圓錐擺及其變形圓錐擺及其變形/NUMPAGES99/9圓錐擺及其變形圓錐擺及其變形“圓錐擺”及其變形江蘇省木瀆高級中學(xué)（215101）郁建石細線一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，細線在空中劃出一個圓錐面，這樣的裝置叫做“圓錐擺”，如圖[1]所示?！皥A錐擺”是勻速圓周運動中一個典型的實例，如果真正地搞清了圓錐擺的有關(guān)問題，那么勻速圓周運動中不少常用的分析和處理方法也就基本掌握了。下面就“圓錐擺”問題著重談三個方面的問題。一、受力分析FOFOαGTmlω圖[1]O′勻速圓周運動，共受到重力G和懸線上拉力T兩個力作用，這兩個力的合力F沿水平方向指向圓周運動的圓心O′，它作為小球做勻速圓周運動的向心力。若懸線長為l，小球的質(zhì)量為m，懸線與豎直方向的夾角為α，則向心力F＝mgtanα。二、角速度根據(jù)勻速圓周運動的物體，其合外力提供向心力，可以得到：mgtanα＝mω2r，其中r＝lsinα，代入整理，得到其角速度：ω＝。根據(jù)這一表達式，進行如下討論：①當懸線長度l一定時，ω∝，即懸線與豎直方向的夾角α隨著小球角速度ω的增大而增大。②若懸線的長度l和懸線與豎直方向的夾角α均不相同，但是l和cosα的乘積lcosα相同，則角速度ω就相同，乘積lcosα實際上就等于小球到懸點在豎直方向上的距離。即：如果有若干圓錐擺，即使小球質(zhì)量m和懸線長度l各不相同，只要小球做圓周運動所在的平面到懸點的距離相同，那么它做勻速圓周運動的角速度ω就一定相同。ω圖[2]ω③小球做圓錐擺運動的角速度有一個最小值。當懸線與豎直方向的夾角α＝0時，得到角速度ω0＝，這是角速度的一個臨界值，也就是小球做圓錐擺運動的角速度的最小值。即只有當ω＞時，懸線才會被拉直，小球在ω圖[2]ω水平面內(nèi)做圓錐擺運動；如果ω＜，小球不會在水平面內(nèi)做圓錐擺運動（這種情況下，如果懸線上端是固定的一根旋轉(zhuǎn)的豎直桿上的話，懸線將會纏繞在豎直桿上，然后小球隨桿一起轉(zhuǎn)動，如圖[2]所示）。三、變形根據(jù)圓錐擺的受力特點和運動特點，可以將其進行如下幾種變形：OGOGNFO′圖[3]θ受力分析：這時小球在重力G和圓錐面對它的支持力N（相當于圓錐擺中懸線的拉力T）的合力F提供小球做勻速圓周運動的向心力。與圓錐擺比較：由于圓錐面的頂角θ為一定值，根據(jù)F＝mgctg＝ma，得小球的向心力速度a＝gctg，可知所有在此圓錐面內(nèi)做勻速圓周運動的小球，都具有相同大小的加速度；再由向心加速度公式：a＝＝ω2r，可知小球圓周運動的軌道半徑r越大（即離開圓錐頂點O越遠），線速度v越大，角速度ω越小。θ圖[4]θ圖[4]GNTOO′的頂點，小球在水平面內(nèi)做圓周運動，如圖[4]所示。受力分析：小球共受到三個力的作用：小球的重力G、細線對它的拉力T和圓錐面對它的支持力N。這三個力的合力提供小球做圓周運動的向心力。與圓錐擺比較：當角速度ω較小時，小球?qū)⒀貓A錐面運動，此時分別將N和T分解到水平方向和豎直方向，列出方程：水平方向Tsin－Ncos＝mω2r，豎直方向Tcos+Nsin－mg＝0。不難看出，隨著角速度ω的增大，圓錐面對小球的支持力N將減??；當角速度ω增大到ω＝時，圓錐面對小球的支持力N將減小到0，這是一個臨界狀態(tài)；如果繼續(xù)增大角速度ω，小球?qū)⒚撾x圓錐面運動，這時其規(guī)律與圓錐擺就沒有區(qū)別了。θ圖[5]θ圖[5]NGTOO′著小球的運動平面加一個光滑水平面，如圖[5]所示。小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動時的受力情況、運動情況以及臨界狀態(tài)的分析，都同這種情況相似；所不同的是將原來的圓錐面對小球斜向上的支持力，改成現(xiàn)在水平面對小球豎直向上的支持力而已。3、用兩根細線，其一端系著一個小球，另一端系在一根勻速轉(zhuǎn)動的豎直桿上的兩點上，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，如圖[6]所示。受力分析：小球共受到三個力的作用：小球的重力G、細線AB對它的拉力T1和細線BC對它的拉力T2。這三個力的合力提供小球做圓周運動的向心力。與圓錐擺比較：①當角速度ω較小，即當ω＜時，小球不會在水平面內(nèi)做圓周運動，此時兩根細線小球?qū)⒕p繞在豎直桿上，小球隨桿一起轉(zhuǎn)動，如圖[7]所示。圖[8]A圖[8]ABOO′ωT1CG圖[6]ABOO′ωT1T2αωω圖[7]ωCABCCGG②當角速度ω在下列范圍：＜ω＜，細線AB將被拉緊，而細線BC則處于松弛狀態(tài)，這時情形與原始的圓錐擺相同，如圖[8]所示。③當角速度ω＞時，兩根細線都將被拉緊，也就是象圖[6]中的情形了。有興趣的同學(xué)還可以進一步討論：這時細線AB和BC哪根線上拉力較大？如果兩根細線的規(guī)格是相同的，則隨著角速度ω