例題證明2x<sinx+tanx，x∈(0,π2【解析】解：令f(x)=sinx+tanx?f′(x)=cosx ?cos2>cos2x ?cos2?2?2=fx0在x

)2f(x)>f(0)=sin0+tan0?0=∴sinx+tanx>2x，x∈(0,π2例題已知函數(shù)f(x)=ax，g(x)=logax，其中a>1．求函數(shù)h(x)=f(x)?xlna的單調(diào)區(qū)間．=h′(x)=0，解得x=0．由a>1，可知當(dāng)x變化時(shí)，h′(x)，h(x)∴函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(?∞,0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1f(x1))處的切線與曲線y=g(x)在點(diǎn)(x2g(x2))處的切線平行，證明2lnlnax1+g(x2)= ln 【解析】證明：由f′(x)=axlna，可得曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線的斜率為ax1ln由g′(x) 1，可得曲線y=g(x)在點(diǎn)(x2,g(x2))處的切線的斜率為 xln∵這兩條切線平行，故有ax1lna ，即x2ax1(lna)2=x2ln兩邊取以a為底數(shù)的對數(shù)，得logax2+x1+2logalna=∴x1+g(x2)=?2lnlnaln

x2ln1證明當(dāng)a?ee時(shí)，存在直線l，使l是曲線y=f(x)的切線，也是曲線y=g(x)1【解析】證明：曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,ax1)處的切線l1：y?ax1=ax1lna(x?x1)，曲線y=g(x)在點(diǎn)(x2,logx2)處的切線l2：y?logx2 (x? x2ln11要證明當(dāng)a?ee時(shí)，存在直線l，使l是曲線y=f(x)的切線，也是曲線y=g(x)的切線，只需證明當(dāng)a?ee時(shí)，存在x1∈(?∞,+∞)，x2∈(0,+∞)使得l1與l2重合，1

a?e

時(shí)，方程組

ax1lna

①x2ln①ax1?x1ax1lna=logax2由①得x2 ，代入②得ax1(ln

②ln②ax1?x1ax1lna+x1

ln

2lnln ln

=1因此，只需證明當(dāng)a?ee時(shí)，關(guān)于x1e設(shè)函數(shù)u(xaxxaxlnax+1+2lnlna，既要證明當(dāng)a?e1時(shí)，函數(shù)y=u(x)eln lnu′(x)=1?(lna)2xax，可知x∈(?∞,0)時(shí)，u′(x)>0；x∈(0,+∞)時(shí)，u′(x) 又u′(0)=1>0，u′( )=1?a(lna)2<0，(lna)2故存在唯一的x0，且x0>0，使得u′(x0)=0，即1?(lna)2x0ax0=0．由此可得，u(x)在x0)上單調(diào)遞增，在(x0上單調(diào)遞減，u(x)在x=x0處取得極大值u(x0)．1aee，故lnlna1∴u(x0)=ax0?x0ax0lna+x0+

+2lnlna

+x0

2lnlna

2+2lnln

?ln下面證明存在實(shí)數(shù)t，使得u(t)<由(Ⅰ)可得ax?1xlna，當(dāng)x>1ln1

ln

x0(ln ln lnu(x)?(1+xlna)(1?xlna)+x

2lnln =?(lna)2x2+x+1

2lnln∴存在實(shí)數(shù)t，使得u(t)<

ln ln lna

ln1因此，當(dāng)a?ee時(shí)，存在x1∈(?∞,+∞)，使得u(x1)=11∴當(dāng)a?ee時(shí)，存在直線l，使l是曲線y=f(x)的切線，也是曲線y=g(x)1例題nsin

∑xisinn已知0xi<π(i=12n)n

≤ ?n∏

∑ ????n【解析】證明：先證明y=lnsinx在(0,π)xy′ ?xcosx?sinx=cotx?1sin y′′=?csc2x+1=

<(lnsinx1+lnsinx2+?+lnsinxn sinx1+x2，?，

x1+x2n例題f(x)=4x2+2x+1+【答案】【解析】f(x)=【答案】【解析】f(x)=【答案】【解析】例題5∫(x3+x2+x+1)0【答案】【解析】 0∫(x3+x2+x+1)dx=(4x4+3x3+2x2+0=625+125+25+ =2585 sin0【答案】【解析】π∫0【答案】【解析】x∫0

sin2x1?cos=0=π2例題

π2求 0π【解析】Im=π0

sinmπIm=?0

sinm?1xd(cosπ0=[?cosxsinm?1x]∣π+(m?00π

sinm?2xcos2 =0+(m?0

sinm?2x(1?sin2x)dx=(m?0

sinm?2xdx?(m?0

sinm=(m?1)Im?2?(m?1)Im由此得到一個(gè)遞推m?Im= mIm?2，m? m? 53Im ?m?2?6?4?

I0n