TheoreticalMechanics第三篇動力學

第18章拉格朗日方程與哈密頓原理主講賈啟芬

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第18章拉格朗日方程與哈密頓原理

設質點系有n個質點，受s個完整約束且系統(tǒng)所受的約束是理想約束，自由度

k=3n-s

。

質點。若取系統(tǒng)的一組廣義坐標為，則為廣義速度。

18.1第二類拉格朗日方程TheoreticalMechanics代入質點系動力學普遍方程，得：為廣義力由于拉格朗日第二類動力學方程，簡稱拉格朗日方程。經(jīng)推導得

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18.1第二類拉格朗日方程

如果作用于質點系的力是有勢力，則廣義力可用質點系的勢能來表達。而拉氏方程為：引入拉格朗日函數(shù)：保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。

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18.1第二類拉格朗日方程

應用拉氏方程解題的步驟：

1.判定質點系的自由度k，選取適宜的廣義坐標。必須注意：不能遺漏獨立的坐標，也不能有多余的（不獨立）坐標。

2.計算質點系的動能T，表示為廣義速度和廣義坐標的函數(shù)。

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18.1第二類拉格朗日方程或

若主動力為有勢力，須將勢能U表示為廣義坐標的函數(shù)。

4.建立拉氏方程并加以整理，得出k個二階常微分方程。

5.求出上述一組微分方程的積分。

3.計算廣義力，計算公式為：

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18.1第二類拉格朗日方程

例已知：彈性系數(shù)為k

，滑塊質量為m1,水平面光滑單擺長l，擺錘質量為m2

，試列出該系統(tǒng)的運動微分方程。解：系統(tǒng)為二自由度保守系統(tǒng)。取x

,為廣義坐標，x

軸

原點位于彈簧自然長度位置，

逆時針轉向為正。

例題TheoreticalMechanics

18.1第二類拉格朗日方程系統(tǒng)動能：

例題TheoreticalMechanics

18.1第二類拉格朗日方程

系統(tǒng)勢能：（以彈簧原長為彈性勢能零點，滑塊A所在平面為重力勢能零點）拉格朗日函數(shù)：

例題TheoreticalMechanics

18.1第二類拉格朗日方程代入拉氏方程：化簡得：系統(tǒng)的運動微分方程。

例題TheoreticalMechanics

18.1第二類拉格朗日方程

上式為系統(tǒng)在平衡位置(x=0,=0)附近微幅運動的微分方程。

若系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅運動，此時<<5o,cos1,sin

，略去二階以上無窮小量，則

例題TheoreticalMechanics

18.1第二類拉格朗日方程例圖示系統(tǒng)中，物塊A與球B

看成兩個質點，質量分別為m1及m2，用質量不計的長為l的桿相連。水平面光滑，求系統(tǒng)的運動微分方程。解：系統(tǒng)受理想約束，主動力(重力)有勢。系統(tǒng)有二自由度(x、)。

例題TheoreticalMechanics

18.1第二類拉格朗日方程代入拉氏方程

例題TheoreticalMechanics

18.1第二類拉格朗日方程得系統(tǒng)運動微分方程

略去所有二階以上的小量，即得線性化方程

例題TheoreticalMechanics

18.1第二類拉格朗日方程

例楔形體重P，傾角，在光滑水平面上。圓柱體重Q，半徑為

r

，只滾不滑。初始系統(tǒng)靜止，圓柱體在斜面最高點。試求：(1)系統(tǒng)的運動微分方程；(2)楔形體的加速度。解：研究整體系統(tǒng)。具有兩個自由度。取廣義坐標為x,s

；各坐標原點均在初始位置。

例題TheoreticalMechanics

18.1第二類拉格朗日方程系統(tǒng)的動能：系統(tǒng)的勢能：取水平面為重力勢能零點。

例題TheoreticalMechanics

18.1第二類拉格朗日方程代入保守系統(tǒng)拉氏方程拉格朗日函數(shù)：并適當化簡，得到系統(tǒng)的運動微分方程。

例題TheoreticalMechanics

18.1第二類拉格朗日方程解得楔形體的加速度為

拉格朗日函數(shù)L中不顯含t

，故系統(tǒng)存在能量積分。

例題TheoreticalMechanics

18.1第二類拉格朗日方程

圖

擺振系統(tǒng)例圖示系統(tǒng)，擺的支點在水平方向受到彈性約束，其總剛度為k，擺的質量為m，擺長為l。試用拉格朗日方程求出系統(tǒng)的運動方程。解：（1）選擇x及

為廣義坐標。（2）動能及勢能動能：勢能：（3）廣義外力為零MechanicalandStructuralVibration例題

18.1第二類拉格朗日方程

這就是擺的運動方程。當微幅振動時，取cos

≈1，sin=0，并可略去高階項，則可簡化為兩式相減得到得到運動方程圖

擺振系統(tǒng)（4）運動方程MechanicalandStructuralVibration例題

18.1第二類拉格朗日方程

解：取剛體質心O點偏離平衡位置的x、y和剛體繞質心的轉角為廣義坐標，即圖

剛體微幅運動例圖示的剛體由四根拉伸彈簧支承，被限制在圖示平面內運動。圖示位置為平衡位置。且質量為m，轉動慣量IO。試導出微幅運動微分方程。并且四根彈簧端點的坐標分別為MechanicalandStructuralVibration例題

18.1第二類拉格朗日方程

圖剛體微幅運動系統(tǒng)的動能為系統(tǒng)的勢能為計算拉格朗日方程中各項導數(shù)拉格朗日方程MechanicalandStructuralVibration例題

18.1第二類拉格朗日方程

代入拉格朗日方程，得系統(tǒng)運動微分方程為圖

剛體微幅運動MechanicalandStructuralVibration例題

18.1第二類拉格朗日方程

例均質圓柱體的半徑為r，質量為mO，在水平面上滾動而無滑動。在其中心水平軸O上，裝有一細長桿的單擺，擺長l，集中質量為m。細長桿的質量不計。求此系統(tǒng)在其平衡位置附近作微幅擺動的固有頻率。MechanicalandStructuralVibration例題

18.1第二類拉格朗日方程

系統(tǒng)的動能為均質圓柱體的動能與集中質量動能的算術和MechanicalandStructuralVibration例題

18.1第二類拉格朗日方程

選取通過O軸的水平面為重力的零勢能平面，此系統(tǒng)的勢能函數(shù)、拉格朗日函數(shù)為對于廣義坐標來說，MechanicalandStructuralVibration例題

18.1第二類拉格朗日方程

或對于廣義坐標來說，

MechanicalandStructuralVibration例題

18.1第二類拉格朗日方程

分析此系統(tǒng)在其平衡位置附近的微幅運動，即都很小，sin=、sin2

=2、cos

=1、sin2

=0、

=0MechanicalandStructuralVibration例題

18.1第二類拉格朗日方程

返回首頁例質量為m、半徑為r的粗糙圓柱體在一空心圓柱體內的表面上作純滾動。這空心圓柱體的質量為M；半徑為R，可繞中心水平軸O轉動。兩圓柱體均系均質。寫出系統(tǒng)的運動微分方程。系統(tǒng)的勢能為解：系統(tǒng)有兩個自由度。取空心圓柱體的轉角和兩柱心連線的轉角為廣義坐標。設小圓柱體的角速度為。系統(tǒng)的動能為