2d2x 2 kxhsinptdt2

強(qiáng)迫振動的d2 Lc c2 c

sint串聯(lián)電路的振dtd2y

dy

P(

Q(x)yf(

n階線性微分y(

P(x)y(n1)L (x)yP(x)yf( 二、線性微分方程的解的結(jié)1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):yP(x)yQ(x)y0 定理1如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程(1)的兩個解,那末yC1y1C2y2也是(1)的解.（C1,C2是常數(shù)）證明:將y代入原方程左邊＝(C1y1C2y2Px)(C1y1C2y2Qx)(C1y1C2y2C1(y1''P(x)y1'Q(x)y1)C2(y2''P(x)y2'Q(x)y2C10C20yC1y1C2y2一定是通解定義y1y2L,yn為定義在區(qū)間I內(nèi)的n個函數(shù)果存在n個不全為零的常數(shù)，使得當(dāng)x在該區(qū)間內(nèi)有恒等式成立k1y1k2y2Lknyn0那么稱這n個函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)線性相關(guān)．否則稱線性無關(guān)當(dāng)x()

ex，exe2x線性無cos2x,sin2x線性相關(guān)若在I上有

y1(y2(

常數(shù)y1x)y2x在I上線性無關(guān)二階齊次

yP(x)yQ(x)y 2：y1x)y2x)是方程(1)的兩個線性無關(guān)的特解,yC1y1C2y2就是方程(1)的通解.例 yy y1cos sin 齊y

tanx常數(shù)

y

cosx

方sin 通 exx例2(x1) xy'y x且y2 2 2

常數(shù)

y

Cex推廣：如y1xy2xL,ynxn齊次線性方y(tǒng)(

(a1(x)

(na2(x)

Lan1(x)y'an(x)yn線性無關(guān)的特解yC1

C2y2LCn就是方程的通解.其中：Ci為任意常數(shù)二階齊次

yP(x)yQ(x)y

2.二階非齊次3y*是二階非齊次線性方y(tǒng)P(x)yQ(x)yf(x) (2)=非齊次方程＋非齊次方程齊次方程通的一個特解,Y是與(2)對應(yīng)的齊次方程(1)的通yY=非齊次方程＋非齊次方程齊次方程通的通解.二階非齊次

yP(x)yQ(x)yf( y*是特解，y是齊次方程的通解，則y*＋y是非齊次方程的通解證明Qy*是非齊次方程特解，y是對應(yīng)齊次方(y*y)''P(x)(y*y)'Q(x)(y*(y*''P(x)y*'Q(x)y*)(y''P(x)y'Q(x)y)f(x)0f(因y是通解，含兩個任意常數(shù)故(y*y)是非齊次方程的通解yP(x)yQ(x)yf( 定理4 設(shè)非齊次方程(2)的右端f(x)是幾個函數(shù)之和,如yP(x)yQ(x)yf(x)f( y*y*分別是方程 1yP(x)yQ(x)yf(12yP(x)yQ(x)yf(2

解的疊加的特解y*y*就是原方程的特解 證明：y*y*Pxy*y*Qxy*y* (y*''P(x)y*'Q(x)y*)(y*''P(x)y*'Q(x)y* f1(x)f2(1.齊次線性方程求線性無關(guān)特 降階設(shè)y1是方程(1)的一個非零特解，令y2u(x)y1 代入(1)式,得yu(2yP(x)y)u(yP(x)yQ(x)y)u 即yu(2yP(x)y)u 令v yv(2yPxy)v yv(2yP(x)y)v y2解得v1eP(x)dx uy21 1eP(x)dxdx,

v的一階方降階y1eP(xy1y 1 y1齊次方程通

yC1

y1

1eP(xy2y1例y

1

y0的通解.1xQ1

1 1對應(yīng)齊方一特

y1ex

由劉維2yex2

1ee2

x1

dx對應(yīng)齊方通YC1xC2ex四、小

yPxyQxy0

一個若PxxQx)若1PxQx)若1PxQx

yx;yex;作習(xí)題12-7(300 4.三、降階法與常數(shù)變易齊次線性方程求線性無關(guān)特 降階設(shè)y1是方程(1)的一個非零特解，令y2u(x)y1 代入(1)式,得yu(2yP(x)y)u(yP(x)yQ(x)y)u 即yu(2yP(x)y)u 令v yv(2yPxy)v yv(2yP(x)y)v y2解得v1eP(x)dx uy21 1eP(x)dxdx,

v的一階降階y1eP(xy1y 1 y1齊次方程通yC1

y1

1eP(xy2y1非齊次線性方程通解求 常數(shù)變易設(shè)對應(yīng)齊次方程通解為yC1y1C2 設(shè)非齊次方程通解為yc1xy1c2xy2yc1(xy1c2xy2c1xy1c2xy2c1(xy1c2xy2

yP(x)yQ(x)yf( y,y,y代入方程(2c2(x)(y2P(x)y2Q(x)y2)f( c1(xy1c2xy20(4),(5)聯(lián)立方程cxycxy Q系數(shù)行列式w(x) c(x)

y2f(x)

c(x)

y1f(x)

積分可

c(x)C

y2f(x)

c(x)C

y1f(x)22非齊次方程通2

w(yC1y1C2y2y1

y2f(x)dxyw(x)

y1f(x)dx.w(x)例求方程y y

yx1的通解1 1Q1

1 1對應(yīng)齊方一特

y1ex由2yex2

1ee2

x1

dx對應(yīng)齊方通YC1xC2ex,設(shè)原方程的通解為yc1xxc2x)e,c(x)，c(x)應(yīng)滿足 xc(x)exc(x)

c(x) c(x)exc(x)x

c(x)xe c(x)xC c(x)xe

ex2原方程的通解yC1xC2e2

x2x四、小主要內(nèi)容線性方程解的結(jié)構(gòu)降階法與常數(shù)變易法

yP(x)yQ(x)y

一個若PxxQx)若1PxQx)若1PxQx

yx;yex; 一、驗證y1ex及y2xex都是y4xy(4x22)y0的解,并寫出該方程的通解.二、證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通1、yc1x2c2x2ln (c1,c2是任意常數(shù))是方xx2y3xy4y0的通x2、y

1(cexcex)

cc是任意常) 方程xy2yxyex的通三、已y1xex是齊次線性方(2x1)y