關于快速傅立葉變換及其應用第1頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月一、實驗目的

了解計算DFT算法存在的問題及改進途徑。掌握幾種DFT算法（時間抽取算法DIT算法，頻率抽取算法DIF算法，線性調頻Z變換即CZT法）。學習并掌握FFT的應用。第2頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月二、實驗原理有限長序列通過離散傅里葉變換(DFT)將其頻域離散化成有限長序列.但其計算量太大(與N的平方成正比）,很難實時地處理問題,因此引出了快速傅里葉變換(FFT)。FFT并不是一種新的變換形式,它只是DFT的一種快速算法.并且根據(jù)對序列分解與選取方法的不同而產生了FFT的多種算法.第3頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月DFT的快速算法—FFT是數(shù)字信號處理的基本方法和基本技術，是必須牢牢掌握的。時間抽選FFT算法的理論推導和流圖詳見《數(shù)字信號處理》教材。該算法遵循兩條準則：（1）對時間奇偶分；（2）對頻率前后分。這種算法的流圖特點是：（1）基本運算單元都是蝶形

任何一個長度為N=2M的序列，總可通過M次分解最后成為2點的DFT計算。如圖所示：第4頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月WNk稱為旋轉因子計算方程如下：Xm+1(p)=Xm(p)+WNkXm(q)Xm+1(q)=Xm(p)-WNkXm(q)第5頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）同址（原位）計算這是由蝶形運算帶來的好處，每一級蝶形運算的結果Xm+1(p)無須另外存儲，只要再存入Xm(p)中即可，Xm+1(q)亦然。這樣將大大節(jié)省存儲單元。（3）變址計算輸入為“混序”（碼位倒置）排列，輸出按自然序排列，因而對輸入要進行“變址”計算（即碼位倒置計算）?！白冎贰睂嶋H上是一種“整序”的行為，目的是保證“同址”。第6頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月FFT的應用凡是利用付里葉變換來進行分析、綜合、變換的地方，都可以利用FFT算法來減少其計算量。FFT主要應用在1、快速卷積2、快速相關3、頻譜分析第7頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月快速傅立葉變換的MATLAB實現(xiàn)提供fft函數(shù)計算DFT格式

X=fft(x)

X=fft(x,N)如果x的長度小于N，則在其后填零使其成為N點序列，若省略變量N，則DFT的長度即為x的長度。如果N為2的冪，則得到高速的基-2FFT算法；若N不是2的乘方，則為較慢的混合算法。如果x是矩陣，則X是對矩陣的每一列向量作FFT。第8頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月由題目可得x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t)fs=100N=128/1024例：已知信號由15Hz幅值0.5的正弦信號和40Hz幅值2的正弦信號組成，數(shù)據(jù)采樣頻率為100Hz,試繪制N=128點DFT的幅頻圖。第9頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月fs=100;N=128;n=0:N-1;t=n/fs;x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);y=fft(x,N);f=(0:length(y)-1)'*fs/length(y);mag=abs(y);stem(f,mag);title(‘N=128點’)第10頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第11頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月利用FFT進行功率譜的噪聲分析已知帶有測量噪聲信號其中f1=50Hz,f2=120Hz,為均值為零、方差為1的隨機信號，采樣頻率為1000Hz，數(shù)據(jù)點數(shù)N=512。試繪制信號的頻譜圖和功率譜圖。第12頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月t=0:0.001:0.6;x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);y=x+2*randn(1,length(t));Y=fft(y,512);P=Y.*conj(Y)/512;%求功率f=1000*(0:255)/512;subplot(2,1,1);plot(y);subplot(2,1,2);plot(f,P(1:256));第13頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月序列長度和FFT的長度對信號頻譜的影響。已知信號其中f1=15Hz,f2=40Hz,采樣頻率為100Hz.

在下列情況下繪制其幅頻譜。

Ndata=32,Nfft=32;Ndata=32,Nfft=128;第15頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月fs=100;Ndata=32;Nfft=32;n=0:Ndata-1;t=n/fs;x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);y=fft(x,Nfft);mag=abs(y);f=(0:length(y)-1)’*fs/length(y);subplot(2,1,1)plot(f(1:Nfft/2),mag(1:Nfft/2))title(‘Ndata=32,Nfft=32’)第16頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月Nfft=128;n=0:Ndata-1;t=n/fs;x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);y=fft(x,Nfft);mag=abs(y);f=(0:length(y)-1)’*fs/length(y);subplot(2,1,2)plot(f(1:Nfft/2),mag(1:Nfft/2))title(‘Ndata=32,Nfft=128’)第17頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第18頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月快速傅立葉逆變換（IFFT）函數(shù)調用格式

y=ifft(x)y=ifft(x,N)當N小于x長度時，對x進行截斷，當N大于x長度時，對x進行補零。第19頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月對信號進行DFT，對其結果進行IDFT，并將IDFT的結果和原信號進行比較。f1=40Hzf2=15HzFs=100Hz第20頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月fs=100;N=128;n=0:N-1;t=n/fs;x=sin(2*pi*40*t)+sin(2*pi*15*t);subplot(2,2,1)plot(t,x)title('originalsignal')y=fft(x,N);mag=abs(y);f=(0:length(y)-1)'*fs/length(y);subplot(2,2,2)plot(f,mag)title('FFTtooriginalsignal')第21頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月xifft=ifft(y);magx=real(xifft);ti=[0:length(xifft)-1]/fs;subplot(2,2,3)plot(ti,magx);title('signalfromIFFT')yif=fft(xifft,N);mag=abs(yif);subplot(2,2,4)plot(f,mag)title('FFTtosignalfromIFFT')第22頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第23頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月線性卷積的FFT算法在MATLAB實現(xiàn)卷積的函數(shù)為CONV，對于N值較小的向量，這是十分有效的。對于N值較大的向量卷積可用FFT加快計算速度。由DFT性質可知，若DFT[x1(n)]=X1(k),DFT[x2(n)]=X2(n)則

若DFT和IDFT均采用FFT和IFFT算法，可提高卷積速度。第24頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月計算x1(n)和x2(n)的線性卷積的FFT算法可由下面步驟實現(xiàn)計算X1(k)=FFT[x1(n)];計算X2(k)=FFT[x2(n)];計算Y(k)=X1(k)X2(k);計算x1(n)*x2(n)=IFFT[Y(k)].第25頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月用函數(shù)conv和FFT計算同一序列的卷積，比較其計算時間。L=5000;N=L*2-1;n=1:L;x1=0.5*n;x2=2*n;t0=clock;yc=conv(x1,x2);conv_time=etime(clock,t0)t0=clock;yf=ifft(fft(x1,N).*fft(x2,N));fft