第十單元立體幾何10.1空間幾何體的直觀圖、三視圖及其應用1.給出下列四個命題，其中正確命題的個數(shù)是=1\*GB2⑴一個棱柱至少有5個面.=2\*GB2⑵平行六面體中相對的兩個面是全等的平行四邊形.=3\*GB2⑶有一個面是平行四邊形的棱柱一定是四棱柱.=4\*GB2⑷正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形.A.1個B.2個C.3個D.4個答案：D解析:=1\*GB2⑴三棱柱的面最少，有5個面，故（1）正確.=2\*GB2⑵平行六面體的六個面都是平行四邊形，且相對的面兩兩是全等的，故（2）正確.=3\*GB2⑶棱錐的側(cè)面都是三角形，有一個面為平行四邊形，這個面一定是底面，即為四棱錐，故（3）正確.=4\*GB2⑷正棱錐的底面是正多邊形，側(cè)棱長都相等，故側(cè)面都是全等的等腰三角形，所以（4）正確.2.一個四棱錐的三視圖如圖所示，一只螞蟻從該四棱錐底面上的一個頂點出發(fā),經(jīng)過四棱錐的側(cè)面爬到與其不相鄰的另--個頂點(同--條棱上的兩個端點稱為相鄰頂點),則這只螞蟻經(jīng)過的最短路程為().A.1+2.B.3C.2+3D.答案：B解析：四棱錐P-ABCD如圖所示,PD⊥平面ABCD，BD⊥DC,底面為平行四邊形,且PD=DC=1,AD=PC=2，PA=3.①沿著側(cè)面從A到C,若沿著側(cè)面PAD與側(cè)面PDC展成平面圖形，則最短的路程為1+2，若沿著側(cè)面PAB與側(cè)面PBC展成平面圖形,則由余弦定理得最短路程為3+6；②沿著側(cè)面從B到D,若沿著側(cè)面PAB與側(cè)面PAD展成平面圖形,得最短路程為3.若沿著側(cè)面PBC與側(cè)面PCD展成平面圖形，則最短路程為6+2綜上，最短路程為3.故選B.3.已知△ABC的平面直觀圖△A'B'C’是邊長為a的正三角形，那么原△ABC的面積為()A.3a22B.3a2答案：C解析:直觀圖的面積S'=a22sinπ3=3a24，設原圖面積為S，則由S'=244.如圖是利用斜二測畫法畫出的△ABO的直觀圖,已知O'B'=4,且△ABO的面積為16,過A’作A'C’⊥x’軸，則A'C'的長為()A.22B.2C.162.D.1答案：A解析：∵A'B'||y’軸，∴在△ABO的中，AB⊥OB，又∵△ABO的面積為16∴12AB●OB=16，∵OB=O’B’=4，∴AB=8，∴A'B'=4.如圖，作A'C'⊥O'B'于C'∵<A’B’C’=45o，∴A'C'的長為:4sin45°=22.5.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中的四邊形都是邊長為4的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積是()A.1763B.1603C.答案:B解析：根據(jù)三視圖可得幾何體為正方體中挖去一個倒置的四棱錐O-A1B1C1D1.如圖所示，故其體積為：43-13×4×4×2=16036.一個正方體挖去一個多面體后，剩余幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、左視圖和視圖均為邊長等于2的正方形,則挖去多面體的體積為()A.8B.2C.4D.8答案：D解析：將三視圖還原可得下圖,挖去多面體為正四棱錐,其體積為V=13×故選D.7.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.33B.233C.答案:B解析：由三視圖知:該幾何體是一個底面邊長為2的等邊三角形,高為2的三棱錐,如圖所示:∴該幾何體的體積為V=_13S△ABC×SB=13×348.（2021·北京）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐，其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長為1，故其表面積為，故選A.9.如圖所示的陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為（）A．一個球體 B．一個球體中間挖去一個圓柱C．一個圓柱 D．一個球體中間挖去一個棱柱【答案】B【解析】由題意，根據(jù)球的定義，可得圓面旋轉(zhuǎn)形成一個球，根據(jù)圓柱的概念，可得里面的長方形旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱，所以繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為一個球中間挖去一個圓柱，故選B.10.如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形為截面，長方形為底面，則四邊形的形狀為（）A．梯形 B．平行四邊形C．可能是梯形也可能是平行四邊形 D．不確定【答案】B【解析】由長方體的性質(zhì)：各對面平行，易知，∴為平行四邊形.故選B.10.如圖所示是水平放置的三角形的直觀圖，是中邊的中點，且平行于軸，那么三條線段對應原圖形中的線段中（）A．最長的是，最短的是 B．最長的是，最短的是C．最長的是，最短的是 D．最長的是，最短的是【答案】C【解析】由題中的直觀圖可知，軸，軸，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知，在原圖形中AD∥y軸，BC∥x軸.又因為D為BC的中點，所以△ABC為等腰三角形，且AD為底邊BC上的高，則有AB=AC>AD成立.故選C.11.如圖，一個水平放置的圖形的直觀圖是一個等腰直角三角形，斜邊長，那么原平面圖形的面積是（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)斜二測畫法可得原圖形為如圖所示，因為是等腰直角三角形，根據(jù)斜二測畫法可得為直角三角形，，，，所以原平面圖形的面積是.故選B.12.（2021·安徽合肥質(zhì)檢）如圖，網(wǎng)格紙中小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是一個四棱錐的三視圖，則該四棱錐最長棱的長度為A． B． C．8 D．【答案】：B【解析】：根據(jù)三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖為：該幾何體為四棱錐體；如圖所示：所以，所以，故選B.13.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為.答案:32π解析：根據(jù)三視圖作出原幾何體的直觀圖如下圖所示:由三視圖可知,該幾何體為三棱錐A1-ABC，且AA1⊥底面ABC，由三視圖中的數(shù)據(jù)可得AB=32+3=23，BC=3+12=2，且AC=4.∴AB2+BC2=AC2，則AB⊥BC,將三棱錐A1-ABC補成長方體ABCD-A1B1C1D1∴三棱錐A1-ABC的外接球直徑為2R=12+4+16=42，14.已知某圓錐被一過該圓錐頂點的平面所截得到的幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，若該圓錐的頂點與底面圓周都在球0的球面上,則球0的表面積為.答案:64解析：該幾何體如圖所示,由正視圖和側(cè)視圖可知,底面圓弧所在圓的半徑為O1B=2，且AO1=1，PA=13.∴P01=13?1=23，設球0的半為R.由球的性質(zhì)可知，R2=(23-R)2+22.解之，得R=43.故球O的表面積為S=4πR2=4π×（43）2故答案為64315.如圖，四邊形是一水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，，，且與軸平行，若，，，則原平面圖形的實際面積是________.【答案】【解析】由斜二測直觀圖的作圖規(guī)則知，原平面圖形是直角梯形，且，的長度不變，仍為6和4，高，故所求面積.故答案為：16.已知一正四面體的俯視圖如圖所示，它是邊長為的正方形，則這個正四面體的主視圖的面積為________．【答案】【解析】根據(jù)題意，正四面體的棱長可取為，且該正四面體的主視圖是一個底邊長為，腰長為的等腰三角形.所以主視圖的高為

從而可得主視圖的面積為．故答案為：.10.2空間幾何體的表面積與體積1.下列說法中正確的是().A.棱柱的側(cè)面可以是三角形B.正方體和長方體都是特殊的四棱柱C.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形D.棱柱的各條棱都相等答案B解析棱柱的側(cè)面都是四邊形,A不正確；正方體和長方體都是特殊的四棱柱,B正確；不是所有幾何體的表面都能展開成平面圖形,球不能展開成平面圖形,C不正確；棱柱的各條棱并不是都相等,但棱柱的側(cè)棱都相等,D不正確；故選B.2.某幾何體由一個三棱錐和一個四棱錐組合而成，該幾何體的三視圖如圖所示，若三棱錐的體積為，四棱錐的體積為，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由三視圖可知，該組合體的直觀圖如下：則，，所以．故選A．3.已知：△ABC是面積為934的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面A．3B．32C.1D．答案C解析設球O的半徑為R.則4πR2=16π，解之，得R=2.設△ABC外接圓半徑為r，邊長為a∵△ABC是面積為934的等邊三角形，∴12a2×33.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中將正四棱錐稱為方錐．已知半球內(nèi)有一個方錐，方錐的底面內(nèi)接于半球的底面，方錐的頂點在半球的球面上，若方錐的體積為18，則半球的說法正確的是（）A．半徑是3 B．體積為18πC．表面積為27π D．表面積為18π答案：ABC解析：如圖，△PAC是正四棱錐的對角面，設球半徑為r，AC是半圓的直徑，則正四棱錐底面邊長為2r，棱錐體積為V=13×(2r)24.（2021·四川成都三診）某幾何體的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上的小正方形邊長為1，則該幾何體的表面積為A. B． C． D．【答案】B【解析】由三視圖還原原幾何體如圖，可知該幾何體為組合體，上半部分為圓錐，下半部分為圓柱，圓錐的底面半徑為2，高為2，圓柱的底面半徑為2，高為4．則該幾何體的表面積為：.故選B.5.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為1，2，3，則此三棱錐的外接球的表面積為（）A．6π B．12π C．18π D．24π答案A解析由題意，得三棱錐的外接球即為長寬高分別為1,2,3的長方體的外接球，又∵長方體的體對角線長為外接球的直徑∴球的半徑∴球的表面積S=4π6.（2021·安徽合肥調(diào)研）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的體積為A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)幾何體的三視圖，轉(zhuǎn)換為幾何體是由一個底面面積為的直角三角形，高為2的三棱錐體，故．故選C.7.已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓,則底面圓的半徑為().A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm答案：B解析：S表=πr2+πr●2r=3πr2=12π，∴r=2cm.故選B.8.《九章算術》中，將兩底面為直角三角形的正柱體，亦即長方體的斜截平分體，稱為塹堵.今有如圖所示的塹堵形狀容器裝滿水，當水量使用了一半時，水面高度占的（）A． B．C． D．【答案】C【解析】水的一半就是體積的一半，柱體體積公式是底面積乘高，高沒變，底面積變?yōu)橐话耄驗榈酌媸堑妊苯侨切?，所以邊長變?yōu)锳B的，所以水面高度占AB的，故選C.9.（2021·浙江卷）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】幾何體為如圖所示的四棱柱，其高為1，底面為等腰梯形，該等腰梯形的上底為，下底為，腰長為1，故梯形的高為，故，故選A.10.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】如圖，由三視圖知原幾何體是一個三棱錐，平面，，，，．故選A．11.（2021·北京卷）某一時間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級劃分如下：在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是（）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】B【解析】由題意，一個半徑為的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于中雨.故選B.12.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，6根等長的正四棱柱體分成3組，經(jīng)榫卯起來．若正四棱柱的高為8，底面正方形的邊長為2，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為（）（容器壁的厚度忽略不計，結(jié)果保留）．A． B． C． D．【答案】B【解析】若球形容器表面積最小，則正四棱柱與球內(nèi)接，此時球體的直徑等于一組正四棱柱的體對角線長，即，所以，球形容器的表面積．故選B．13.如圖所示，在正方體中，是棱上任意一點，四棱錐的體積與正方體的體積之比為（）A． B． C． D．不確定【答案】B【解析】設正方體的棱長為，則正方體的體積，易知四棱錐的高為點到底面的距離，即側(cè)棱長，所以四棱錐體積為，所以，故四棱錐的體積與正方體的體積之比為．故選B.14.正方體中，為的中點，，下列說法正確的是（）A．B．三棱錐與剩余部分的體積比為C．直線與平面所成角的正弦值為D．平面截正方體內(nèi)切球的截面面積為【答案】BCD【解析】因為，所以不垂直于，所以選項A錯誤；，，所以，所以選項B正確；設點到平面距離為，直線與平面所成角為．因為為的中點，所以到平面等于到平面的距離，，因為，所以，所以，直線與平面所成角的正弦值為，所以選項C正確；如圖，設為正方體內(nèi)切球的球心，為截面圓的圓心，為球與底面的切點，連接，，，，則面．中，所以，所以，所以截面圓的面積為，所以選項D正確.故選：BCD．15.在三棱錐中，底面，，，，動點從點出發(fā)，沿外表面經(jīng)過棱上一點到點的最短距離為，則該棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】將側(cè)面沿翻折到與側(cè)面共面，如下圖所示：則動點從點出發(fā)，沿外表面經(jīng)過棱上一點到點的最短距離為，底面，平面，，又，，，，解得：，；取中點，連接，，，為該棱錐的外接球的球心，其半徑，球的表面積.故選B.16.（2021·貴州模擬）如圖，在中，，，是棱的中點，以為折痕把折疊，使點到達點的位置，則當三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，因為，，由余弦定理可得，所以，當，即平面，三棱錐體積最大，此時??兩兩垂直，可把三棱錐補形為一個長方體，且長方體長、寬、高分別為：，所以三棱錐的外接球半徑為：，所以外接球的表面積為：.故選D.17.設正方體內(nèi)部有兩個球和，已知球與正方體的三個面相切，球與正方體的六個面均相切，且球與球也相切．設球，的半徑分別為，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨設正方體的棱長為，球同時與以為公共頂點的三個面相切．由題可知，兩個球心，和兩球的切點均在體對角線上，兩個球在平面處的截面如圖所示，則，，，又，，.故選B.18.已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面.上，則該圓柱的體積為（）A.πB.34πC.π2答案B解析繪制圓柱的軸截面如圖所示,由題意可得:AC=1，AB=12.結(jié)合勾股定理,得底面半徑r=1?122=3219.（2021·全國）香水是香料溶于乙醇中的制品，早在公元前1500年，埃及艷后克婁巴特拉七世就已經(jīng)開始用15種不同氣味的香水洗澡了.近年來，香水已經(jīng)逐漸成為眾多女士的日常用品.已知“香奈兒”的一款飽受熱評的男士香水的包裝瓶如圖（1）所示，其三視圖如圖（2）所示，其中圖（2）中方格小正方形的邊長為1，則該香水瓶的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三視圖可得包裝瓶的直觀圖如圖所示：故其體積為，故選D.20.（2021·山西太原模擬）如圖是某個四面體的三視圖，則下列結(jié)論正確的是A．該四面體外接球的體積為 B．該四面體內(nèi)切球的體積為 C．該四面體外接球的表面積為 D．該四面體內(nèi)切球的表面積為【答案】D【解析】由三視圖還原原幾何體如圖，可知該幾何體為三棱錐，底面三角形為等腰直角三角形，，，側(cè)棱底面，且．設三棱錐外接球的球心為，的中點為，連接，則，外接球的半徑為．外接球的體積，表面積為；設三棱錐內(nèi)切球的半徑為，由等體積法可得：，解得：，則三棱錐內(nèi)切球的體積為，表面積為．綜上可知，、、錯誤，正確．故選D．21.兩個半徑都是的球和球相切，且均與直二面角的兩個半平面都相切，另有一個半徑為的小球與這二面角的兩個半平面也都相切，同時與球和球都外切，則的值為().A． B． C． D．答案D解析∵三個球都與直二面角的兩個半平面相切，∴與、、共面.如圖所示，過點、分別作、，垂足分別為點，過點分別作，，則，，，，.∴.等式兩邊平方得.化簡得，∵，解之，得，故選D．22.已知一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的體積為（）A．π B．π C． D．【答案】D【解析】由三視圖可知該幾何體是底面為邊長為的正方形，斜高為的正四棱錐，如下圖所示：連接正方形的兩條對角線與，交于點，連接，則是四棱錐的高，設為的中點，連接，則，設外接球的球心為，則在上．連接，在中，，，，．設外接球的半徑為，則，，，，解得：，外接球的體積，故選D．23.已知正多面體共有5種，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體.任一個正多面體都有內(nèi)切球和外接球，若一個半徑為1的球既是一個正四面體的內(nèi)切球，又是一個正六面體的外接球，則這兩個多面體的頂點之間的最短距離為（）A．－1 B．1 C．2－1 D．2【答案】D【解析】固定正四面體不動，則其內(nèi)切球也隨之固定，考慮頂點與正六面體（即正方體）的頂點的距離，當正方體的頂點在球面上移動時，頂點到球面上點的距離最小值就是頂點與正方體頂點距離的最小值，即當球心和頂點A以及正方體的頂點共線且A和正方體的頂點落在球心同側(cè)時取得最小值，由正四面體的內(nèi)切球半徑為1，根據(jù)正四面體的特征，可知球心到頂點的距離為3，所以頂點到球面上點的距離最小值為，故選D.24.已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2,過直線01,02,的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為（）A.122πB.12πC.82πD.10π答案B解析根據(jù)題意,可得截面是邊長為22的正方形，結(jié)合圓柱的特征,可知該圓柱的底面為半徑是2的圓，且高為22.所以其表面積為S=2π(2)2+2π.2.22=12π.故選B.25.已知圓錐的表面積為9,且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面面積等于.答案:3解析：S表=πr2+2r?πr=3πr226.八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點A,B,C,D在同一個平面內(nèi)，如果四邊形ABCD是邊長為30cm的正方形，則這個八面體的表面積為.答案：1800解析：S=8*327.（2021全國甲卷）已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為________.【答案】【解析】∵∴∴∴.故答案為：.28.球O的球心為點O，球O內(nèi)切于底面半徑為3、高為3的圓錐，三棱錐V?ABC內(nèi)接于球O，已知，則三棱錐V?ABC的體積的最大值為_______．答案解析圓錐的母線長為3+9=23，設球O的半徑為r，則r3=3?r23，解得r=1，∵OA⊥OB,OA=OB=1∴AB=2，∵AC⊥BC，∴C在以AB為直徑的圓上，故V到平面ABC的最大距離為22+1∴三棱錐V?ABC的體積的最大值為13故答案為29.中國古代數(shù)學經(jīng)典《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鐅臑.若三棱錐P?ABC為鐅臑，且PA⊥平面ABC，PA=2，，，AB⊥BC，則該鐅臑的外接球的體積為__________.答案29π29解析可以把幾何體放在長方體中研究，如圖所示，所以長方體的體對角線長為，22+32故答案為29π30.在三棱錐A﹣BCD中，AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，∠ABC＝90°，則該三棱錐的外接球的表面積為_____，該三棱錐的體積的最大值為_____．答案：5π，25解析：取AC的中點E，連接DE，如圖在△ABC中，∵AB＝1，BC＝2∠ABC＝90°∴AC=5，在△ACD中∵CD＝1，AD＝2，AC=5，∴AD2+CD2=AC2∴∠ADC＝90°∴△ABC、△ACD都是以AC為斜邊的直角三角形.∴AC的中點E到三棱錐A﹣BCD的四個頂點A∴三棱錐的外接球的表面積：S=4πr2=5π∵三棱錐的體積：V=13?S△ABC??，由題意得：S△ABC=12×1×2=1.∴Vmax=13.S△ABC.?max.而?max表示點31.在梯形中，，，為的中點，將沿直線翻折成，當三棱錐的體積最大時，過點的平面截三棱錐的外接球所得截面面積的最小值為______.【答案】【解析】如下圖所示，連接，則，則，故，設二面角的平面角為，設三棱錐的高為，則，，當且僅當時，等號成立，即當平面平面時，三棱錐的體積最大，，，，故為等腰直角三角形，且，在梯形中，，則，所以，，在中，，，，由余弦定理可得，故，，因為平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，則，因為，，平面，平面，所以，，記中點為，由得為三棱錐的外接球的球心，且球的半徑為，設與過點的平面所成的角為，設點到截面的距離為，則，故截面圓的半徑為，當且僅當時，過點的平面截三棱錐外接球所得截面面積最小，所以截面圓面積的最小值為.32.（2021·嘉峪關模擬）已知球是正四面體的外接球，為線段的中點，過點的平面與球形成的截面面積的最小值為，則正四面體的體積為___________.【答案】【解析】設為底面正三角形的中心，連接，則平面，且正四面體的外接球的球心在線段上，設正四面體的棱長為，當過的平面與直線垂直時，該平面與球的截面的面積最小，此時面積為，因為過點的平面與球形成的截面面積的最小值為，故，所以.因為為的中點，故，，而，故平面，而平面，故，故，所以，故，而，故，所以體積為.給出下列結(jié)論:①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐.②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺.③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓.④用一個平面截圓錐,得到一個圓錐和一個圓臺.⑤用任意一個平面截一個幾何體,各個截面都是圓面,則這個幾何體一定是球.其中正確結(jié)論的序號是：.答案：⑤解析：①中這條邊若是直角三角形的斜邊,則得不到圓錐,故①錯誤.②中這條腰若不是垂直于兩底的腰，則得到的不是圓臺,故②錯誤.③中圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面,故③錯誤.④中如果用不平行于圓錐底面的平面截圓錐,那么得到的不是圓錐和圓臺,故④錯誤.只有球滿足任意截面都是圓面,故⑤正確.34.已知正四棱錐的底面邊長是2,側(cè)棱長是3,則該正四棱錐的體積為.答案4解析如圖,在正四棱錐P-ABCD中，AB=2，AP=3.設正四棱錐的高為PO,連接AC,則AO=12AC=2，在Rt△POA中,PO=PA2?∴Vp-ABCD=13SABCDOP=135.（2021·湖南長沙一模）如圖，在直三棱柱中，，，，，點E，F(xiàn)分別是，AB上的動點，當?shù)拈L度最小時，三棱錐外接球的表面積為___________.【答案】【解析】把平面沿展開到與平面共面的的位置，延長到，使得，連接，如圖1所示，則.要使的長度最小，則需，E，F(xiàn)，四點共線，此時.因為，，，所以，所以，，故，，所以，，，，所以的外接圓是以的中點O為圓心，為半徑的圓，故三棱錐外接球的球心一定在過點O且與平面垂直的直線上，如圖2所示，點到點E，C的距離相等，則，所以，所以三棱錐外接球的表面積為.故答案為：36.已知四棱錐的五個頂點在球的球面上，平面與平面都與底面垂直，且，，則球的體積為________．【答案】【解析】 由四棱錐的五個頂點在球的球面上，，，∴底面的四個頂點在同一個截面圓上，易知：△△，又，∴，則且為所在截面圓的直徑.又面與面都與底面垂直，且面面，∴面.∴的外接球半徑，∴球的體積為.37.已知正方形中，，，分別是，的中點，將沿折起，使得，則折起后四棱錐的體積為________．【答案】【解析】由題意，，，，∴，∴，，平面，∴平面．∵，，∴，∴．設點到平面的距離為，，即，解得，∴．38.在一個棱長為的正方體內(nèi)部有一個大球和小球，大球與正方體的六個面都相切，小球可以在正方體和大球之間的空隙自由滑動，則小球的表面積最大值是___________.【答案】【解析】如圖所示，為組合體的中截面，易知當小球的表面積最大時大球半徑和小球半徑滿足，，解得，故小球表面積的最大值為.39.已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓都在同一個球面上．若圓錐的底面面積是這個球表面積的316解析該幾何體的軸截面如圖.設球的半徑為R，圓錐底面半徑為r，由題意得πr2=316體積較小的圓錐的高，體積較大的圓錐的高，所以這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為．40.現(xiàn)有一個底面是菱形的直四棱柱，它的體對角線長為9和15,高是5,求該直四棱柱的表面積.解析如圖,設底面對角線AC=a，BD=b且AC與BD的交點為O,對角線A1C=15，B∴a2+52=152，b2+5∴直四棱柱的底面積為12∴AB2=a24+b24=200+56417.如圖是一個空間幾何體的三視圖，其中主視圖和左視圖都是邊長為2的正三角形，俯視圖是一個正方形.(1)在給定的直角坐標系中作出這個幾何體的直觀圖(不寫作法);(2)求這個幾何體的體積.解析(1)直觀圖如圖.(2)這個幾何體是一個四棱錐.它的底面邊長為2,高為2所以體積V=13×2×2×如圖,在平面四邊形ABCD中，∠ADC=34π,AB=52,CD=4,AD=22,求四邊形ABCD繞直線AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積.解析由∠ADC=3π4，AB=52，CD=4，AD=22，得EC=r=22DE=22，BC=52.所得幾何體是-一個圓臺挖去一個圓錐,設圓臺下底，圓臺側(cè)，圓錐側(cè)的面積分別為S1，S2，S3,則該幾何體的表面積為S=S1+S2+S3=πR2+π(R+r)l+πrl=π522+π(22+52)×52+π×22×4=(120+82)π.設圓臺和圓錐的體積分別為V1，V2,體積為V=V1—V2=π3(R2+r2+Rr)h—119.如圖，已知一個圓錐的底面半徑與高均為2，且在這個圓錐中有一個高為x的圓柱.(1)求出此圓錐的側(cè)面積;(2)用x表示此圓柱的側(cè)面積表達式;(3)當此圓柱的側(cè)面積最大時，求此圓柱的體積.解析（1）圓錐的底面半徑R與高H均為2,則圓錐的母線長為L=22,所以圓錐的側(cè)面積為S（2）設圓柱的半徑為r,則r2=2?x（3）S圓柱側(cè)=?2πx2+4πx=2π?x?1一倒置圓錐體的母線長為10cm，底面半徑為6（1）求圓錐體的高；（2）一球剛好放進該圓錐體中，求這個球的半徑以及此時圓錐體剩余的空間．解析（1）設圓錐體的高為?，底面半徑為R，母線長為l，則；（2）球放入圓錐體后的軸截面如圖所示，設球的半徑為r由△OCD∽△ACO1得，所以r6=8?r10解之，得10.3空間中點、線、面的位置關系1.在正四面體中，E，F(xiàn)分別為，的中心，則下列說法中不正確的是（）A．B．平面C．異面直線，所成的角為90°D．【答案】D【解析】取的中點O，連接、，如圖所示：對于A，點A、F、O和點B、E、O分別共線，因為點E、F分別為和的中心，所以，所以，所以選項A正確；對于B，因為，，且，所以平面，即平面，選項B正確；對于C，因為平面，所以，選項C正確；對于D，因為，設，所以，在中，，所以，選項D錯誤．故選D.2.（2021·重慶一模）下列關于點、線、面位置關系的命題中正確的是（）A．若兩個平面有三個公共點，則它們一定重合B．空間中，相交于同一點的三直線在同一平面內(nèi)C．兩條直線，分別和異面直線，都相交，則直線，可能是異面直線，也可能是相交直線D．正方體中，點是的中點，直線交平面于點，則，，三點共線，且，，，四點共面【答案】CD【解析】對于選項A：如圖三個公共點在一條直線上，平面與平面相交不重合，故選項A不正確；對于選項B：正方體中從點出發(fā)的三條棱不在同一個平面內(nèi)，故選項B不正確；對于選項C若則，確定一個平面，且，與直線，的交點都在此平面內(nèi)，則，共面，與，是異面直線矛盾，故直線，可能是異面直線，也可能是相交直線.故選項C正確；平面平面，因為直線交平面于點，所以，即，，三點共線，因為，，三點共線，直線和直線外一點可以確定一個平面，所以，，，四點共面，故選項D正確.故選CD.3.正方體的棱長為，分別為的中點.則下列說法錯誤的是（）A．直線A1G與平面AEF平行B．直線DD1與直線AF垂直C．異面直線A1G與EF所成角的余弦值為D．平面AEF截正方體所得的截面面積為【答案】B【解析】正方體中，連接AD1，F(xiàn)D1，GF，BC1，如圖：因點E，F(xiàn)是BC，CC1中點，則EF//BC1，而正方體的對角面ABC1D1是矩形，則AD1//BC1//EF，連GF，因G是棱BB1中點，則GF//B1C1//A1D1，且，即四邊形A1GFD1是平行四邊形，A1G//D1F，平面AEF，平面AEF，于是A1G//平面AEF，A正確；因平面ABCD，而平面ABCD，即有AE，若AF，必有平面AEFD1，AD1，與矛盾，B不正確；因EF//AD1，A1G//D1F，則異面直線與所成角是或其補角，作于M，顯然，即四邊形AEFD1是等腰梯形，，，，C正確；，平面截正方體所得的截面是等腰梯形AEFD1，等腰梯形AEFD1的面積為，D正確.故選B.4.如圖，在三棱柱中，，，，，則異面直線與所成的角等于（）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解析】因為，，，平面，所以平面，面，所以．又，，所以，所以三棱柱為直三棱柱．如圖，在直三棱柱中，，，將其補形成正方體，連接，，則，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補角為異面直線與所成的角．在中，，所以，所以異面直線與所成的角等于60°，故選B．5.（2021·寧夏固原一模）在正方體中，是的中點，直線交平面于點，則下列結(jié)論正確的是（）①??三點共線；②???四點共面；③???四點共面；④???四點共面.A．①② B．①②③④ C．①②③ D．①③④【答案】A【解析】∵，平面，∴平面.∵，平面，∴平面，∴是平面和平面的公共點；同理可得，點和都是平面和平面的公共點，∴三點，，在平面與平面的交線上，即，，三點共線.故①正確；∵，，∴，，確定一個平面，又，平面，∴平面，故②正確；根據(jù)異面直線的判定定理可得與為異面直線，故???四點不共面，故③不正確；根據(jù)異面直線的判定定理可得與異面直線，故???四點不共面，故④不正確.故選A.已知直線a,b,c,下列三個命題:①若a與b異面,b與c異面,則a與c異面;②若a//b,a和c相交,則b和c也相交;③若a⊥b,a⊥c,則.其中正確命題的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3答案A解析①不正確,如圖，a,c有可能相交，異面，平行；②不正確,有可能相交;也有可能異面;③不正確,可能平行,可能相交,也可能異面.故選A.6.已知：正四棱錐P-ABCD的底面積為3,體積為22，E為側(cè)棱PC的中點,則PA與BE所成的角為().A.π6B.π3C.π4D.π2答案：B解析：如圖,連接EO，PO，∵E為側(cè)棱PC的中點，O為AC的中點，∴PA∥OE∴∠OEB為異面直線PA與BE所成的角,由題意得PO=22,AB=3，EO//PA且EO=1PO⊥平面ABCD，∴BO=62，PA=2，∴EO=12PA=22.又∵BD⊥AC，∴BD_⊥平面PAC∴BO⊥OE,在Rt△OBE中,tan∠OEB=OB0E=67.（多選題）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．直線EF,OD1B．直線OD1C．直線EF,OD1D．直線OD1答案ABD解析根據(jù)題意畫出圖像如圖所示，由圖像易知，OD1和B1B在矩形BB1D1D上又∵O為正方形ABCD的中心，E為AD的中點，∴OE//CD又∵點F為C1D1的中點，∴D1F//CD且D1F=12CD，∴OE//D1F且OE=D1F，∴四邊形OE8．（多選題）在空間四面體ABCD中，如圖，分別是的中點，則下列結(jié)論一定正確的為（）A．EG=FH B．EF=GHC．EH與FG相交D．EG=HG答案ABC解析如圖，∵分別是的中點∴EG∥BD且EG=12BD，F(xiàn)H∥BD且FH=12BD，∴EG||FH且EG=FH，∴四邊形EFHG為平行四邊形，∴選項ABC正確；又由題可知HG=12AC故選ABC.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1①直線AM與是相交直線.②直線AM與BN是平行線.③直線BN與MB④.其中正確的結(jié)論為________（注：把你認為正確的結(jié)論的序號都填上）．答案③④解析因為A,M,C,C1四點不共面，所以直線AM與同理，直線AM與BN也是異面直線，故②錯誤；同理，直線BN與MB易得，故④正確．故答案為③④10.如圖，在長方體中，，E、F分別為棱、的中點，則下列說法中正確的有①②三棱錐的體積為③若P是棱上一點，且，則E、C、P、F四點共面④平面截該長方體所得的截面為五邊形【答案】②③④【解析】連接DE，，如圖所示，因為E為AB的中點，所以EB=BC=2，所以，同理，又DC=4，所以，即，又因為底面ABCD，底面ABCD，所以，所以平面，即，又，即與不平行，所以CE不垂直，故①錯誤；由等體積法可得：三棱錐的體積，故②正確；作出P，使，取中點G，則P為中點，連接FP，CP，，因為F，P分別為，中點，所以，又，且，，所以，所以，所以E、C、P、F四點共面，故③正確；由選項C可得E、C、P、F四點共面，平面CEF即為平面CEFP，作，交于H，如圖所示：所以E、H、P、C在同一平面內(nèi)，即H點在平面ECP內(nèi)，所以E、C、P、F、H在同一平面內(nèi)，所以平面截該長方體所得的截面為五邊形，故④正確.故②③④正確.11.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E,F分別是AB,AC上的點，且AE:EB=AF:FC答案平行解析在△ABC中，∵AE:EB=AF:FC,∴EF//BC.又∵BC//B1C12.在四棱錐P?ABCD中分別是的中點，若EF=2，則GH=_____．答案2解析如圖連接AC，EF，GH，∵分別是的中點，∴EF//AC，EF=12AC，GH//AC，GH=又∵EF=2，故GH=2．故答案為2.13．如圖，在棱長為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中A1答案2解析如圖，設BF=2FA，連接EF,CF，∵A1E=2EA，∴EF//又∵，∴EF//D1C.故.14．如圖，正方體ABCD?EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心，則異面直線與所成的角為；異面直線FO與BD所成的角為.答案45°；30°．解析（1）如圖，∵CG//BF，∴∠EBF（或其補角）為異面直線與又∵△BEF中，∠EBF=45°，∴與所成的角為45°．（2）連接FH，BD，F(xiàn)O，∵HD//EA，EA//FB，∴∴HF//BD，∴∠HFO（或其補角）為異面直線FO與BD所成的角．連接HA、AF，易得FH=HA=AF，∴△AFH為等邊三角形，又依題意知O為AH的中點，∴∠HFO=30°.即FO與15．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M,N分別是棱CD,C答案90°．解析如圖，過點M作ME//DN交于點E，連接A1E，則∠A1ME為異面直線與DN所成的角（或其補角）．設正方體的棱長為則A1M=32a,ME=54a,A1E=16．如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點.求證：CE，D1F，DA交于一點.證明：如圖所示，連接CD1所以EF//A1B且EF=12A1B所以CE與D1F必相交，設交點為P，則P∈CE且P∈D1F，又∵CE?平面ABCD且D1F?平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD17.已知在正方體中，，分別為，的中點，，.(1)求證：，，，四點共面；(2)求證：若交平面于點，則，，三點共線；證明：如圖，（1）是的中位線，．在正方體中，，．確定一個平面，即，，，四點共面（2）正方體中，設確定的平面為，又設平面為．，．又，則是與的公共點，又，，，則．故三點共線．19.如圖，已知分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點.（1）求證：四點共面；（2）若四邊形是矩形，求證：AC⊥BD.解析（1）在ΔABD中，∵E,H分別是AB,AD的中點，.同理FG//BD，則EH//FG.故四點共面.（2）由（1）知EH//BD，同理AC//GH.又∵四邊形是矩形∴EH⊥GH，故AC⊥BD.10.4直線、平面平行的判定與性質(zhì)1.如圖，在長方體木塊ABCD-A1B1C1D1中，面A1C1上有一點P，過點P畫直線與棱CD平行，則下列結(jié)論正確的是（）A.有且只有一條這樣的直線.B.有無數(shù)條這樣的直線.C.沒有這樣的直線.D.有有限條這樣的直線.答案A解析由直線和平面平行的性質(zhì)定理和判定定理可知答案A正確.2.如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，則正方體的六個面中與EF平行的平面有()A.1個B．2個 C．3個 D．4個答案D解析由直線與平面平行的判定定理知.EF與平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行.故與EF平行的平面有4個.3.在三棱錐P-ABC中,點D在PA上,且PDDA,過點D作平行于底面ABC的平面,分別交PB,PC于點E,F,若ΔABC的面積為9,則ΔDEF的面積是（）A．1 B．2 C．4 D．答案A解析畫出圖像如下圖所示，由于，故為的三等分點，由于平面平行于平面故，且相似比為，故面積比為，由于的面積為，所以三角形點的面積為，故選A.4.如圖，已知正方體的棱長為2，則下列四個結(jié)論正確的是（）A．直線與為異面直線 B．平面C．直線與為異面直線 D．平面答案ABC解析直線與、直線與不同在任何一個平面內(nèi)，滿足異面直線的定義，所以A，C正確；由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，，且，∴四邊形為平行四邊形，則，∵平面，平面，∴平面，故B正確；由于與面相交，故D錯誤.故選ABC.5．在三棱錐A－BCD中，E、F分別是AB和BC上的點，若AE︰EB＝CF︰FB＝2︰5，則直線AC與平面DEF的位置關系是()A．平行 B．相交C．直線AC在平面DEF內(nèi) D．不能確定答案A解析由AE︰EB＝CF︰FB，可得，又.故選A.6．在空間四邊形中，分別在上，且滿足，則直線與平面的位置關系是（）A．||平面 B．平面C．與平面相交 D．以上都有可能答案A解析∵，∴EF||AC.又∵，.∴||平面.故選A.7.如圖，在四面體中，截面是正方形，則（）A． B．平面C．D．分別是線段的中點答案AB解析由題意知：，，.所以，故A正確.由，平面，平面.故平面.故選AB.8.如圖所示，正方體中，分別為棱的中點，則在平面內(nèi)與平面平行的直線（）A．不存在 B．有1條 C．有2條 D．有無數(shù)條答案D解析平面與平面有公共點，由公理3知平面與平面必有過的交線，在平面內(nèi)與平行的直線有無數(shù)條，且它們都不在平面內(nèi)，由線面平行的判定定理可知它們都與平面平行.故選D.9.棱臺A1B1C1﹣ABC中，點D在A1B1上，且AA1∥BD，點M是內(nèi)（含邊界）的一個動點，且有平面BDM∥平面A1C，則動點M的軌跡是（）A．平面 B．直線C．線段，但只含1個端點 D．圓【答案】C【解析】過D作DN∥A1C1，交B1C1于N，連結(jié)BN，由于平面,平面，所以平面.∵在三棱臺A1B1C1﹣ABC中，點D在A1B1上，且AA1∥BD，且平面,平面，∴平面.∵AA1∩A1C1＝A1，BD∩DN＝D，∴平面BDN∥平面A1C，∵點M是內(nèi)（含邊界）的一個動點，且有平面BDM∥平面A1C，∴M的軌跡是線段DN，且M與D不重合，∴動點M的軌跡是線段，但只含1個端點.故選C.10.兩條直線，，β是兩個不同的平面，則∥β的一個充分條件是（）A．存在一條直線a，a∥，a∥βB．存在一條直線a，a?，a∥βC．存在兩條平行直線a、b，a?，b?β，a∥β，b∥D．存在兩條異面直線a、b，a?，b?β，a∥β，b∥【答案】D【解析】對于選項A，若存在一條直線，，，則或與相交.若，則存在一條直線，使得，，所以選項A的內(nèi)容是的一個必要條件而不是充分條件；對于選項B，存在一條直線，，，則或與相交.若，則存在一條直線，，，所以，選項B的內(nèi)容是的一個必要條件而不是充分條件；對于選項C，存在兩條平行直線a、b，a?，b?β，a∥β，b∥，則或與相交.若，則存在兩條平行直線a、b，a?，b?β，a∥β，b∥，故選項C的內(nèi)容是的一個必要條件而不是充分條件；對于選項D，可以通過平移把兩條異面直線平移到其中一個平面中，成為相交直線，由面面平行的判定定理可知，，則，所以選項D的內(nèi)容是的一個充分條件.故選D.11.已知是兩個不同的平面，m，n是平面和之外的兩條不同的直線，且，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性：因為，，所以，又因為，所以或，又因為m是平面和之外的直線，所以；必要性：因為，，所以或與相交或，又因為，所以與平行，相交，異面，所以必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件，故選A.12.已知在三棱錐中，為線段的中點，點在(含邊界位置)內(nèi)，則滿足平面的點的軌跡為（）A．線段，的中點連接而成的線段B．線段的中點與線段靠近點的三等分點連接而成的線段C．線段的中點與線段靠近點的三等分點連接而成的線段D．線段靠近點的三等分點與線段靠近點的三等分點連接而成的線段【答案】A【解析】如圖所示，P、Q分別為線段，的中點，所以,平面,平面，所以平面，同理平面，,所以平面平面，若平面,則會有平面，故點的軌跡為線段，的中點連接而成的線段，故選A.13.（2021·四川仁壽模擬）正方體的棱長為，分別為的中點.則下列說法錯誤的是（）A．直線A1G與平面AEF平行B．直線DD1與直線AF垂直C．異面直線A1G與EF所成角的余弦值為D．平面AEF截正方體所得的截面面積為【答案】B【解析】正方體中，連接AD1，F(xiàn)D1，GF，BC1，如圖：因點E，F(xiàn)是BC，CC1中點，則EF//BC1，而正方體的對角面ABC1D1是矩形，則AD1//BC1//EF，連GF，因G是棱BB1中點，則GF//B1C1//A1D1，且，即四邊形A1GFD1是平行四邊形，A1G//D1F，平面AEF，平面AEF，于是A1G//平面AEF，A正確；因平面ABCD，而平面ABCD，即有AE，若AF，必有平面AEFD1，AD1，與矛盾，B不正確；因EF//AD1，A1G//D1F，則異面直線與所成角是或其補角，作于M，顯然，即四邊形AEFD1是等腰梯形，，，，C正確；，平面截正方體所得的截面是等腰梯形AEFD1，等腰梯形AEFD1的面積為，D正確.故選B.14.（2021·福建莆田模擬）在直三棱柱中，各棱長均為2，分別為線段的中點，則（）A．平面平面 B．C．直線和所成角的余弦值為 D．該棱柱外接球的表面積為【答案】ABD【解析】對于A：在直三棱柱中，各棱長均為2，分別為線段的中點，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為面，面，所以面，因為且，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為面，面，所以面，因為，所以平面平面，故選項A正確；對于B：因為是等邊三角形，是線段的中點，可得，因為三棱柱為直棱柱，可得面，面，所以，由，所以面，因為面，所以，故選項B正確；對于C：因為所以即為異面直線和所成角，，，，由余弦定理可得：，故選項C不正確；對于D：設上下底面的中心分別為，，則三棱錐的外接球的球心為的中點，設外接圓的半徑為，三棱錐的外接球的半徑為，則，所以，所以外接球的表面積為，故選項D正確.故選ABD.15.在長方體中，，，，，分別是棱，，的中點，是底面內(nèi)一動點，若直線與平面平行，當三角形的面積最小時，三棱錐的外接球的體積是______．【答案】【解析】補全截面為截面如圖，設，直線與平面不存在公共點，平面，易知平面平面，，且當與重合時，最短，此時的面積最小，由等面積法得，即，，，，平面，則，又，為三棱錐的外接球的直徑，長度為．三棱錐的外接球的半徑為，體積為．16.下列四個正方體圖形中，為正方體的兩個頂點，分別為其所在棱的中點，能得出平面的圖形的序號是________．答案①④解析在①中：如圖：∵分別為其所在棱的中點,∴,∵面，面，∴面，同理可得面∵，∴面面，∵AB?面，∴AB∥平面故①成立.在②中，若下底面中心為，連接，可得，面，所以與平面不平行，故②不成立；在③中：如圖：平面即為平面，因為面，所以與面不平行，故③不成立；在④中：如圖：且所以四邊形是平行四邊形，可得，因為，所以因為面，面，所以所以平面，故④成立．故答案為①④.17.已知是平面外的兩條直線，給出下列三個論斷：①；②；③，以其中兩個為條件，余下的一個為結(jié)論，寫出你認為正確的一個________．答案①②③（或①③②）解析可由①②?③.因為由②，由線面平行的性質(zhì)定理，可過直線可作出一個平面與交于一直線，可得，故，由線面平行的判定定理可得③；也可由①③?②.因為同理由③可知過直線n可作出一個平面與α交于一直線，可得，故，由線面平行的判定定理可得②；不能由②③?①.因為由②③可推出直線m、n可能相交，平行或異面．下列三個說法：①若直線在平面外，則；②若直線，直線，則；③若，則與內(nèi)任意直線平行．其中正確的有________．答案②解析直線在平面外，包含直線與相交、直線與平行兩種情況，故①不正確；由直線與平面平行的判定定理知②正確；③中與內(nèi)的直線可能平行，相交、異面，③不正確．故答案為②19.如圖，O是長方體底面對角線AC與BD的交點，則B1O與平面的位置關系為.答案平行解析如圖,連接交于點,連接.，四邊形為平行四邊形，.易知∴四邊形為平行四邊形,.∵B1O不包含于平面,平面,平面.20.如圖，在五面體中，四邊形為矩形，分別是的中點，則與的位置關系是_______，與平面的位置關系是______．解析：∵分別是的中點，∴MN∥CF.又∵四邊形為矩形,∴CF∥DE,∴MN∥DE又.∵平面,平面∴平面．21.用一個平面去截直三棱柱，交分別于點.若，則截面的形狀可以為________.（把你認為可能的結(jié)果的序號填在橫線上）①一般的平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形.【答案】②⑤【解析】由面面且為直三棱柱，易知截面中，當時，此時，四邊形為矩形；當不與平行時，四邊形為梯形.故答案為：②⑤22.（2021·安徽蕪湖模擬）已知正方體，點是中點，點為的中點，點為棱上一點，且滿足平面，則直線與所成角的余弦值為_______．【答案】【解析】設分別是的中點，連接，顯然有且，因為四邊形是正方形，點為的中點，所以且，因為四邊形是正方形，點是中點，所以且，因此且，所以四邊形是平行四邊形，因此有，而平面，平面，所以平面，因此兩點重合，因此直線與所成角為或其補角，設正方體的棱長為4，由勾股定理可知：，，顯然，，在中，，故答案為：23.（2021·福建高三一模）如圖，在長方體中，，，，點是棱的中點，點在棱上，且滿足，是側(cè)面四邊形內(nèi)一動點（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是_________．【答案】【解析】取中點，在上取點，使，連結(jié)、、，則平面平面，∵是側(cè)面四邊形內(nèi)一動點（含邊界），平面，∴線段，∴當與的中點重合時，線段長度取最小值，當與點或點重合時，線段長度取最大值或，∵在長方體中，，，，點是棱的中點，點在棱上，且滿足，∴，，．∴線段長度的取值范圍是．故答案為：24.如圖，三棱柱中，分別是棱的中點.判斷直線EF與平面的關系.解析：連接，∵分別是的中點，∴DE∥AC且，∵是三棱柱，∴且，∴四邊形是平行四邊形，∴且.∵是的中點，∴且.∴且，∴四邊形是平行四邊形，∴.又∵平面平面，∴平面25.圖所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F(xiàn)，G分別為線段PC，PD，BC的中點，現(xiàn)將△PDC折起，使點P平面ABCD.求證：平面PAB∥平面EFG.【解析】因為PE＝EC，PF＝FD，所以EF∥CD，又因為CD∥AB，所以EF∥AB，又EF平面PAB，AB平面PAB，所以EF∥平面PAB，同理可證EG∥平面PAB.又因為EF∩EG＝E，所以平面PAB∥平面EFG.10.5直線、平面垂直的判斷與性質(zhì)1.《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接，，，.則在陽馬中，鱉臑的個數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為底面，所以，由底面為長方形，有，而，所以平面，同理平面，故四面體和都是鱉臑.而平面，所以.又因為，點是的中點，所以.而，所以平面.而平面，所以.又，，所以平面.由平面，平面，可知四面體?和的四個面都是直角三角形，即四面體?和都是鱉臑.綜上有個鱉臑.故選B.2.（2021·河南安陽模擬）已知四棱錐的頂點都在球上，平面，底面為矩形，，若球的表面積為，則四棱錐的體積為___________；若，分別是，的中點，則點到平面的距離為___________.【答案】【解析】由題意可知，球心為的中點，故球的直徑，所以，，，所以四棱錐的體積為；設球心到平面的距離為，由題意可知，球心到平面的距離等于點到平面的距離，在三棱錐中，由等體積法可得，即，解得．故答案為：；.6.如圖，在邊長為的正方形中，、分別是、的中點.若沿、及把這個正方形折成一個四面體，使、、三點重合，重合后的點記為，則：（1）三棱錐外接球的表面積為___________；（2）點到平面的距離為___________.【解析】（1）在正方形中，，，，在三棱錐中，則，，，平面，且，將三棱錐補成長方體，所以，三棱錐外接球的直徑為，因此，三棱錐外接球的表面積為；（2），，，取的中點，連接，則，，則，設點到平面的距離為，由，可得，解得.故答案為：；.7.《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的鱉臑中，平面，，，，為中點，為內(nèi)的動點（含邊界），且.①當在上時，______；②點的軌跡的長度為______.【答案】2【解析】(1)當在上時,因為平面,故,又,故平面.故.又,為中點,故所以為中點.故.(2)取中點則由(1)有平面,故,又,設平面則有平面.故點的軌跡為.又此時,,故.所以.故答案為：(1).2(2).8.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB,P為A1B的中點，Q為棱CC1的中點，下列結(jié)論不正確的是（）PQ⊥ABB.PQ⊥CC1C.PQ⊥A1BD.PQ⊥A1C1答案：D解析：C-A1B1C1中，∵CC1⊥CE，∴CC1⊥PQ，故B正確.在平面ABB1A1中，∵CE⊥AB，CE⊥B1B且AB∩B1B=B，∴CE⊥平面ABB1A1∴CE⊥A1B，即PQ⊥A1B，故C正確，所以選D.9.如圖，平行四邊形的邊平面，且，，則（）A．2 B．3 C． D．答案D解析平行四邊形中，，，平面∴平面，又∵平面.∴,∴，故選D．10．如圖，四棱錐底面為正方形，底面，則下列結(jié)論中正確的有（）平面C．與平面所成的角是D．與所成的角等于與所成的角答案ABCD解析∵是正方形∴又∵面面∴∵平面∴平面∵平面∴故A正確.∵平面平面∴平面故B正確.∵底面∴與平面所成的角是故C正確.∵與所成的角等于與所成的角，故D正確.故選ABCD．11.日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為（）A．20° B．40°C．50° D．90°答案B解析畫出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；是點處的水平面的截線，依題意可知；是晷針所在直線.是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知根據(jù)線面垂直的定義可得由于∴由于∴即晷針與點處的水平面所成角為.故選B12.如圖,在三棱錐A-BCD中,E為CD的中點，0為BD上一點,且BC//平面AOE.(1)求證:O是BD的中點.(2)若AB=AD,BC⊥BD,求證:平面ABD⊥平面AOE.解析(1)∵BC//平面AOEBC?平面BCD平面BCD∩平面AOE=OE∴BC//OE∵E為CD的中點∴O是BD的中點..(2)∵BC//OEBC⊥BD,∴OE⊥BD∵AB=ADO是BD的中點∴OA⊥BD,∵OE∩OA=O且OE,OA都在平面AOE內(nèi)∴BD⊥平面AOE∵BDC平面ABD,∴平面ABD⊥平面AOE.13.如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD.上,且EF⊥AD.求證:(1)EF//平面ABC;(2)AD⊥AC.證明：(1)在平面ABD內(nèi)∵AB⊥ADEF⊥AD∴EF//AB.又∵EF不包含于平面ABCAB?平面ABC∴EF//平面ABC.(2∵平面ABD⊥平面BCD平面ABD∩平面BCD=BDBC?平面BCDBC⊥BD∴BC⊥平面ABD.∵AD?平面ABD∴BC⊥AD.又AB⊥ADBC∩AB=BAB?平面ABCBC?平面ABC∴AD⊥平面ABC又∵AC?平面ABC∴AD⊥AC14.如圖,在正三棱柱ABC-AlB1C1中,E,F分別為BB1,AC的中點，(1)求證:BF//平面A1EC(2)求證:平面A1EC⊥平面ACC1A1證明：(1)連接AC1交A1C于點0,連接OE,OF在正三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形ACC1A1為平行四邊形∴0A=OC1又∵F為AC的中點∴OF//CC1且OF=12CC1∵E為BB1的中點∴BE//CC1且BE=12CC∴BE//OF且BE=OF∴四邊形BEOF是平行四邊形∴BF//OE.又∵BF不包含于平面A1ECOE?平面A1EC∴BF//平面A1EC.(2)由(1)知BF//OE∵AB=CBF為AC的中點，∴BF⊥AC∴OE⊥AC.又∵AA1⊥底面ABC而BF?底面ABC,∴AA1⊥BF由BF//OE得OE⊥AA1而AA1,AC?平面ACC1A1且AA∩AC=A∴OE⊥平面ACC1A1∵OE?平面A1EC∴平面A1EC⊥平面ACC1A115.如圖，在直三棱柱中，側(cè)棱長為2，是的中點，是上的動點，交于點，要使平面，求線段的長．答案線段的長為解析設，因為平面，平面，所以．由可得，所以．設Rt△AA1B1斜邊上的高為，則．又，所以，．在Rt△DB1E中，．在Rt△DB1F中，由面積相等得，解得，即線段的長為．16．如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點為O，且平面．（1）證明：；（2）若，，，求到平面ABC的距離．解析（1）證明：連接，則O為與的交點，∵側(cè)面為菱形，∴，∵平面，∴，∵，∴平面ABO，∵AB?平面ABO，∴．（2）作OD⊥BC，垂足為D，連接AD，作，垂足為H，∵∴平面AOD∴∵∴平面ABC∵∴△CBB1∵∴∵∴∴，由∴∵O為的中點，∴到平面ABC的距離為．單元檢測十1.（2021·福建福州質(zhì)檢）如圖，在下列四個正方體中，，為正方體的兩個頂點，，，為所在棱的中點，則在這四個正方體中，則不能判斷直線平面的是A． B． C． D．【解析】：對于選項，連結(jié)，，如圖①所示，因為，，為所在棱的中點，由中位線定理可得，，，且，，，平面，，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面，故選項正確；對于選項，如圖②所示，因為，，為所在棱的中點，所以，且，故四邊形為平行四邊形，故，因為平面，平面，所以平面，故選項正確；對于選項，連結(jié)上底面的對角線交于點，連結(jié)，如圖③所示，因為，，為所在棱的中點，由中位線定理可得，，因為與平面相交，故與平面不平行，故選項不正確；對于選項，連結(jié)上底面的對角線，如圖④所示，因為，，為所在棱的中點，所以，，又因為，，，平面，，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故選項正確．故選：C．2