|＋|x－b|≥c.落實主干知識課時精練探究核心題型內容索引LUOSHIZHUGANZHISHI落實主干知識1.絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a_________??|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(－a，a)(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c?

.②|ax＋b|≥c?

.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現了數形結合的思想.②利用“零點分段法”求解，體現了分類討論的思想.③通過構造函數，利用函數的圖象求解，體現了函數與方程的思想.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c2.含有絕對值的不等式的性質(1)如果a，b是實數，則

≤|a±b|≤

.(2)如果a，b，c是實數，那么

，當且僅當

時，等號成立.||a|－|b|||a|＋|b||a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若|x|>c的解集為R，則c≤0.(

)(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集為?.(

)(3)對|a＋b|≥|a|－|b|當且僅當a>b>0時等號成立.(

)(4)對|a－b|≤|a|＋|b|當且僅當ab≤0時等號成立.(

)×√×√1.不等式3≤|5－2x|<9的解集為

A.[－2,1)∪[4,7) B.(－2,1]∪(4,7]C.(－2，－1]∪[4,7) D.(－2,1]∪[4,7)√∴不等式的解集為(－2,1]∪[4,7).2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集為___________.(－∞，4)①當x≤1時，原不等式可化為1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；②當1<x<5時，原不等式可化為x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4；③當x≥5時，原不等式可化為x－1－(x－5)<2，該不等式不成立.綜上，原不等式的解集為(－∞，4).3.設a，b∈R，|a－b|>2，則關于實數x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是_____.R∵|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝|a－b|.又∵|a－b|>2，∴|x－a|＋|x－b|>2恒成立，即該不等式的解集為R.TANJIUHEXINTIXING探究核心題型例1

(2021·全國乙卷)已知函數f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.(1)當a＝1時，求不等式f(x)≥6的解集；題型一絕對值不等式的解法當a＝1時，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，即求|x－1|＋|x＋3|≥6的解集，當x≥1時，2x＋2≥6，得x≥2；當－3<x<1時，4≥6，此時沒有x滿足條件；當x≤－3時，－2x－2≥6，得x≤－4.綜上，不等式f(x)≥6的解集為{x|x≤－4或x≥2}.f(x)＝|x－a|＋|x＋3|≥|(x－a)－(x＋3)|＝|a＋3|，當且僅當(x－a)(x＋3)≤0時，等號成立.所以f(x)min＝|a＋3|>－a，當a<－3時，－a－3>－a，無解；(2)若f(x)>－a，求a的取值范圍.已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)求不等式f(x)<4的解集；教師備選∵f(x)<4，∴－2<x≤－1或－1<x≤1或1<x<2，故不等式的解集為(－2,2).(2)若不等式f(x)－|a＋1|<0有解，求a的取值范圍.∵f(x)＝|x＋1|＋|x－1|≥|(x＋1)－(x－1)|＝2，∴f(x)min＝2，當且僅當(x＋1)(x－1)≤0時取等號，∵f(x)－|a＋1|<0有解，∴|a＋1|>f(x)min＝2，∴|a＋1|>2，∴a＋1<－2或a＋1>2，即a<－3或a>1，故a的取值范圍是(－∞，－3)∪(1，＋∞).思維升華解絕對值不等式的基本方法(1)利用絕對值的定義，通過分類討論轉化為解不含絕對值符號的普通不等式.(2)當不等式兩端均為正數時，可通過兩邊平方的方法，轉化為不含絕對值符號的普通不等式.(3)利用絕對值的幾何意義，數形結合求解.跟蹤訓練1

(2021·全國甲卷)已知函數f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.(1)畫出y＝f(x)和y＝g(x)的圖象；作出圖象，如圖所示.(2)若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范圍.函數f(x＋a)的圖象即為將函數f(x)的圖象向左或向右平移|a|個單位長度，當a≤0時，即為將函數f(x)的圖象向右平移|a|個單位長度得到f(x＋a)的圖象，此時函數f(x＋a)的圖象始終有部分圖象位于函數g(x)的圖象下方，無法滿足f(x＋a)≥g(x)，則要滿足f(x＋a)≥g(x)，需a>0，f(x＋a)＝|x＋a－2|，題型二利用絕對值不等式的性質求最值當x>4時，3x－3≤6，即x≤3(舍去).綜上得f(x)≤6的解集為[－1,1].∵f(x)＋|x－4|<a2－8a有解，∴a2－8a>9，(a－9)(a＋1)>0，a<－1或a>9，∴實數a的取值范圍是(－∞，－1)∪(9，＋∞).(2)若不等式f(x)＋|x－4|<a2－8a有解，求實數a的取值范圍.已知f(x)＝|x－3|，g(x)＝|x－k|(其中k≥2).(1)若k＝4，求f(x)＋g(x)<9的解集；教師備選若k＝4，則f(x)＋g(x)<9，即|x－3|＋|x－4|<9，解得－1<x<3或3≤x≤4或4<x<8，∴原不等式的解集為{x|－1<x<8}.∵k≥2，且x∈[1,2]，∴x－3<0，x－k≤0，∴f(x)＝|x－3|＝3－x，g(x)＝|x－k|＝k－x，則?x∈[1,2]，不等式f(x)－g(x)≥k－x恒成立，即?x∈[1,2]，x＋3≥2k恒成立，∴4≥2k，即k≤2，又k≥2，∴k＝2.(2)?x∈[1,2]，不等式f(x)－g(x)≥k－x恒成立，求實數k的值.思維升華求含絕對值函數的最值時，常用的方法有三種(1)利用絕對值的幾何意義.(2)利用絕對值的三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||.(3)利用零點分區(qū)間法，轉化為分段函數求最值.跟蹤訓練2

已知f(x)＝|x＋1|－|2x－1|.(1)求不等式f(x)>0的解集；由題意得|x＋1|>|2x－1|，所以|x＋1|2>|2x－1|2，整理可得x2－2x<0，解得0<x<2，故原不等式的解集為{x|0<x<2}.(2)若x∈R時，不等式f(x)≤a＋x恒成立，求a的取值范圍.由已知可得，a≥f(x)－x恒成立，設g(x)＝f(x)－x，所以a的取值范圍是[1，＋∞).例3

設函數f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)畫出y＝f(x)的圖象；題型三絕對值不等式的綜合應用y＝f(x)的圖象如圖所示.(2)當x∈[0，＋∞)時，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值.由(1)知，y＝f(x)的圖象與y軸交點的縱坐標為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當且僅當a≥3且b≥2時，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上恒成立，因此a＋b的最小值為5.(2020·全國Ⅱ)已知函數f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)當a＝2時，求不等式f(x)≥4的解集；教師備選當a＝2時，f(x)＝|x－4|＋|x－3|當3<x<4時，1≥4，無解；將題目轉化為f(x)≥4恒成立，即f(x)min≥4.因為f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|≥|a2－2a＋1|＝(a－1)2，所以(a－1)2≥4，即|a－1|≥2.解得a≥3或a≤－1.所以a的取值范圍是(－∞，－1]∪[3，＋∞).(2)若f(x)≥4，求a的取值范圍.思維升華(1)解決與絕對值有關的綜合問題的關鍵是去掉絕對值，化為分段函數來解決.(2)數形結合是解決與絕對值有關的綜合問題的常用方法.跟蹤訓練3

(2022·白山聯考)已知函數f(x)＝|x－2|－a|x＋1|.(1)當a＝1時，求不等式f(x)<x的解集；由已知不等式|x－2|－|x＋1|<x，得|x－2|<x＋|x＋1|，當x≥2時，不等式為x－2<x＋x＋1，解得x>－3，所以x≥2；當－1<x<2時，不等式為2－x<x＋x＋1，當x≤－1時，不等式為2－x<x－x－1，解得x>3，此時無解.(2)當a＝2時，若關于x的不等式f(x)>m＋1恰有2個整數解，求實數m的取值范圍.由題意，函數f(x)＝|x－2|－2|x＋1|，f(x)的圖象如圖.f(－3)＝1，f(－2)＝2，f(－1)＝3，f(0)＝0，因為關于x的不等式f(x)>m＋1恰有2個整數解，由圖可知，1≤m＋1<2，所以0≤m<1，故m的取值范圍為[0,1).KESHIJINGLIAN課時精練1.已知函數f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若函數f(x)的值域為[2，＋∞)，求實數a的值；12345∵|x－1|＋|x－a|≥|(x－1)－(x－a)|＝|a－1|，∴|a－1|＝2，解得a＝3或a＝－1.(2)若f(2－a)≥f(2)，求實數a的取值范圍.12345由f(2－a)≥f(2)，得3|a－1|－|a－2|≥1，123452.已知函數f(x)＝|x＋1|－|x|＋a.(1)若a＝0，求不等式f(x)≥0的解集；1234512345所以當x<－1時，f(x)＝－1<0，不符合題意；當－1≤x<0時，f(x)＝2x＋1≥0，當x≥0時，f(x)＝1>0，符合題意.(2)若方程f(x)＝x有三個不同的解，求實數a的取值范圍.12345設u(x)＝|x＋1|－|x|，y＝u(x)的圖象和y＝x的圖象如圖所示.易知y＝u(x)的圖象向下平移1個單位長度內(不包括1個單位長度)，與y＝x的圖象始終有3個交點，從而－1<a<0.所以實數a的取值范圍為(－1,0).123453.已知函數f(x)＝|2x＋a|－|x－3|(a∈R).(1)若a＝－1，求不等式f(x)＋1>0的解集；12345因為a＝－1，所以不等式f(x)＋1>0等價于12345解得x<－1或x>1.所以不等式f(x)＋1>0的解集為{x|x<－1或x>1}.12345(2)已知a>0，若f(x)＋3a>2對于任意x∈R恒成立，求a的取值范圍.123