1nnn1n1n222221nnn1n1n2222222第

高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)高考資料高考?xì)v年考試真題數(shù)列求和考綱要求熟練掌等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．．掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方.

考情分析2016·全卷Ⅱ，2016·江卷182016·北卷12分值：5分

命題趨勢利用公式求數(shù)列的前n項(xiàng)，利用常見求和模型求數(shù)列的前n項(xiàng)和．公式法與分組求法(1)公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前項(xiàng)公式求和．①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：anS＝＝__＋dn2②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：1q＝，S＝－a＝__，≠－1－(2)分組求和法若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成和時可用分組求和法分別求和后相加減．．倒序相加法與并求和法(1)倒序相加法如果一個數(shù)列{

n

}

的前項(xiàng)首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項(xiàng)可用倒序相加法差數(shù)列的前n項(xiàng)公式即是用此法推導(dǎo)的．(2)并項(xiàng)求和法在一個數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如＝－fn)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．n例如，S＝－99＋98－97＋…＋2－1＝(100－)＋－)＋＋－1)n＝(100＋＋＋97)＋…＋＋＝050.．裂項(xiàng)相消法

－＝－＝1n122nn－－1nn＋2高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)高考資料高考?xì)v年考試真題－＝－＝1n122nn－－1nn＋2(1)把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求時中間的一些項(xiàng)可以相互抵消而求得其和．(2)常見的裂項(xiàng)技巧①②

11＝－.n＋112＋2

③④

11212n＝＋1－＋n＋

．錯位相減法如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的個數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來求，如比數(shù)列的前n項(xiàng)公式就是用此法推導(dǎo)的．．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或”．a(chǎn)(1)如果已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式則在求其前項(xiàng)時使用公式S＝較合n2理．√

)(2)如果數(shù)列{

n

}

－a為等比數(shù)列，且公比不等于，則其前n項(xiàng)S＝√)n－q11(3)當(dāng)≥2時＝－)－1－1＋1(4)求＝＋2＋a＋＋na時只要把上式等號兩邊同時乘a即根據(jù)錯位相減法n求得．)(5)如果數(shù)列{}數(shù)．(√)

是周期為k的期數(shù)列，那么

S＝mS(m，為于的正整k解析(1)確．根據(jù)等差數(shù)列求和公式以及運(yùn)算的合理性可知．(2)正確．根據(jù)等比數(shù)列的求和公和通項(xiàng)公式可知．1(3)錯誤．直接驗(yàn)證可知＝

(4)錯誤．含有字母的數(shù)列求和常要分類討論，此題需要a＝0a，以及≠0且≠三種情況求和，只有當(dāng)≠0且a≠1時能用錯位相減法求和．(5)正確．根據(jù)周期性可得．．在數(shù)列{}＝，＝a＋n1nA1ln2C．3＋5

＋，則a＝(D5B2＋ln3D．2＋ln5

)

nnn2nnn123n2nnn2n2nnnn*n1n13n23nn2nnnn2nnn123n2nnn2n2nnnn*n1n13n23nn2nnnn1n1n1nn解析因?yàn)椋璦＝n

高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)高考資料高考?xì)v年考試真題n＋＝＝ln(n－n所以－＝(a－a)(a－a)＋－)＋(－)5544332＝(ln－4)(ln－3)(ln3－ln2)＋(ln2－ln1)＝－＝5所以a＝a＋52＋ln5，故選D．5．若數(shù){}

的通項(xiàng)公式為＝2n2－，則數(shù)列{}n

的前和為C)A2＋n－1

B＋－C．

＋n

2

－2

D．2

＋－2解析S＝＋＋a＋…＋n

n＝＋2×＋(2＋×2－＋＋×3－1)…＋(2＋2－1)＝2＋…＋2)＋2(1＋2＋＋…＋)＝

n＋2×－＝－＋n＋－－2＝2

＋n

－．若數(shù){}

的通項(xiàng)公式是＝(1)(3－2)，則＋＋a＋＋＝A)n2310A15C．

B12D．15解析∵＝－n2)，∴a＋a＋a＋＋n1

10＝－＋4－710＋－19＋22＋28＝(－1＋(－710)＋(－13＋16)＋(＋22)＋－＋＝3×5＝．已知數(shù)列{

}n

的前n項(xiàng)為S且a＝n

nN

)，則S＝－n

＋解析∵＝·2，n∴＝＋＋3·2＋…＋n.①n∴2＝n

＋＋…＋(n－1)·2＋

.②①－②，得＝2＋＋＋－·2n＝

－n＝－2－＝(1－2.－∴＝(n－＋2.n一

分組法求和分組求和法的常見類型(1)若＝c，且{nnn

}{nn

}

為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法{

n

}

的前n項(xiàng)

n5261322n2n22n2nnnn5261322n2n22n2nnn2和．(2)通項(xiàng)公式為a＝n

，n奇數(shù)，nc，為數(shù)n

的數(shù)列，其中數(shù){}{}nn

是等比或等差數(shù)列，可采用分組求和法．【例】已知差數(shù)列{

n

}足＝，a＋＝14.56(1)求

{

}n

的通項(xiàng)公式；(2)若＝＋(q0)，求數(shù)列{nnn

}n

的前和.n解析(1)數(shù){}公差為，9則由＝，＋a＝14得解得＝14.所以{

n

}

的通項(xiàng)公式為a＝－n(2)由＝n－＝－1n

2n

當(dāng)＞0且q時＝[13＋5＋7＋…＋(2－＋(q＋＋q＋q＋…＋q＝n＋；－當(dāng)＝1時＝，S＝n．n所以數(shù){

n

，}前項(xiàng)和＝q＋，＞0q≠1.1－q二

錯位相減法求和利用錯位相減法求和的兩點(diǎn)注意在出”與”的達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出n“－”的表達(dá)式．nn(2)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于和不等于1兩種情況求解．同時要注意等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是多少．【例2若公比為的比數(shù)列{

n

}

＋的首項(xiàng)＝1足＝(n＝．1n2(1)求值；(2)設(shè)＝，數(shù)列{n

}n

的前n項(xiàng)n解析(1)題意易知＝a＋，nn2即a＝q＋q.11∴2－－10，解得＝1或q－

n1＋0－＋12－＋12n1n932**n1＋0－＋12－＋12n1n932**n－22＋＋an－－nn1nn1nn1nn(2)①當(dāng)＝1時＝，b＝，＝1②當(dāng)＝－時，a＝－，＝－n

n

1

，S＝1·n

－

2

－＋＋n

－

n

1－S＝1·

－＋＋(n－

－＋

－

n兩式相減，得＝1n

－n－＋－＋－＋…＋－n

，421整理得＝－＋－n三

裂項(xiàng)相消法求和常見的裂項(xiàng)方法數(shù)列(∈N)

裂項(xiàng)方法(∈N)為非零常數(shù))

＝

－＋k

＝n－12

－n11

1＝n

1－1

nnk

＝(＋k－nk＋＞0，a≠1)

loga

1＝log(n－lognaa

11＝－－－12－1－1【例】已知項(xiàng)數(shù)列{}前和為，，，成差數(shù)列．n2(1)證明：數(shù)列{}

是等比數(shù)列；1(2)若＝＋，求數(shù)n項(xiàng)和T.n2nnn1解析(1)明：由題意知2＝＋.n當(dāng)＝1時a＝＋，∴＝112當(dāng)≥2時S＝a－，＝a－，nn11兩式相減，得a＝a－2(≥，即a＝nnn1

nnn2n－∴＝－＋－＋－＋－＋＋2nn22nnnnnn{}nn2n*高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)高考資料高考?xì)v年nnn2n－∴＝－＋－＋－＋－＋＋2nn22nnnnnn{}nn2n*∵

{

}n

為正項(xiàng)數(shù)列，∴＝n，n∴數(shù)列{}n

是以為首，以為比的等比數(shù)列．(2)由(1)知a＝＝，＝log2＋＝－2＋3＋1.n∴

11＝＝－.b＋nnn11n5＋2

1n＝－＝.＋2．已知等比數(shù){

n

}

中＝a，差數(shù){25

n

}

中＋＝，數(shù){4

n

}

的前項(xiàng)和S＝B)9A9C．

B18D．72解析∵＝，a＝4，∴＝，255∴a＝＋b＝＝，∴＝2.∴＝9＝18，故選．5455．已知正項(xiàng)數(shù)列{}足a2－6a2.＝，則數(shù){}n1n1

的前n項(xiàng)為_

n－1__.解析∵－a＝a，(a－a＋)＝0.nn1∵a＞，∴＝a.＝，nn∴

{

}n

是首項(xiàng)為2公比為3的等比數(shù)列．∴＝＝－n－．在數(shù){}

中，a＝，＝a－1nnn(1)求數(shù)列{}

的通項(xiàng)公式；(2)若＝，求數(shù)列{nan

n

}前n項(xiàng)Sn1解析(1)題意得－＝n1又因?yàn)椋?，所以＝所?shù)項(xiàng)1公差為1的差數(shù)列，所以＝n1a1n1即a＝，以數(shù)列a的通項(xiàng)公式為＝nn(2)由(1)得b＝n＋2)．n所以＝1－＋－4＋3－lg＋＋lg(－－lg＋lg(n－1)－lg(n＋＋nlgn－lg(n＝＋lg2－lg(n－n2)＝lg.．設(shè)數(shù){}

滿足＋a＋3＋＋13

＝(nN)．n

n2nn*n23n234n3nnnn17103nnn1nnnn高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)高考資料高考?xì)v年考試真題n2nn*n23n234n3nnnn17103nnn1nnnn(1)求數(shù)列{

}n

的通項(xiàng)；(2)設(shè)＝，數(shù)列{nan

}n

的前項(xiàng)和Sn解析(1)a＋3a＋1

2

＋＋33

＝①n3∴a＝，13＋3＋a＋…＋31

n

＝1

－(≥，－11①－②，得3＝－＝(n≥，化簡得＝≥．n3顯然，a＝也足上式，故＝∈N)．13n3(2)由(1)得b＝n

n

于是＝×3＋×3＋×3＋…＋，nS＝×3＋×＋×3＋…＋，n③－④，得2＝3n

2

＋3＋＋

－n

n，－2n3即－2＝－n·3∴＝·3＋n－3n4易錯點(diǎn)求時數(shù)不清項(xiàng)錯因分析：弄清和式的構(gòu)成規(guī)律數(shù)清項(xiàng)數(shù)的關(guān)鍵．【例】設(shè)(n＝2＋

4

＋2

＋2

＋…＋2

10

(≥，nZ，則f(＝()A(8－C．(8－1)

BD．(8

－1)－1)解析1×1－2,3n＝＋4)－2所n)是首項(xiàng)為2公比為等比數(shù)列的前＋項(xiàng)的和．由求和公式得fn＝＝(8－7

4

－1)選D．答案：D【跟蹤訓(xùn)練1把數(shù)列依次按第一個括號內(nèi)一個數(shù)，二個括號內(nèi)兩個數(shù)，第三個括號內(nèi)三個數(shù)第四個括號內(nèi)一數(shù)…循環(huán)分組((7,9,11)(15,17)，，(25)，…則第50個號內(nèi)各之和__392__.解析將三括號作為一組，則由5＝16＋，知第50個號為第17組第二個括號即50個括號中應(yīng)是兩個數(shù)又為每組含有個數(shù)所以第個括號的最末一

－1nn－＋－－＋－＋＋高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)高考資料高考?xì)v年考試真題－1nn－＋－－＋－＋＋個數(shù)為數(shù)列{2－1}的第16×＝96項(xiàng)50個號的第一個數(shù)應(yīng)為數(shù){n1}的第項(xiàng)即為×－＝195第二個數(shù)為×－1＝，故第個號內(nèi)各數(shù)之和為＋＝392.易錯點(diǎn)找到裂項(xiàng)相消規(guī)律錯因分析：看清是相鄰項(xiàng)相消還隔項(xiàng)相消，同時注意系數(shù)．【例】求和＋＋＋×31解析＝＝1

，1111－＋－＋－＋…－＋592－1n3∴原式＝1－n2n5

＝

＋－－n2＋5n＝－11【跟蹤訓(xùn)練】數(shù)列1，，，，，的前項(xiàng)＋＋2＋3＋2＋3＋2＋…＋和為B)A

nn

B

n＋1＋C．＋

D．

nn＋解析

2＝＝2＋＋3＋…n

，數(shù)列

111，，，…的n項(xiàng)和為＋1＋31＋2＋＋1＋3＋…＋

3n＋

＝

－n1

n＝＋

，故選．課時達(dá)標(biāo)

第31講[解密考綱]n一、選擇題

nnn6n6m2a5＋d，高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)高考資料高考?xì)v年考試真題nnn6n6m2a5＋d，．?dāng)?shù)列{a}前n和為S，＝，＝(D)A

BC．

D．1111116解析因?yàn)椋剑剑裕剑剑剑?22377．已知S＝nA11C．120

1＋＋＋＋，S＝10，則＝C)＋3＋22＋＋1B99D．121解析因?yàn)?/p>

＋1n

＋1＝＝n＋1－所S＝－＋－2…＋＋－nmm1m＝＋1由知得1＝10所以＝120故選C．．在數(shù)列{}，已知＝，a－＝n1nn則S＝D)2

，記為數(shù)列{a}前n項(xiàng)，nA1C．

BD．1π解析由題，得＝＋，以＝＋π＝1，a＝＋＝0，ann

45π＝a＋2＝＝＋＝，…，因此，數(shù){}一以為期的周期數(shù)列，而301845042所以＝×＋＋＋a)＋＝010故選D．21221．已知等差數(shù){}前n項(xiàng)和為S＝，S＝，則數(shù)100項(xiàng)為n5nn1(A)AC．

BD．解析設(shè)等數(shù)列{}首項(xiàng)為a，公差為n1＝5∵a55，S5＝，∴×∴

∴a＝a＋(n＝nn

**2112nn11009－＋1n**2112nn11009－＋1n∴

高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)高考資料高考?xì)v年考試真題1111＝＝－，數(shù)項(xiàng)和為1－＋－＋…－ann112＝1＝101．?dāng)?shù)列{a}通公式＝nnnA2C．504

n，其前項(xiàng)為S，S＝)nB－1D．0π解析因?yàn)椋絚os，以當(dāng)n為數(shù)時，a＝，n2當(dāng)偶數(shù)時，a＝n

，＝4m－n＝－2，

其中N，所以＝＋＋＋＋＋…＋a＋a＋a22452017＝a＋＋a＋＋…＋＋242018＝－＋4－68－10－14＋＋016－018＝(－2＋(－68)＋－10＋12)…(－＋016)－＝×5042018－1010，故選B．．已知數(shù)列{}足a＝1＝2n1n

n

(n∈

)，是列{}前項(xiàng)，則n

2018＝)A2－1

B3×2－3C．3×2

－1

D．3×

－2解析依題得aa＝2，a＝n1nn2

n1，于是有annan1

＝2，即＝2，數(shù)列，，，，，…是＝為項(xiàng)為公比131n的等比數(shù)列；數(shù)列，，，…，，…是＝為首項(xiàng)為比的等比數(shù)列，于是22有S

2018

＝(a＋a＋＋＋1017

)＋(a＋a＋＋＋a262018

－2)＝＋＝×2－－2

1－二、填空題2．在數(shù)列{}＝＋＋…＋，又＝，則數(shù)列{}前n項(xiàng)nn＋1＋ann1n為___.＋解析∵＝n

n8＝，∴b＝＝＋2

∴b＋＋…＋＝12

111－＋－＋…－3n＋1

n＝＋1

**12n2*22222n21n2*n11nn1n23n1nn22高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)高考資料高考?xì)v年考試真題**12n2*22222n21n2*n11nn1n23n1nn22．(2018·河鄭州模擬設(shè)數(shù)列{}通公式為＝2－10(Nnn＋a＝15

，則a＋|＋…12解析由＝n10(nN){}以－為項(xiàng)，為差的等差數(shù)列，又由＝nn－≥0得n5，所以當(dāng)時a；n當(dāng)n時a≥，所以＋＋＋a＝－(a＋a＋a＋a＋(a＋a＋…＋)＝n115234520＝a數(shù)列{}正數(shù)列＋＋＋＝n＋n(∈N)＋＋＋n1223n＝__2＋__.解析令n，得＝，a＝11當(dāng)≥2時a＋＋＋＝n1)11

＋－1)．與已知式相減，得a＝nn

＋n)－(－－－＝2n＋2.∴a＝n＋1)，n＝時a適nn∴a＝n＋1)，＝n，nna＋∴＋＋＋＝＝2＋nn三、解答題．在數(shù){}，a＝，＝2＋(n2)(n2，n∈N)．nn(1)求，的；2(2)證明：數(shù)列{＋n}等數(shù)列，并{}通公式；nn(3)求數(shù)列{}前n項(xiàng)nn解析(1)＝2得＝2＝21令＝3，得＝a＋＝13.32(2)證明因＋n＝n＝2

＋n＋na＋14≠0所a＋≠所＋n所以數(shù)列{＋n}首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，n所以＋＝＝，以＝－n.nn(3)因