§2.2向量組的秩一、向量組的秩例考慮線性方程組它們的系數(shù)行向量分別如下這兩組向量有不同的線性相關(guān)性：

線性相關(guān)，且其中任意兩個(gè)向量都線性相關(guān)。在平面上，相互共線。方程組(I)的三個(gè)方程確定三條過原點(diǎn)且相互重合的直線。

線性相關(guān)，但其中存在兩個(gè)向量線性無關(guān)，例如。在平面上，不共線。方程組(II)的三個(gè)方程確定三條過原點(diǎn)但前兩條不平行的直線。上例似乎表明，這兩個(gè)向量組線性相關(guān)程度的不同決定了它們對應(yīng)的方程組(I)與(II)有不同的性質(zhì)：

對向量組而言，其線性無關(guān)的程度為2，而方程組（II）的解中自由未知數(shù)的個(gè)數(shù)為

2(未知數(shù)個(gè)數(shù))-2=0

對向量組而言，其線性無關(guān)的程度為1，而方程組（I）的解中自由未知數(shù)的個(gè)數(shù)為2(未知數(shù)個(gè)數(shù))-1=1兩個(gè)輔助概念

定義設(shè)是m個(gè)n元向量。若其中存在r個(gè)向量線性無關(guān)，但任意r+1個(gè)向量都線性相關(guān)，則稱向量組

1,

2,…,

m

的秩為r，記為秩{

1,

2,…,

m

}或r{

1,

2,…,

m

}

例

4元基本向量組的秩為___。例向量組的秩為___。

定理向量組

1,

2,…,

m

線性相關(guān)的充分必要條件是：秩{

1,

2,…,

m

}<

m。

定義設(shè)向量組

1,

2,…,

m

的秩為r，則

1,

2,

…,

m

中任意r個(gè)線性無關(guān)的向量都稱為向量組

1,

2,

…,

m

的極大線性無關(guān)部分組，簡稱為極大無關(guān)組。

性質(zhì)向量組與其任一極大無關(guān)組都等價(jià)，等價(jià)的向量組的極大無關(guān)組也等價(jià)。例考慮齊次線性方程組它的系數(shù)矩陣的行向量組為因?yàn)橹葅

1,

2,

3}=

1，且

1線性無關(guān)，故

1是一個(gè)極大無關(guān)組。所以，

2與

3均可由

1線性表出。于是，方程組中后兩個(gè)方乘可視為多余方程。從原方程組中刪去多余方程，得到原方程組的同解方程組

定理若向量組可由向量組線性表出，則秩{}秩{}

證明只需證明向量組的極大無關(guān)組包含的向量個(gè)數(shù)不大于向量組的極大無關(guān)組包含的向量個(gè)數(shù)。

設(shè)是的極大無關(guān)組，則可由線性表出。設(shè)是的極大無關(guān)組，則可由線性表出。又可由線性表出，故可由線性表出，而線性無關(guān)，所以。▌

定義’設(shè)是向量組的一個(gè)部分組。若（1）線性無關(guān)；

（2）每個(gè)（j=1,2,…,m）均可由線性表出，則是向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。

證明設(shè)秩=r，任取的一個(gè)極大無關(guān)組，則可由線性表出。

例已知向量組。假設(shè)每個(gè)（j=s+1,s+2,…,m）均可由線性表出，則秩{}=秩{}已知可由線性表出，故由傳遞性得亦可由線性表出。于是，每個(gè)(j=1,2,…,m)均可由線性表出。

又線性無關(guān)，所以也是的一個(gè)極大無關(guān)組。于是秩{}=r。▌

例向量組的任意一個(gè)線性無關(guān)部分組都可擴(kuò)充為整個(gè)向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。二、矩陣的秩例考慮階梯形矩陣其行向量組為因?yàn)槭切邢蛄拷M的極大無關(guān)組，故得A的行向量組的秩=r

=秩(A)

結(jié)論階梯形矩陣的秩等于其行向量組的秩。例設(shè)A是矩陣。對A按行分塊，對A作一次初等行變換得到矩陣因?yàn)榭捎删€性表出，故秩秩即的行向量組的秩的行向量組的秩又故

的行向量組的秩的行向量組的秩結(jié)論矩陣的初等行變換不改變行向量組的秩。

定理矩陣的秩等于其行向量組的秩，也等于其列向量組的秩。例判斷向量組的線性相關(guān)性。解分別以向量為行構(gòu)造矩陣所以，秩(A)=2，即向量組的秩為2。由此得線性相關(guān)。▌

定理設(shè)A是方陣，則A是可逆矩陣的充分必要條件是：A的行（列）向量組線性無關(guān)。例已知向量組證明：線性無關(guān)。證明令經(jīng)驗(yàn)證A滿秩，所以線性無關(guān)。

例已知向量組，求它的秩及一個(gè)極大無關(guān)組。解令，設(shè)（階梯形）

(1)設(shè)有r個(gè)非零行，則秩；(2)設(shè)的主元在第列，則是一個(gè)極大無關(guān)組。

▌

例已知向量組

求向量組的秩及其一個(gè)極大無關(guān)組。解分別以向量為列構(gòu)造矩陣因?yàn)樗?，向量組的秩為3，且是一個(gè)極大無關(guān)組。定理設(shè)A是m×p矩陣，B是p×n矩陣，則秩(AB)≤min{秩(A)，秩(B)}▌向量組線性相關(guān)性判別方法的小結(jié)：1.利用齊次方程組有無非零解；

2.利用矩陣的秩；

3.利用線性表出；4.利用其他性質(zhì)。

例設(shè)其中。求秩(A)。解

（法一）利用初等變換：故秩(A)=1；

（法二）利用行向量組秩的定義：存在一個(gè)線性無關(guān)的行向量

但任意兩個(gè)行向量

均線性相關(guān)，這是因?yàn)?，而不全為零。故行向量組的秩為1，由此得秩(A)=1；（法三）利用行向量組的極大無關(guān)組：

存在一個(gè)線性無關(guān)的向量，使任意一個(gè)行向量均可由線性表出，因?yàn)?/p>

由此得，是行向量組的極大無關(guān)組。故行向量組的秩為1，所以，秩(A)=1。（法四）利用矩陣秩的性質(zhì)：

因?yàn)楣实弥?A)≤1。又A≠0，故秩(A)≥1。于是，秩(A)=1。

▌

例設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，并且AB=I，則B的列向量組線性無關(guān)。證明

（法一）因?yàn)锳B=I，所以秩(B)≥秩(AB)=秩(I)=m又秩(Bnm

)≤min{n，m}≤m

故秩(B)=m，即B的列向量組的秩為m，恰等于列向量的個(gè)數(shù)